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(青島大學 計算機科學技術學院,山東 青島 266071)

0 概述

圖像分割指在復雜圖像中分割出目標圖像,其在圖像處理、計算機視覺等領域有著重要的研究價值[1]。具有拓撲自適應能力的水平集方法能夠有效應對多相分割問題的復雜性[2],是解決圖像分割問題的主流方法。變分水平集方法是變分方法和水平集方法的結合,因為其具有集成多種信息和可處理拓撲變化的優(yōu)點,所以近年來被廣泛地應用于多相圖像分割的研究領域[3]。

Vese和Chan結合簡化的Mumford-Shah[4]模型和水平集方法[3],建立了用于劃分2個區(qū)域的兩相Chan-Vese模型[5],并將其擴展為用于解決分段常值和分段光滑的多相圖像分割問題的通用模型。但是,該模型只給出進行區(qū)域分割的一般策略,并沒有給出進行區(qū)域分割的通用公式,如果分割區(qū)域很多,就會使能量泛函和相關水平集函數(shù)演化方程變得很復雜。

針對上述問題,文獻[6-7]提出采用n個函數(shù)標記n個區(qū)域的Potts模型。為解決函數(shù)間的“重疊”和“真空"問題,該模型對相關條件進行約束[8-9]。文獻[10-11]提出2種應用于分段常值的多相圖像分割模型,其中,一種運用n個將標記函數(shù)取值為1或-1的水平集函數(shù),另一種運用標記函數(shù)取值為離散常值的一個水平集函數(shù),再通過Lagrange多項式差值獲得可以劃分多個不同區(qū)域的基函數(shù),得到以分段常值為基礎的變分水平集圖像分割模型,該模型也包含對相關條件的約束[3]。文獻[7,12]提出采用n個水平集函數(shù)表達2n個區(qū)域的標記函數(shù),實現(xiàn)對多個不同區(qū)域的劃分。文獻[13]則采用一個水平集函數(shù)標記n(m+1)個區(qū)域的多相圖像分割模型。但是,以上區(qū)域分割策略都需要求解多個函數(shù)的極值問題,計算過程比較復雜。

本文采用一個連續(xù)變化的水平集函數(shù)[14],基于區(qū)域競爭策略[15-16]提出m層水平集分割線劃分n個區(qū)域的方法進行區(qū)域特征函數(shù)表達,從而構建多相圖像分割的變分模型。

1 相關研究

本文引入Heaviside函數(shù)為水平集標記函數(shù)。并且用Hε(φ)近似Heaviside函數(shù)H(φ),即當ε→0時,得到Hε(φ)→H(φ)。由此,根據(jù)文獻[4-5]有以下結論:

(1)

(2)

基于多相圖像分割的區(qū)域表達策略,令Ω∈IRn(n=2,3)表示有界開集,f(x):Ω→IR表示在圖像區(qū)域Ω內(nèi)的圖像強度。運用一個分層的水平集函數(shù)表達n個區(qū)域的多相圖像分割的變分水平集模型[15],其傳統(tǒng)表達式可以表示為:

(3)

根據(jù)式(3),可以把分段區(qū)域求均值的標記函數(shù)分為3個部分表達。本文提出區(qū)域標記函數(shù)的統(tǒng)一化表達式,從而獲得多相圖像分割的變分模型,其主要思想是使用一個連續(xù)函數(shù)的多層水平線來劃分圖像多個不同區(qū)域。本文以圖1把閉合區(qū)域Ω分成5個區(qū)域的過程為例。

圖1 閉合區(qū)間劃分示例

(8)

(10)

(11)

(12)

其中,i=1,2,…,m+1。

因此,本文提出多相圖像分割模型的能量泛函可以表示為:

(13)

其中,ui=(u1,u2,…,um+1)表示不同區(qū)域Ωi內(nèi)的分段常值,其估計式如式(14)所示。

(14)

當ui被估計后,多相圖像分割模型的能量泛函可以表示為:

(15)

由于邊緣項函數(shù)可以等價表示為:

(16)

因此本文采用的多相圖像分割模型的能量泛函可以等價表示為式(17)。

(17)

2 多相圖像分割的變分方法

2.1 利用一個水平集函數(shù)標記的多相分割模型

本文在變分公式中使用曲線演化的方法對多相分段常值圖像進行分割,需要解決在用變分方法進行圖像分割時求解極值的問題。本文建立的模型是對文獻[16]中引入方法的進一步擴展。下文通過對區(qū)域標記函數(shù)規(guī)律的總結給出標記函數(shù)的表達方式:

(18)

(19)

本文采用的多相圖像分割模型,用一個連續(xù)函數(shù)的多層水平集函數(shù)隱含地表示分割邊界的集合,從而通過一個水平集函數(shù)表達多層水平集的方法,完成多區(qū)域圖像的分割。因為該模型只涉及一個水平集函數(shù)的求解問題,所以大幅減小了計算量。

本文采用交替方向乘子算法(Alternating Direction Method of Multipliers,ADMM)加速算法對該多相圖像的變分[17]分割模型進行求解。傳統(tǒng)的梯度降算法計算效率比較低,而直接對偶算法也需要對對偶變量用梯度降算法進行求解,Split Bregman算法則需要引用許多輔助變量、懲罰參數(shù)以及Bregman迭代參數(shù)。針對上述算法的缺點,本文采用ADMM多相圖像算法對分割模型進行計算,從而提高計算效率,增強算法穩(wěn)定性。

