柏　赟，周雨鶴，邱　宇，賈文崢，毛保華

(1.北京交通大學(xué) 城市交通復(fù)雜系統(tǒng)理論與技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京　100044；2.交通運(yùn)輸部 科學(xué)研究院， 北京　100029)

由于地鐵具有安全、準(zhǔn)點(diǎn)、環(huán)保等特點(diǎn)，近年來得到了快速發(fā)展。在建設(shè)里程和客運(yùn)量增長(zhǎng)的同時(shí)，地鐵系統(tǒng)的能耗也在迅速上升。列車運(yùn)行能耗占地鐵系統(tǒng)總能耗的50%左右。通過合理的操縱方法降低運(yùn)行能耗，對(duì)降低運(yùn)營(yíng)成本、促進(jìn)可持續(xù)發(fā)展有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

列車運(yùn)行控制節(jié)能優(yōu)化問題是指在給定的線路條件、信號(hào)系統(tǒng)和運(yùn)行時(shí)分下，研究使?fàn)恳芎淖钚〉牧熊嚥倏v方法。FIGUERA[1]證明了列車在平緩區(qū)間內(nèi)的節(jié)能操縱包括牽引、惰行和制動(dòng)3種工況。隨后LEE等[2]和ASNIS等[3]證明了列車在較長(zhǎng)區(qū)間內(nèi)運(yùn)行時(shí)還存在巡航工況。HOWLETT[4]基于極大值原理證明了平直線路上的列車最優(yōu)操縱應(yīng)包含最大牽引、巡航—惰行、最大制動(dòng)4個(gè)階段，并給出了各工況轉(zhuǎn)換點(diǎn)的求解方法。王青元等[5]給出了低于限速及觸及限速時(shí)的最優(yōu)控制工況間的最優(yōu)切換規(guī)則，以及操縱工況間最優(yōu)的切換時(shí)機(jī)。荀徑等[6]考慮了多列車相互影響條件下的列車運(yùn)行控制最佳策略。丁勇等[7]研究了在起伏坡道和定時(shí)約束條件下的列車節(jié)能運(yùn)行控制方法，建立了站間惰行次數(shù)和惰行點(diǎn)的優(yōu)化模型并用遺傳算法進(jìn)行求解。牟瑞芳等[8]針對(duì)高速動(dòng)車組優(yōu)化操縱問題，利用廣義乘子法搜索目標(biāo)速度值及對(duì)應(yīng)的速度集合，將有約束非線性規(guī)劃求解問題轉(zhuǎn)化為無約束極值求解問題。當(dāng)列車運(yùn)行在陡下坡區(qū)段時(shí)，楊杰等[9]提出平均速度等效的處理方法，即通過陡坡區(qū)段所消耗的時(shí)間等于以平均速度通過該區(qū)段所消耗的時(shí)間。張守帥等[10]針對(duì)CTCS-2級(jí)列控系統(tǒng)下高速列車在長(zhǎng)大下坡地段運(yùn)行的情形，對(duì)車載設(shè)備參數(shù)取值及監(jiān)控制動(dòng)距離的計(jì)算方法進(jìn)行優(yōu)化。HOWLETT等人[11]對(duì)干線鐵路貨物列車在長(zhǎng)大坡道的節(jié)能操縱進(jìn)行了研究，基于極大值原理研究了列車在長(zhǎng)大坡道上的節(jié)能操縱方法。雖然有學(xué)者對(duì)長(zhǎng)大坡道上的列車操縱方法進(jìn)行了研究，但是其研究對(duì)象主要是在下坡段無法維持巡航的貨物列車。而地鐵列車擁有更好的牽引制動(dòng)性能，且其牽引質(zhì)量較小，一般不存在無法保持巡航的情況，因此在下坡段既使用制動(dòng)、又保持巡航并不是最節(jié)能的操縱方法。因此，有必要對(duì)列車在長(zhǎng)大下坡的操縱方法進(jìn)行優(yōu)化。

本文在標(biāo)準(zhǔn)四階段操縱方法的基礎(chǔ)上，通過進(jìn)一步優(yōu)化操縱工況序列及其轉(zhuǎn)換點(diǎn)，減少地鐵列車(簡(jiǎn)稱列車)在長(zhǎng)大下坡道上制動(dòng)的時(shí)間，并充分利用坡道勢(shì)能為列車加速，從而減少牽引能耗。

1　問題描述和改進(jìn)

