解永春,王云鵬

(1.北京控制工程研究所·北京·100194;2.空間智能控制技術重點實驗室·北京·100190;3.天津市微低重力環(huán)境模擬技術重點實驗室·天津·300301)

0 引 言

自從1956年第一顆人造衛(wèi)星發(fā)射以來,全球已經執(zhí)行過4000多次空間發(fā)射任務。這導致了大量的太空垃圾,包含失效衛(wèi)星、衛(wèi)星碎片、航天員丟失的設備等。對于所有的空間航天器來說,快速增長的空間碎片數量,甚至會導致凱斯勒現(xiàn)象[1]。為了防止此類現(xiàn)象發(fā)生,必須采用在軌服務技術對空間垃圾進行清理,對失效衛(wèi)星進行修復,以減小太空垃圾的危害。技術試驗衛(wèi)星七號(EST-VII)[2]和軌道快車等試驗衛(wèi)星[3]的成功經驗,進一步證明了在軌服務的可行性。

在軌抓捕是很多在軌服務的基礎,而空間機械臂控制是在軌抓捕的核心技術。因此本文重點研究了空間機械臂的控制問題。根據服務航天器基座的控制策略,服務航天器可以工作在三種模式下:1)自由漂浮模式 (基座處于非控狀態(tài));2)自由飛行模式 (基座處于完全控制狀態(tài));3)姿態(tài)控制模式 (基座姿態(tài)處于受控狀態(tài)、位置自由移動)[4]。自由漂浮模式可以節(jié)省衛(wèi)星燃料,但是機械臂的工作空間受限;相反地,自由飛行模式具有更大的工作空間,但會消耗更多能量。對于很多在軌抓捕任務,服務航天器需要實時調整基座位姿,以保持和目

標航天器較為穩(wěn)定的相對位姿。本文主要研究在自由飛行模式下的服務航天器的控制。

在實際應用中,空間服務航天器控制面對的一個重要問題是其參數的未知。由于自適應控制方法具有處理參數未知的能力,因此目前已經有大量的自適應控制方法,例如機械臂動力學等價法[5]、增廣規(guī)范型法[6]、神經網絡法[7-8]、綜合自適應方法[9]等。這些方法的一大劣勢是計算效率較低,很大程度上限制了其實際應用范圍。為了提高計算效率,文獻[10]為自由漂浮機械臂,提出了一種遞歸自適應控制方法。本文旨在為裝有多個機械臂的空間機器人提供一種遞歸自適應控制方法。本文結合直接路徑法和空間向量,建立了裝有多空間機械臂的空間服務機器人的牛頓-歐拉遞歸動力學模型。文中,假設空間服務機器人的精確模型參數未知(質量、慣量、質心等),提出了一種自適應控制器,并證明了采用該控制器時空間服務航天器可以跟蹤其理想軌跡。為便于編程實現(xiàn),受文獻 [10]啟發(fā),給出了控制器的遞歸形式。最后文中對一個裝有2個機械臂的空間服務航天器進行了仿真試驗,證明了控制器的正確性和有效性。

記號:1n=(1,…,1)∈Rn,0n=(0,…,0)∈Rn,E n表示n×n單位矩陣;0m×n∈Rm×n表示m×n零矩陣。

對于一個三維向量v=(v1,v2,v3)T,叉乘計算符×定義為

對于2個笛卡爾坐標系F A和F B,將三維向量從F A旋轉到F B的旋轉矩陣記為B R A;對于空間向量從F A轉移到F B的位移轉移矩陣記為

其中,r是從F A的原點指向F B原點的位置向量。對應的力轉移矩陣為

1 問題描述及公式化

1.1 問題描述

考慮如圖1所示的在軌服務場景:一個裝有機械臂的服務航天器抓捕一個非合作目標航天器,例如失效衛(wèi)星、航天器碎片等。服務航天器裝有機械臂是一個空間服務機器人,可以對目標航天器實施抓捕。服務航天器基座裝有相對位姿測量敏感器,可以測量服務航天器與目標航天器之間的相對位姿。機械臂末端裝有手眼相機可以測量機械臂末端與抓捕點之間的相對位姿。