2.2 多相分割模型的ADMM算法

當ui的值被計算估計后,基于一個標記函數(shù)的多相圖像分割模型可以被表達為式(17)。為提高多相圖像分割模型[14,18]的計算效率,針對基于一個標記函數(shù)的多相圖像分割模型,本文采用ADMM算法,從而可以得到多相圖像分割模型的能量泛函為:

s.t.|w|=1

(20)

其中,λ表示為拉格朗日乘子,用來保證數(shù)值計算的穩(wěn)定性,μ(μ>0)表示懲罰參數(shù)。不同于懲罰函數(shù)法需要運用懲罰參數(shù)來使約束條件得到滿足,ADMM加速算法能夠使μ不用取很大值的條件來保證約束條件w=φ成立。首先,分別對關于φ和w的能量泛函公式取極小值,再求關于λ的能量泛函公式的極大值[19]。因此,在鞍點處求得的極值的問題滿足由交替優(yōu)化方法得到的關于φ的歐拉拉格朗日方程為:

(21)

為保證標記函數(shù)的穩(wěn)定性,對函數(shù)φ(x)加一個約束項為:

φk+1=max(0,min(φk+1,m+1))

(22)

則關于wk+1的廣義軟閾值公式如式(23)所示。

(23)

對于wk+1,考慮式(20)的約束條件,對其采用以下的方法進行投影:

(24)

然后更新λk+1得:

λk+1=λk+c(wk+1-φk+1)

(25)

本文采用增廣拉格朗日投影算法進行求解,步驟描述如下:

1)初始化φ0為水平集函數(shù),w0=λ0=0,k=0。

2)估計ui,并計算Qi(ui),i=1,2,…,q。

3 數(shù)值實驗

本文實驗的平臺是PC機:Intel(R) Core (TM) i5 Duo CPU @3.30 GHz 3.30 GHz,內(nèi)存4 GB,編程運行環(huán)境:Matlab R2010b。針對本文多相圖像分割模型,采用GDM、DDM、SBM和ADMM算法進行實驗。本文選擇其中部分圖像進行展示。圖2是實驗的原始圖像。圖3給出了圖2(b)中幾何圖像區(qū)域分割的結果,其中:圖3(a)為采用GDM算法的區(qū)域分割結果;圖3(b)為采用DDM算法的區(qū)域分割結果;圖3(c)為采用SBM算法的區(qū)域分割結果;圖3(d)為采用ADMM算法的區(qū)域分割結果?？梢钥闯?與其他3種算法相比,ADMM加速算法可以更好地保持幾何圖像的分割邊緣,從而得到更準確的分割結果。圖4為對圖2中原始圖像采用4種算法進行圖像分割,得到以不同顏色輪廓線劃分不同區(qū)域的結果。從彩色圖像的分割結果中可以看出,ADMM算法與其他3種算法分割效果類似。

圖2 原始圖像

圖3 幾何圖像基于不同算法的區(qū)域分割結果

圖4 彩色圖像基于不同算法的分割結果

本文從4幅原始圖像中選擇圖2(a)和圖2(d)2幅圖像分別加上參數(shù)ran分別為0、5、10、15的隨機噪聲,然后選擇傳統(tǒng)GDM算法和ADMM加速算法進行對比實驗。圖5～圖8分別為GDM算法和本文算法的實驗結果,從中可以看出噪聲的改變以及2種算法不同的處理效果。圖5、圖6為遙感圖像加入不同噪聲時2種算法的分割結果。通過對比可以看出,在灰度圖像的分割過程中,ADMM算法比GDM算法具有更強的魯棒性。圖7、圖8為建筑圖像加入不同噪聲時2種算法的分割結果。

圖5 采用GDM算法分割加入不同噪聲灰度圖像的分割結果及其曲面網(wǎng)格圖

圖6 采用ADMM算法分割加入不同噪聲灰度圖像的分割結果及其曲面網(wǎng)格圖

圖7 采用GDM算法分割加入不同噪聲彩色圖像的分割結果及其曲面網(wǎng)格圖

圖8 采用ADMM分割加入不同噪聲彩色圖像的分割結果及其曲面網(wǎng)格圖

通過對比可以看出,在彩色圖像的分割過程中,ADMM算法比GDM算法也具有更強的魯棒性。通過以上實驗可以看出,ADMM算法與傳統(tǒng)的算法相比,可以得到更好的分割結果。并且,本文的ADMM算法與傳統(tǒng)的GDM算法相比,具有更強的魯棒性。本文在采用紅、綠、藍3種不同顏色曲線表示在不同區(qū)域的分割線來劃分出多個區(qū)域。

對原始4幅圖像分別采用傳統(tǒng)GDM、SBM、DDM和ADMM算法分割,比較能量泛函達收斂時所需要的迭代總次數(shù)以及迭代總時間,結果如表1所示。從中可以看出,無論從每步迭代時間、迭代總時間,還是收斂次數(shù),本文ADMM算法的性能均較好,這很大程度上取決于ADMM快速算法簡單的差分格式。

表1 不同分割方法迭代次數(shù)和計算時間對比

4 結束語

本文利用基于一個函數(shù)的多層水平集標記方法對圖像多個區(qū)域進行標記,并采用增廣拉格朗日算法ADMM實現(xiàn)多區(qū)域圖像的分割,從而簡化了計算步驟,提高了多相圖像分割的計算效率,同時保證了多相分割方法的魯棒性。此外,水平集方法非常靈活,在分割過程中可引入不同類型的信息(邊界、區(qū)域、形狀),由于灰度和彩色圖像中都包含豐富的不可預測的復雜信息,因此本文方法可有效解決圖像分割問題。下一步工作是把基于一個標記函數(shù)的分割模型應用于3D或曲面上的多區(qū)域圖像分割,并將其推廣為多區(qū)域圖像運動分割的變分模型。

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