圖1標(biāo)準(zhǔn)四階段操縱方法與改進(jìn)操縱方法下的列車速度位移曲線示意圖

針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)四階段操縱方法在長(zhǎng)大下坡無法充分利用坡道勢(shì)能的不足，本文提出了改進(jìn)操縱方法。該操縱方法由最大牽引、巡航—惰行、最大制動(dòng)工況組成，其中巡航—惰行工況根據(jù)線路條件及列車運(yùn)行狀態(tài)可以多次出現(xiàn)，允許列車在惰行工況下達(dá)到限速時(shí)再次轉(zhuǎn)入巡航工況，當(dāng)駛離大下坡或與終點(diǎn)的制動(dòng)反推曲線相交時(shí)退出巡航工況。改進(jìn)操縱方法下的列車速度位移曲線如圖1中的實(shí)線所示。圖1中，xcr和xco分別為改進(jìn)操縱方法中開始巡航和初次惰行的起始位置，是改進(jìn)操縱方法中的決策變量。vcr為改進(jìn)操縱方法下的牽引末速度，在使用最大牽引力的情形下由xcr決定。改進(jìn)操縱方法中可能出現(xiàn)多次惰行或巡航以適應(yīng)坡道的變化，因此用xco-cr和xcr-co來表示后續(xù)工況的轉(zhuǎn)換位置。

與標(biāo)準(zhǔn)四階段速度曲線相比，采用改進(jìn)速度曲線后列車只需牽引至較低速度vcr，巡航至xco后開始惰行并在xco-cr處達(dá)到限速，再次轉(zhuǎn)入巡航，在xcr-co處駛離長(zhǎng)大下坡，之后由巡航轉(zhuǎn)入惰行，最后與制動(dòng)曲線交于xbr處。相比標(biāo)準(zhǔn)四階段操縱方法，改進(jìn)操縱方法以更低的速度進(jìn)入巡航，并提升惰行工況的比例、減少巡航階段下列車采取制動(dòng)工況的時(shí)間，可以實(shí)現(xiàn)牽引節(jié)能。

2　模型構(gòu)建

改進(jìn)操縱方法的決策變量為使用最大牽引力的牽引終止位置xcr和初次巡航終止位置xco；優(yōu)化目標(biāo)為列車運(yùn)行總牽引能耗最小。總牽引能耗可表示為

(1)

式中：E為總牽引能耗，k·Wh；F(v,x)為列車以速度v運(yùn)行在x處所需要的外力矢量，kN；θ為單位換算系數(shù)，取3 600。

外力矢量F(v,x)用于衡量列車在運(yùn)行過程中所受牽引力或制動(dòng)力的大小，既有大小也有方向。由于牽引力和制動(dòng)力不同時(shí)存在，且牽引力做正功，制動(dòng)力阻礙運(yùn)動(dòng)做負(fù)功。因此，矢量外力的正負(fù)和數(shù)值分別代表牽引力或制動(dòng)力及其大小，該外力矢量的取值范圍為

F(v,x)∈[-Fbr(v),Ftr(v)]

x∈[xstart,xend]

(2)

式中：Fbr(v)為列車在速度v時(shí)所能獲得的最大制動(dòng)力，kN；Ftr(v)為列車在速度v時(shí)所能獲得的最大牽引力，kN。

由于列車在運(yùn)行過程中存在多種工況，且每種工況的外力矢量均有不同，因此在確定決策變量xcr和xco后，需要根據(jù)運(yùn)行狀態(tài)的變化，計(jì)算列車在各距離步長(zhǎng)下的外力矢量F，為

(3)

其中，

式中：Fcr(v,x)為列車以速度v在x處保持巡航所需的外力矢量，kN；xbr為地鐵列車轉(zhuǎn)入最大制動(dòng)工況轉(zhuǎn)換點(diǎn)；η(x)為運(yùn)行狀態(tài)變量；FR(v,x)為列車以速度v在x處行駛所受到的阻力；vlim(x)為列車在x處的限速；s為距離的步長(zhǎng)。

在出站牽引和進(jìn)站制動(dòng)階段，外力矢量F分別為列車最大牽引力和制動(dòng)力；在途中運(yùn)行階段，工況序列及持續(xù)時(shí)間的不確定性給模型求解和能耗計(jì)算帶來了一定難度。因此，在式(3)中引入變量η(x)表示列車在xco

當(dāng)列車處于惰行工況時(shí)，外力矢量為0。當(dāng)列車處于巡航工況時(shí)，需要根據(jù)列車受力情況計(jì)算外力矢量。列車在各運(yùn)行狀態(tài)下所受合力Ftotal(v,x)為

Ftotal(v,x)=F(v,x)-FR(v,x)

