利用共形幾何代數(shù)的平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解求解方法

黃昔光, 黃旭

(北方工業(yè)大學(xué)機(jī)械與材料工程學(xué)院, 100144, 北京)

并聯(lián)機(jī)構(gòu)是由至少2個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)鏈將動(dòng)平臺(tái)和靜平臺(tái)連接而成、具有2個(gè)或2個(gè)以上自由度的一種閉環(huán)機(jī)構(gòu)。并聯(lián)機(jī)構(gòu)由于具有輸出精度高、結(jié)構(gòu)剛性好、承載能力強(qiáng)、便于控制等優(yōu)點(diǎn),已成為目前機(jī)構(gòu)學(xué)研究的重要內(nèi)容[1]。具有3個(gè)自由度的平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)在機(jī)器人操作機(jī)構(gòu)、數(shù)控精密繡花機(jī)、數(shù)控線切割機(jī)、數(shù)控電火花機(jī)床以及精密微動(dòng)機(jī)構(gòu)等方面有著廣泛的應(yīng)用[2-5]。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解就是根據(jù)運(yùn)動(dòng)鏈的桿長(zhǎng)來(lái)推算動(dòng)平臺(tái)相對(duì)靜平臺(tái)的位置和姿態(tài),該問(wèn)題是并聯(lián)機(jī)構(gòu)控制、工作空間、奇異位置、校對(duì)零位置等問(wèn)題的研究基礎(chǔ)。并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解一般歸結(jié)為多元高次非線性方程組求解問(wèn)題,目前求解并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解的方法主要有數(shù)值法和代數(shù)消元法。數(shù)值法求解相對(duì)簡(jiǎn)單,容易實(shí)現(xiàn)算法的編程,得到一系列離散數(shù)值解,對(duì)尚未得到解析解的機(jī)構(gòu)學(xué)問(wèn)題具有重要意義,已廣泛應(yīng)用于工程界,但其主要不足在于依賴(lài)初值的選取,通常很難得到全部解,并且不能含有變量或參數(shù),無(wú)法給出明確的函數(shù)表達(dá)式。代數(shù)消元法能給出明確的函數(shù)表達(dá)式,可以直觀地反映輸出變量與各參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系,尤其是推導(dǎo)出的一元高次輸入輸出方程具有很高的理論價(jià)值,不僅可獲得問(wèn)題的全部解,而且可以進(jìn)行后續(xù)工作空間、奇異位置等運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題的研究。如何獲得全部解析解以及實(shí)時(shí)求解,是目前并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解研究的重點(diǎn)與難點(diǎn)。1983年,Hunt從幾何的角度首次證明了平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)最多具有6組解[3];Peysah首次獲得了該問(wèn)題的一元六次輸入輸出方程[4]。隨后,各國(guó)學(xué)者采用不同的數(shù)學(xué)方法獲得了該機(jī)構(gòu)的相同輸入輸出方程[2,5-8]。最近,倪振松等求解了平面3-RPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解,但存在10個(gè)增根[9];張忠海等通過(guò)提取3類(lèi)公因式,將一元十次方程降為六次,但消元求解復(fù)雜[10]。盡管文獻(xiàn)[9-10]引入了共形幾何代數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模,但需要進(jìn)行多元非線性方程組代數(shù)消元求解,存在消元求解技巧性強(qiáng)、過(guò)程復(fù)雜等問(wèn)題。因此,降低并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解封閉方程的非線性、快速給出全部解析解、實(shí)現(xiàn)該問(wèn)題的數(shù)學(xué)機(jī)械化求解,具有重要的理論價(jià)值和工程意義。