圖1 服務航天器在軌服務

整個抓捕任務可以分為4個階段[11]:1)接近段;2)機械臂接近段;3)抓捕段;4)抓捕后段。本文主要關注第二階段,此階段的控制目標為使機械臂末端與抓捕點相對位姿減少到零。這個控制目標可以由以下三步實現(xiàn):1)為機械臂末端設計理想軌跡 (位置和姿態(tài));2)根據機械臂逆運動學計算出機械臂關節(jié)空間的理想軌跡,以及基座位姿的理想軌跡;3)設計航天器控制器,使基座和機械臂分別跟蹤其理想軌跡。因此本文研究的問題本質上就轉換為跟蹤控制問題。上述第二步中的理想關節(jié)軌跡,可以通過采用阻尼最小二乘法[12]、CCD(cyclic coordinate decent,循環(huán)坐標下降法法)[13-14]等逆運動學求解方法得到,由于不是本文的研究重點,這里不再做詳細介紹。

服務航天器有三種工作模式:自由漂浮模式、基座姿態(tài)受控模式和自由飛行模式。自由漂浮模式是指在抓捕過程中,只控制機械臂,而服務航天器基座處于非控狀態(tài);基座姿態(tài)受控模式是指只控制基座姿態(tài),對其位置不予控制;自由飛行模式是指同時控制基座和機械臂。顯然自由飛行模式具有更大的工作空間,因此本文只討論自由飛行模式下的服務航天器控制。

1.2 問題公式化

假設服務航天器裝有N個鏈式機械臂,第n個機械臂的關節(jié)數為L n,那么服務航天器的總自由度為(包含基座的6個自由度)。

第n個機械臂的第i個關節(jié)記為關節(jié)n i,其關節(jié)角為,其理想關節(jié)角記為?；奈恢孟蛄坑洖閜 b∈R3,基座的姿態(tài)四元數為q b∈R4;基座的理想位置和理想姿態(tài)為p bd∈R3和q bd∈R4。本文的控制目標數學描述如下

2 預備知識

2.1 坐標系

文中采用修正的Denavit-Hartenberg參數對機械臂進行建模[15]。如圖2所示,每個連桿都固連一個由連桿次序命名的坐標系,例如坐標系F ni固連在連桿n i上。坐標系F ni的x、y和z軸分別記為x ni、y ni和z ni。坐標系F ni由以下4條原則確定:

圖2 空間機械臂坐標系

1)原點O ni在關節(jié)n i的中軸線和關節(jié)n i+1的中軸線的公垂線與關節(jié)n i的中軸線的交點處;

2)坐標系z ni與關節(jié)n i軸線方向相同;

3)坐標系x ni沿著關節(jié)n i的中軸線和關節(jié)n i+1的中軸線的公垂線指向關節(jié)n i+1;

4)坐標系y ni由右手定則確定。

圖2中,αn i為關節(jié)n i的關節(jié)轉角,θni為關節(jié)n i的關節(jié)角。那么由坐標系F n i到坐標系F n i+1的旋轉矩陣為

2.2 空間向量

空間向量為研究空間剛體動力學提供一種簡單有效的工具,本節(jié)將簡要介紹一下空間向量,更多知識請參考文獻 [16]。一個剛體的空間速度定義為

其中,v∈R3和ω∈R3分別為線速度和角速度。對于連桿n i在點O ni的空間速度為

對應的空間加速度為

作用在剛體上空間力定義為

其中,f∈R3和m∈R3分別為作用在剛體上的力和力矩。連桿n i的受力分析如圖3所示,其中f ni和m ni為連桿n i-1對連桿n i的力和力矩。那么連桿n i-1對連桿n i的空間力為

圖3 連桿受力分析

由坐標系F ni到坐標系F ni+1的空間轉移矩陣為

連桿n i相對于F n i的空間慣量矩陣為

其中,m ni為連桿n i的質量。由文獻[10]可知慣量矩陣可以參數化為,其中P l和γnil(i=1,…,10)的定義在文獻 [10]中給出。

2.3 動力學模型

利用空間向量和直接路徑法,多機械臂空間機器人的遞歸動力學可寫為

定義如下2個廣義向量:

那么多機械臂空間機器人的動力學可寫為如下的閉環(huán)形式

其中,M∈RN a×Na和C∈RNa×Na分別為慣量矩陣和科里奧利矩陣。上述閉環(huán)動力學假設具有以下性質:

1)慣性矩陣M是對稱正定矩陣,即M＞h E N,其中h＞0。

2)M-2C是斜對稱矩陣。

3 自適應控制器

3.1 控制器設計

首先來看空間機器人的理想軌跡。將追蹤器基座的理想位置和理想姿態(tài)記為和,理想速度和角速度記為,機械臂關節(jié)n i理想關節(jié)角記為θndi,基座的理想的空間速度記為

為機械臂n和基座設計空間參考速度如下

其中

基于上述參考速度,定義2個滑模變量如下

參考文獻 [18-19]中提出自適應控制,空間機械臂的自適應控制器設計如下

3.2 收斂分析

對于控制器,有以下定理。

定理1 如果理想軌跡及其速度和加速度都一致有界,那么采用控制器 (2)時,由動力學 (1)描述的服務空間機器人可以跟蹤上理想軌跡,即

其中,n=1,2,…,N,i=1,2,…,L n。

定義一個類李雅普諾夫函數

此外可以證明s是一致有界的,從而導出?V是一致連的,這結合Barbalat引理就證明了,這就證明了。進一步可以證明

4 控制器的遞歸形式

雖然控制器式 (2)在理論上可以解決相應的追蹤問題,但是控制中用到了極其復雜的回歸矩陣,在實際應用中往往難以求取。為了解決這個問題,本節(jié)給出了控制器對應的遞歸形式如下

控制器:

其中

5 仿真算例

考慮如圖4所示的裝有2個機械臂的空間服務航天器,機械臂一有8自由度,機械臂二有6自由度。2個機械臂的參數如表1和表2所示。機械臂的理想位姿軌跡如下:

圖4 裝有2個機械臂的空間服務航天器

1)機械臂一:

理想位置

理想姿態(tài)

2)機械臂二:

理想位置

理想姿態(tài)

表1 機械臂一物理參數

表2 機械臂二物理參數

本仿真試驗采用DLS(Damped Least Squar-es,阻尼最小二乘法)計算關節(jié)空間理想軌跡,限于篇幅這里不仔細介紹,細節(jié)請參考文獻 [12]。采用控制器 (3),仿真結果如圖5～圖11所示?；蛔饲€如圖5和圖6所示,可以看出,基座的位姿可以跟蹤理想基座位姿曲線。2個機械臂的關節(jié)曲線和關節(jié)跟蹤誤差曲線如圖7和圖8所示,可以看出,2個機械臂都可以跟蹤上理想的關節(jié)曲線。理

圖5 基座姿態(tài)歐拉角 (度)

圖6 基座位置曲線

論上只要基座和機械臂都跟蹤上了理想曲線,那么空間機械臂就可以跟蹤上理想的末端位姿曲線。圖11給出了仿真全過程概況,其中末端灰色曲線為位置理想軌跡,灰色坐標系表示理想姿態(tài);彩色曲線軌跡表示實際軌跡,彩色坐標系為實際姿態(tài)。末端位姿跟蹤誤差如圖9和圖10所示,可以看出,空間服務機器人可以很好地跟跟蹤理想軌跡。仿真全過程的動畫上視頻參見文獻 [20]。

圖7 機械臂關節(jié)曲線 (度)

圖8 機械臂關節(jié)跟蹤誤差 (度)

圖9 機械臂末端歐拉角 (度)誤差

圖10 機械臂末端位置跟蹤誤差

圖11 仿真全過程

6 結 論

本文研究了裝有多個機械臂的空間服務機器人的軌跡跟蹤問題。提出了一種遞歸自適應控制器,并證明了采用該控制器時,空間服務航天器可以跟蹤上理想軌跡。最后給出了一個仿真算例驗證了控制器的正確性和有效性。