(4)

其中，

FR(v,x)=Fgrad(x)+Fv(v)+Fc(x)

Fgrad(x)=1 000sinθ

Fv(v)=a+bv+cv2

式中：Fgrad(x)為坡道附加力；θ為x處的坡度，上坡為正，下坡為負(fù)；Fv(x)為基本阻力；a，b和c為列車基本阻力系數(shù)；Fc(x)為曲線附加阻力；rx為x處的曲線半徑。

當(dāng)列車處于巡航工況時(shí)其所受合力為零，此時(shí)的外力矢量在數(shù)值上等于阻力之和，即

(5)

列車在區(qū)間運(yùn)行時(shí)還應(yīng)該滿足計(jì)劃運(yùn)行時(shí)分、列車限速等約束條件，為

(6)

式中：v(x)為列車在位置x處的速度，列車在運(yùn)行區(qū)間起終點(diǎn)的速度應(yīng)為0且在運(yùn)行途中不超過限速；T為區(qū)間內(nèi)的給定運(yùn)行時(shí)分；δ為運(yùn)行時(shí)分的允許誤差。

3　模型求解

列車操縱優(yōu)化是一個(gè)復(fù)雜的非線性優(yōu)化問題，難以直接采用解析方法進(jìn)行求解。遺傳算法(Genetic Algorithm)作為一種全局搜索方法，具有簡(jiǎn)單、魯棒性強(qiáng)等特點(diǎn)，在此類問題中應(yīng)用廣泛。然而，在有限的迭代次數(shù)內(nèi)遺傳算法并不能保證獲得解的質(zhì)量。因此，本文在遺傳算法的基礎(chǔ)上加入鄰域搜索模塊，以提高算法的求解效率和效果；為了驗(yàn)證改進(jìn)遺傳算法的效果，采用Brute Force算法進(jìn)行對(duì)比計(jì)算。

3.1　改進(jìn)遺傳算法

改進(jìn)操縱方法中的2個(gè)決策變量分別是牽引終止位置xcr和初次惰行的起始位置xco，由于二者都是連續(xù)變量，所以在遺傳算法中采用格雷碼編碼。這種編碼技術(shù)有利于提高遺傳算法的搜索能力，避免傳統(tǒng)二進(jìn)制編碼可能出現(xiàn)的海明(Hamming)懸崖和難以收斂的問題[12]。此外，在遺傳算法的基礎(chǔ)上加入了鄰域搜索模塊，對(duì)種群中每個(gè)個(gè)體的鄰域進(jìn)行搜索，遺傳算法的求解流程如圖2所示。

由圖2可見：初始種群為隨機(jī)產(chǎn)生，種群中的各個(gè)個(gè)體由一串基于格雷碼編碼的染色體表示，每條染色體包含2個(gè)部分，分別對(duì)應(yīng)2個(gè)決策變量。在獲得初始種群后，對(duì)每個(gè)個(gè)體進(jìn)行鄰域搜索，搜索規(guī)則為保持每條染色體的第一部分不變，對(duì)第二部分進(jìn)行變換。即在保持牽引不變的情況下，嘗試不同的初次惰行起始位置。在個(gè)體評(píng)價(jià)模塊中，取目標(biāo)函數(shù)(1)的倒數(shù)為適應(yīng)度值，從而將牽引能耗最小化問題轉(zhuǎn)化為最大化問題。對(duì)于不滿足區(qū)間運(yùn)行時(shí)分約束但牽引末速度和惰行位置在可行域內(nèi)的個(gè)體賦予較小的適應(yīng)度值，為

圖2　列車節(jié)能操縱方法的遺傳算法求解流程圖

(7)

式中：P(i,j)為算法種群中第i個(gè)個(gè)體的第j個(gè)鄰域解的適應(yīng)度值；E為牽引能耗；Δt為實(shí)際運(yùn)行時(shí)分與給定運(yùn)行時(shí)分之差。

對(duì)種群各個(gè)體的鄰域進(jìn)行搜索得到一組局部最優(yōu)解集后更新全局最優(yōu)解。然后，對(duì)局部最優(yōu)解集對(duì)應(yīng)的操縱方案進(jìn)行遺傳交叉、變異操作，更新后的種群進(jìn)入下一次鄰域搜索，直到達(dá)到最大迭代次數(shù)并輸出最優(yōu)解。

3.2　Brute Force算法

Brute Force是一種暴力算法，其主要特點(diǎn)是沒有預(yù)處理過程，能夠搜索所有的可行解來獲得精確解。該方法被成功應(yīng)用于列車節(jié)能操縱問題的求解[13-14]。