本文首先應(yīng)用組合數(shù)學(xué)理論闡明了由轉(zhuǎn)動(dòng)副R和移動(dòng)副P(pán)組成的平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)共有1 140種類(lèi)型,并建立了所有這1 140種平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)類(lèi)型的等效機(jī)構(gòu)模型;然后,根據(jù)平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)各支路之間為幾何尺度約束關(guān)系,建立了在共形幾何代數(shù)框架下平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解的數(shù)學(xué)模型。求解過(guò)程沒(méi)有以往文獻(xiàn)中的非線性消元求解,只需簡(jiǎn)單的線性消元即可推導(dǎo)出該問(wèn)題符號(hào)形式的一元六次輸入輸出方程,并獲得了該問(wèn)題的全部解析解,求解過(guò)程簡(jiǎn)捷明了,非線性度低,實(shí)現(xiàn)了該問(wèn)題的數(shù)學(xué)機(jī)械化求解。

1　共形幾何代數(shù)基礎(chǔ)

幾何代數(shù)是內(nèi)容十分豐富的分層代數(shù)系統(tǒng),它為經(jīng)典幾何提供了統(tǒng)一的代數(shù)框架,是強(qiáng)有力的符號(hào)計(jì)算工具[11-13]。共形幾何代數(shù)(CGA)將n維歐式空間Rn嵌入到(n+2)維閔氏空間Rn+1,1中。設(shè)有一組正交矢量基{e1,…,en,e+,e-},滿足

(1)

引入2個(gè)向量e0和e∞

(2)

則有

(3)

式中:e0表示原點(diǎn);e∞表示無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。與三維歐氏空間相比,CGA增加了二維空間,即包含3個(gè)基矢量ei(i=1,2,3)。共形幾何代數(shù)中點(diǎn)S可以寫(xiě)成

S=s+s2e∞/2+e0

(4)

式中:s=s1e1+s2e2+s3e3,其中s1、s2、s3為三維歐氏空間點(diǎn)的坐標(biāo)。

假設(shè)P、S表示CGA的2個(gè)點(diǎn),則點(diǎn)P與S的內(nèi)積表示為

P·S=(p+p2e∞/2+e0)·(s+s2e∞/2+e0)=

p·s-(s2+p2)/2=-(s-p)2/2

(5)

由式(5)得2個(gè)點(diǎn)P、S的內(nèi)積與距離的關(guān)系為

P·S=-(s-p)2/2

(6)

空間剛體運(yùn)動(dòng)變換主要包括旋轉(zhuǎn)和平移。在CGA中,旋轉(zhuǎn)算子的旋量可表示為

R=cos(θ/2)-Lsin(θ/2)=e-θ L/2

(7)

式中:L表示轉(zhuǎn)軸;θ表示旋轉(zhuǎn)角度。

旋轉(zhuǎn)算子R的共軛

(8)

平移算子的旋量表示為

T=1+te∞/2=e-te∞/2

(9)

式中:t=t1e1+t2e2+t3e3為平移向量,表示平移的方向和長(zhǎng)度。

平移算子的共軛

(10)

共形幾何代數(shù)中旋轉(zhuǎn)和平移的復(fù)合在旋量表示下是簡(jiǎn)單的幾何積,所以剛體運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)算子

M=RT

(11)

在共形幾何代數(shù)中,任意幾何體o的剛體運(yùn)動(dòng)變換都可以借助幾何積來(lái)實(shí)現(xiàn),即

(12)

2　平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解

2.1　平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)等效模型

如圖1所示,平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)P4P5P6分別通過(guò)3條獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)鏈P1P4、P2P5和P3P6與靜平臺(tái)P1P2P3相連,每條運(yùn)動(dòng)鏈包含3個(gè)單自由度的運(yùn)動(dòng)副,其中只有1個(gè)主動(dòng)副(即裝有驅(qū)動(dòng)器的運(yùn)動(dòng)副,該運(yùn)動(dòng)副加下劃線表示),其余為從動(dòng)副。通過(guò)控制3條支鏈的主動(dòng)副驅(qū)動(dòng)器參數(shù),可實(shí)現(xiàn)動(dòng)平臺(tái)相對(duì)靜平臺(tái)在平面內(nèi)的任意位置和姿態(tài)。

