袁野 鄧飛其

摘 要 在經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型基礎(chǔ)上，研究了保險(xiǎn)公司保費(fèi)收入和索賠均服從復(fù)合泊松過(guò)程的雙復(fù)合泊松風(fēng)險(xiǎn)模型，針對(duì)最優(yōu)投資策略和求解破產(chǎn)時(shí)刻懲罰金期望折現(xiàn)函數(shù)的問(wèn)題，利用重期望公式和馬氏性得到期望折現(xiàn)函數(shù)滿足的帶邊界條件的二階積分微分方程，通過(guò)高效的Sinc數(shù)值方法求出折現(xiàn)函數(shù)的近似數(shù)值解，從而由圖像分析破產(chǎn)概率變化的趨勢(shì).

關(guān)鍵詞 雙復(fù)合泊松過(guò)程;重期望公式;馬氏性;積分微分方程;Sinc數(shù)值方法

中圖分類(lèi)號(hào) O211.6 ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

Abstract Based on the classical risk model，we studied ?the double compound Poisson risk model in which the insurance company′s premium follows a compound Poisson process and the claims also follow a compound Poisson process.Consider the optinal investment and the expected discount penalty function，by using the heavy expectation formula and Markov property， we obtained ?the second order integro-differential equation with boundary conditions，a numerical Sinc method was proposed to derive a approximate numerical solution，then we can analyze the ruin probability by the figure of approximate numerical solution.

Key words double compound Poisson process;heavy expectation formula;Markov property;integro-differential equation; Sinc numerical method

1 引 言

在經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型中，假設(shè)索賠服從復(fù)合泊松過(guò)程，考慮在破產(chǎn)時(shí)刻給予懲罰，Gerber 和 Shiu（1998）[1]討論了懲罰金的期望值，發(fā)現(xiàn)該期望值依賴于破產(chǎn)時(shí)刻和破產(chǎn)時(shí)刻的赤字大小，并得到了破產(chǎn)時(shí)刻與赤字大小的聯(lián)合概率密度函數(shù).Albrecher和Thonhauser（2008）[2]研究了復(fù)合泊松風(fēng)險(xiǎn)模型下的最優(yōu)分紅策略.Gerber和Landry（1998）[3]在經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型中引入一個(gè)獨(dú)立的擴(kuò)散過(guò)程，通過(guò)重期望公式得到懲罰金期望函數(shù)滿足的積分微分方程，利用Lundberg方程得到期望函數(shù)滿足一個(gè)更新方程，并得到其概率解釋.本文假設(shè)保險(xiǎn)公司盈余過(guò)程服從雙泊復(fù)合松過(guò)程，從而得到懲罰金期望函數(shù)滿足的積分微分方程，由于這種二階積分微分方程不存在解析解，從而研究其數(shù)值解[4]具有重要的意義.

2 市場(chǎng)模型

考慮經(jīng)典的風(fēng)險(xiǎn)模型，保險(xiǎn)公司的盈余由下列過(guò)程給出：

8 結(jié) 論

建立了服從復(fù)合泊松分布的盈余過(guò)程模型，首先考慮在終端時(shí)刻處的期望效用函數(shù)，利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理得到值函數(shù)滿足的HJB方程，得到最優(yōu)投資策略的顯性表達(dá)式，在投資比例確定的情況下，考慮破產(chǎn)時(shí)懲罰金的期望折現(xiàn)函數(shù)，得到期望折現(xiàn)函數(shù)所滿足的積分微分方程，利用高效的Sinc數(shù)值方法，得到懲罰金期望折現(xiàn)函數(shù)的近似數(shù)值解，由圖像分析得到相應(yīng)參數(shù)對(duì)破產(chǎn)概率和懲罰金期望折現(xiàn)函數(shù)變化趨勢(shì)的影響.該盈余過(guò)程模型還可以繼續(xù)改進(jìn)，使其更符合實(shí)際情況，可以研究更有效的數(shù)值方法來(lái)得到懲罰金期望折現(xiàn)函數(shù)的近似數(shù)值解.

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