改進(jìn)操縱方法中的決策變量c包括牽引終止位置和初次惰行起始位置，其解空間為χ。Brute Force算法通過遍歷所有的c∈χ并計(jì)算能耗，以保證獲得全局最優(yōu)優(yōu)解，計(jì)算流程如圖3所示。

圖3　Brute Force算法流程圖

4　案例分析

選取北京地鐵5號(hào)線和亦莊線中的2個(gè)長(zhǎng)大下坡區(qū)間進(jìn)行案例分析，線路參數(shù)如圖4所示，運(yùn)行列車的基本參數(shù)見表1。遺傳算法中初始種群為30個(gè)，交叉概率為0.8，變異概率為0.1，最大迭代次數(shù)為80次。

表1　列車基本特性參數(shù)

圖4　實(shí)際運(yùn)行區(qū)間的坡長(zhǎng)和坡度值

列車區(qū)間運(yùn)行時(shí)分取為最小運(yùn)行時(shí)分的1.1倍，其中各區(qū)間的最小運(yùn)行時(shí)分可以通過最大牽引、巡航和最大制動(dòng)的節(jié)時(shí)操縱方案獲得。使用Brute Force算法分別求解給定運(yùn)行時(shí)分下的操縱方案和能耗水平，結(jié)果見表2。

表2　標(biāo)準(zhǔn)四階段操縱方法和改進(jìn)操縱方法能耗對(duì)比

由表2可知：在不考慮再生制動(dòng)能利用的情況下，采用改進(jìn)操縱方法在區(qū)間一可以取得較好的節(jié)能效果，節(jié)能率達(dá)34.22%。如果考慮再生制動(dòng)利用，根據(jù)既有文獻(xiàn)[15]可知再生制動(dòng)能的利用率一般不超過2/3，則采用改進(jìn)操縱方法在區(qū)間一的可以在再生能減少量不超過2.05 kW·h(3.08 kW·h的2/3)的前提下仍可節(jié)約牽引能耗，依然可以實(shí)現(xiàn)節(jié)能。

為進(jìn)一步說明改進(jìn)操縱方法節(jié)能的原理，列車在區(qū)間一內(nèi)采用2種操縱方法對(duì)應(yīng)的速度位移曲線的對(duì)比如圖5所示。由圖5可見：改進(jìn)操縱方法將惰行位置提前，可以較好地利用長(zhǎng)大下坡為列車加速，在達(dá)到限速后轉(zhuǎn)入巡航，從而減少了加速階段的牽引工況時(shí)長(zhǎng)、增加了惰行工況比例，實(shí)現(xiàn)了列車牽引節(jié)能。

圖5　　　　標(biāo)準(zhǔn)四階段和改進(jìn)操縱方法在區(qū)間一的速度曲線對(duì)比(富余時(shí)分比例10%)

雖然改進(jìn)操縱方法在區(qū)間一內(nèi)獲得了較好的節(jié)能效果，但是2種操縱方法在區(qū)間二的能耗相同。這說明改進(jìn)操縱方法的節(jié)能效果與區(qū)間內(nèi)的坡道情況有關(guān)。此外，理論分析可以得知改進(jìn)操縱方法的能耗表現(xiàn)還與運(yùn)行時(shí)分和線路限速有關(guān)。為了研究運(yùn)行時(shí)分和限速對(duì)改進(jìn)操縱方法節(jié)能效果的影響，計(jì)算不同富余時(shí)分比例下改進(jìn)操縱方法在不同坡道上(2個(gè)區(qū)間)的節(jié)能率，并分別取線路限速為70，80和90 km·h-1，計(jì)算結(jié)果如圖6和圖7所示。

圖6　節(jié)能率隨富余運(yùn)行時(shí)間變化趨勢(shì)圖

圖7　　　　標(biāo)準(zhǔn)四階段和改進(jìn)操縱方法在區(qū)間二的速度曲線對(duì)比(富余時(shí)分比例4%)

當(dāng)限速為80或90 km·h-1時(shí)，節(jié)能率呈現(xiàn)先增加后減少的變化趨勢(shì)，最后與標(biāo)準(zhǔn)四階段法的能耗相同。富余時(shí)分比例為4%時(shí)2種操縱方法下的列車速度位移曲線如圖7所示。由圖7可見：改進(jìn)操縱方法采用2次惰行和2次巡航，相比標(biāo)準(zhǔn)四階段可以更加充分地利用坡道勢(shì)能為列車提速，從而減少牽引工況的持續(xù)時(shí)間，實(shí)現(xiàn)節(jié)能；但隨著富余時(shí)分的持續(xù)增加，標(biāo)準(zhǔn)四階段法中惰行工況所占的比例將增加，因此改進(jìn)操縱方法的節(jié)能效果逐漸減??；富余時(shí)分增加到一定程度后2種操縱方法所得列車速度位移曲線會(huì)重合，其牽引能耗也相同。