圖1　平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)等效模型

(a)RRR型 (b)RPR型

(c)RRP型 (d)RPP型

(e)PRR型 (f)PPR型

為分析方便,研究對(duì)象只限于由轉(zhuǎn)動(dòng)副R和移動(dòng)副P(pán)兩種平面低副組成的平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)(其他運(yùn)動(dòng)副可以通過(guò)相關(guān)機(jī)構(gòu)學(xué)理論轉(zhuǎn)化為R和P)。根據(jù)組合數(shù)學(xué)理論,由3個(gè)單自由度運(yùn)動(dòng)副(R或P)組成平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)支鏈類(lèi)型的數(shù)量有23=8種,即RRR、RPR、RRP、RPP、PRR、PPR、PRP和PPP。由于純移動(dòng)副組成的PPP運(yùn)動(dòng)支鏈不可能產(chǎn)生動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)的變化,平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)中不能包含PPP運(yùn)動(dòng)支鏈,因此,平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)支鏈只有前7種類(lèi)型。由7種類(lèi)型構(gòu)成的對(duì)稱(chēng)型平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)如圖2所示。運(yùn)動(dòng)鏈運(yùn)動(dòng)副符號(hào)位置從左往右,表示運(yùn)動(dòng)副從靜平臺(tái)往靜平臺(tái)分布,例如圖1b的RPR,表示最左邊的R連接靜平臺(tái),最右邊的R連接動(dòng)平臺(tái),中間的P則連接2個(gè)R。

(g)PRP型圖2　由7種運(yùn)動(dòng)支鏈構(gòu)成的對(duì)稱(chēng)型平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)

由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)3條運(yùn)動(dòng)支鏈主動(dòng)副的位置不同,由轉(zhuǎn)動(dòng)副R和移動(dòng)副P(pán)組成的運(yùn)動(dòng)支鏈有多少種類(lèi)型?對(duì)于平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)中的任一條支鏈,如果主動(dòng)副的驅(qū)動(dòng)器參數(shù)給定,則其他2個(gè)從動(dòng)副組成的被動(dòng)支鏈類(lèi)型將有RR、PR、RP和PP共4種。由于主動(dòng)副驅(qū)動(dòng)器參數(shù)是確定的,含有PP型被動(dòng)支鏈的平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)將不可控或不能裝配[14],故被動(dòng)支鏈類(lèi)型中不能有PP型。根據(jù)所有被動(dòng)支鏈的結(jié)構(gòu)類(lèi)型,可知平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)中的運(yùn)動(dòng)支鏈有18種類(lèi)型,如表1所示。

表1　平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的18種運(yùn)動(dòng)支鏈類(lèi)型

由上述分析可知,平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)有m=3條運(yùn)動(dòng)支鏈,且只能從表1所示的n=18種類(lèi)型中選取。由組合數(shù)學(xué)理論有

(13)

即考慮主動(dòng)副的分布,由R和P組成的平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)最多有1 140種類(lèi)型。

對(duì)于所有1 140種平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)類(lèi)型中的任一機(jī)構(gòu),無(wú)論其運(yùn)動(dòng)支鏈屬于哪種類(lèi)型,如果所有運(yùn)動(dòng)支鏈主動(dòng)副的驅(qū)動(dòng)器參數(shù)全部確定,則動(dòng)平臺(tái)到靜平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)鏈距離是確定的,即動(dòng)平臺(tái)相對(duì)靜平臺(tái)的位置和姿態(tài)可以通過(guò)位置正解確定。因此,根據(jù)各支鏈的長(zhǎng)度約束條件,可建立涵蓋所有1 140種平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的等效機(jī)構(gòu)模型,如圖1所示。圖中的虛線表示主動(dòng)副驅(qū)動(dòng)器參數(shù)固定后連接動(dòng)平臺(tái)和靜平臺(tái)的等效運(yùn)動(dòng)支鏈,其長(zhǎng)度為運(yùn)動(dòng)鏈的實(shí)際長(zhǎng)度。

因此,如果算法能求出圖1所示平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)等效模型的位置正解解析解,則該算法能求出由R和P構(gòu)成的所有1 140種類(lèi)型平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置正解解析解。下面,將針對(duì)圖1所示的平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)等效模型的位置正解進(jìn)行求解。

2.2　數(shù)學(xué)建模

由圖1可知,靜坐標(biāo)系到動(dòng)坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)變換可看作靜坐標(biāo)系沿x軸平移px,沿y軸平移py,再繞z軸旋轉(zhuǎn)θ,用共形幾何代數(shù)表示為

(14)

(15)

(16)

由式(11)得

M=TxTyRz=

(17)

由式(12)可得動(dòng)平臺(tái)的3個(gè)鉸鏈中心點(diǎn)Pi(i=4,5,6)在靜坐標(biāo)系xoy的坐標(biāo)為

(18)

根據(jù)桿長(zhǎng)約束條件,由式(6)可得

(19)

將各點(diǎn)的坐標(biāo)代入式(19),展開(kāi)得

(20)

(21)

pxp6x-p3xp6x-p3yp6y)cosθ+2(pyp6x-p3yp6x-

(22)

式(20)～(22)為平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)等效模型的位置正解封閉方程組,其中變量px、py、θ為待求量,其余變量為已知結(jié)構(gòu)參數(shù)。

2.3　方程組求解

將式(20)代入式(21)和(22),得到關(guān)于px、py的二元一次方程組

Apx+Bpy+D=0

(23)

Epx+Fpy+G=0

(24)

式中A=2p5xcosθ-2p2x

B=2p5xsinθ

E=2p6xcosθ-2p6ysinθ-2p3x

F=2p6ycosθ-2p6xsinθ-2p3y

2(p3xp6x+p3yp6y)cosθ+2(p3xp6y-p3yp6x)sinθ

由式(23)、(24),得px、py關(guān)于θ的表達(dá)式

(25)

若式(25)中的分母AF-BE≠0(否則該機(jī)構(gòu)為退化構(gòu)型,將另文探討),將式(25)代入式(20),得

r1cos3θ+r2sinθcos2θ+r3cos2θ+

r4sinθcosθ+r5cosθ+r6sinθ+r7=0

(26)

式中:r1～r7為與機(jī)構(gòu)參數(shù)有關(guān)的常數(shù),其符號(hào)表達(dá)式見(jiàn)附錄A。

令t=tanθ/2,則cosθ=(1-t2)/(1+t2),sinθ=2t/(1+t2),代入式(26)可得關(guān)于t的一元六次方程

w6t6+w5t5+w4t4+w3t3+w2t2+w1t+w0=0

(27)

式中w1=2(r2+r4+r6)

w2=-3r1-r3+r5+3r7;w3=4(-r2+r6)

w4=3r1+r3-r5+3r7;w5=2(r2-r4+r6)

w6=-r1+r3-r5+r7;w0=r1+r3+r5+r7

式(27)為推導(dǎo)出的平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的符號(hào)形式輸入輸出方程,即式(27)的系數(shù)wi(i=1～6)全部為機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)的符號(hào)表達(dá)。求解式(27)時(shí),由于計(jì)算機(jī)硬件的限制,需將已知參數(shù)的數(shù)值代入系數(shù)wi進(jìn)行求解,可求出關(guān)于變量t的6組解,根據(jù)θ=2arctant可求得相應(yīng)的6組θ值。然后,將θ代入式(25)可得px和py的值,從而可獲得平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的全部位置正解解析解,無(wú)增根也無(wú)漏根。值得注意的是,將θ=±π代入式(26)中,若w6=0,則θ=±π也是式(26)的可行根。

上述推導(dǎo)過(guò)程全部為符號(hào)計(jì)算,不需要經(jīng)典機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)理論中的歐拉旋轉(zhuǎn)角和矩陣運(yùn)算,亦無(wú)需復(fù)雜的多元高次非線性方程組消元技巧,只需簡(jiǎn)單的線性消元即可推導(dǎo)出平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解符號(hào)形式的一元六次輸入輸出方程。對(duì)于任意1 140種平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)類(lèi)型的位置正解,只要將其等效模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)直接代入式(27),通過(guò)求解式(27)和(25),即可快速獲得相應(yīng)平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解的所有解析解,求解過(guò)程簡(jiǎn)捷,易于編程實(shí)現(xiàn)。