當(dāng)限速為70 km·h-1時(shí)，改進(jìn)操縱方法總是能獲得更加節(jié)能的操縱方案，這是因?yàn)榱熊嚰词箯钠瘘c(diǎn)開始惰行依然會(huì)在運(yùn)行過程中達(dá)到限速。以富余時(shí)分比例為10%的情況為例，列車運(yùn)行在區(qū)間一的速度曲線如圖8所示。由圖8可見：由于區(qū)間內(nèi)都是長(zhǎng)大下坡且限速較低，即使惰行也會(huì)很快達(dá)到限速，因此標(biāo)準(zhǔn)四階段法采用牽引至一定速度再巡航較長(zhǎng)距離的操縱方式來保證不超限速且滿足運(yùn)行時(shí)分的要求；而改進(jìn)操縱方法將操縱序列調(diào)整為最大牽引—惰行—巡航—最大制動(dòng)，在滿足運(yùn)行時(shí)分要求的前提下充分利用坡道勢(shì)能，不需長(zhǎng)距離牽引，通過提高惰行比例以實(shí)現(xiàn)節(jié)能。

圖8限速70 km·h-1情況下不同操縱方法時(shí)速度位移曲線(富余時(shí)分比例10%)

因?yàn)檫z傳算法并不能保證獲得最優(yōu)解，所以引入Brute Force算法計(jì)算精確解，并對(duì)改進(jìn)遺傳算法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)。以限速為80 km·h-1、富余時(shí)分比例10%下改進(jìn)操縱方法在2個(gè)區(qū)間的操縱方法為例，不同計(jì)算時(shí)分下采用改進(jìn)遺傳算法與采用Brute Force算法獲得的能耗和計(jì)算時(shí)間見表3。從表3可知：改進(jìn)遺傳算法經(jīng)過45 s計(jì)算就能獲得較優(yōu)解(離精確最優(yōu)解僅差6%)。

表3改進(jìn)遺傳算法與BruteForce算法的求解對(duì)比(富余時(shí)分比例)

運(yùn)行區(qū)間采用BruteForce算法時(shí)能耗/(kW·h)計(jì)算時(shí)間/s采用改進(jìn)遺傳算法時(shí)不同計(jì)算時(shí)間下的能耗/(kW·h)15s30s45s區(qū)間一59410863690645623區(qū)間二5759658662640605

區(qū)間一在上述條件下使用改進(jìn)遺傳算法求解的適應(yīng)度變化趨勢(shì)如圖9所示。由圖9可見：種群隨著迭代次數(shù)的增加逐漸收斂。

圖9　遺傳算法適應(yīng)度變化趨勢(shì)

5　結(jié)　論

(1) 針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)四階段法在含有長(zhǎng)大下坡區(qū)間不能充分利用坡道勢(shì)能的問題對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，在不改變四階段操縱工況組成的前提下對(duì)工況的序列進(jìn)行優(yōu)化，盡可能減少運(yùn)行途中制動(dòng)工況的出現(xiàn)。

(2) 使用實(shí)際線路和車輛參數(shù)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)四階段和本文改進(jìn)操縱方法在不同坡道、不同限速、不同運(yùn)行時(shí)分下的列車運(yùn)行能耗進(jìn)行了對(duì)比分析。結(jié)果表明，在部分長(zhǎng)大下坡道區(qū)間，本文方法比傳統(tǒng)四階段方法可以節(jié)能30%以上；本文方法的節(jié)能效果隨著富余時(shí)分的增加呈現(xiàn)先增加后減小的變化趨勢(shì)，隨著限速的降低而增加。

(3) 分別采用改進(jìn)遺傳算法和Brute Force算法對(duì)改進(jìn)操縱模型進(jìn)行求解，結(jié)果表明改進(jìn)遺傳算法可以在45 s內(nèi)獲得較優(yōu)解，且該解與Brute Force算法求到的精確最優(yōu)解差異約為6%。

(4) 本文尚未考慮列車區(qū)間限速的變化，含長(zhǎng)大下坡的變限速區(qū)間的改進(jìn)操縱方法還有待進(jìn)一步研究。

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