3　數(shù)字驗(yàn)證

本文方法可通過(guò)科學(xué)計(jì)算軟件Maple16編程實(shí)現(xiàn)。為驗(yàn)證方法的正確性和有效性,針對(duì)圖2b所示的RPR型平面并聯(lián)機(jī)構(gòu),應(yīng)用本文算法對(duì)文獻(xiàn)[2,9-10]中的2組實(shí)例進(jìn)行數(shù)字驗(yàn)證。

3.1　數(shù)字實(shí)例1

以文獻(xiàn)[2]中的機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)為例進(jìn)行驗(yàn)證。將文獻(xiàn)[2]中的結(jié)構(gòu)參數(shù)換算成本文等效機(jī)構(gòu)模型的結(jié)構(gòu)參數(shù):q1=46,q2=48,q3=40,p2x=44,p2y=p3x=p5y=0,p3y=30,p5x=52,p6x=42,p6y=40。將結(jié)構(gòu)參數(shù)直接代入式(27)和式(25),可快速獲得該并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解的全部6組解析解。計(jì)算結(jié)果如表2所示,與文獻(xiàn)[2]獲得的結(jié)果相同。將6組解分別代入原方程(20)～(22)的左邊,等式成立,說(shuō)明計(jì)算正確。

表2　數(shù)字實(shí)例1的6組解

3.2　數(shù)字實(shí)例2

以文獻(xiàn)[9]或[10]中的機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)為例進(jìn)行驗(yàn)證。將文獻(xiàn)[9]或[10]中的結(jié)構(gòu)參數(shù)換算成本文等效機(jī)構(gòu)模型的結(jié)構(gòu)參數(shù):q1=5,q2=4,q3=4,p2x=6,p2y=p3x=p5y=0,p3x=5,p3y=11,p5x=6,p6x=4×cos45°=2.828 4,p6y=4×sin45°=2.828 4。將結(jié)構(gòu)參數(shù)直接代入式(27)和式(25),可快速獲得該并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解的全部6組解析解。計(jì)算結(jié)果如表3所示,與文獻(xiàn)[9]或[10]獲得的結(jié)果相同。將6組解分別代入原方程(20)～(22)的左邊,等式成立,說(shuō)明計(jì)算正確。

表3　數(shù)字實(shí)例2的6組解

4　結(jié)　論

(1)本文闡明了由轉(zhuǎn)動(dòng)副R和移動(dòng)副P(pán)任意組合而成的平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)共有1 140種類(lèi)型,根據(jù)各支鏈的長(zhǎng)度約束條件,提出了涵蓋這1 140種平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)類(lèi)型的等效機(jī)構(gòu)模型。

(2)基于共形幾何代數(shù)提出的求解所有1 140種平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解的解析方法,避免了以往文獻(xiàn)中煩瑣的歐拉旋轉(zhuǎn)角和矩陣運(yùn)算,以及多元高次非線性方程組的復(fù)雜求解,只需簡(jiǎn)單線性消元即可推導(dǎo)出該問(wèn)題的符號(hào)形式一元六次輸入輸出方程,并可快速獲得該問(wèn)題的全部解析解,無(wú)增根也無(wú)漏根。

(3)推導(dǎo)出的符號(hào)形式輸入輸出方程可直接用于平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置正解輸出變量的求解,使得求解過(guò)程十分簡(jiǎn)單,不需要重復(fù)公式推導(dǎo)以及人工參與消元,適合計(jì)算機(jī)編程,實(shí)現(xiàn)了該問(wèn)題的數(shù)學(xué)機(jī)械化求解。

(4)通過(guò)2個(gè)數(shù)字實(shí)例驗(yàn)證了本文方法的正確性和有效性。該方法可為平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)后續(xù)的構(gòu)型退化條件、奇異性研究提供理論基礎(chǔ)。

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附錄A參數(shù)r1～r7的符號(hào)表達(dá)式