廣東省雷州市第八中學(524232) 魏欣 鄧春梅

本文對2017年高考課標卷III理科第21題進行分析,給出了多種思路和解法,并總結(jié)出本題的命題背景和高考中常考的經(jīng)典函數(shù).

一、原題展示

(2017年高考課標卷III理科第 21題)已知函數(shù)f(x)=x?1?alnx.

(I)若f(x)≥0,求a的值;

二、試題分析

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值、數(shù)列不等式恒成立問題.以含參數(shù)不等式問題為載體,既考查學生的分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)方程以及不等式思想,又考查學生分析問題和解決問題的能力.

三、解法探究

對于第(I)問,在函數(shù)的所有問題中,函數(shù)單調(diào)性是最基礎(chǔ)的問題,也是所有問題的思考起點.若含有參數(shù),一般應(yīng)對參數(shù)進行討論,從而確定函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)所求進行相應(yīng)的判斷與證明.

思路一通過對導函數(shù)進行探究,確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,同時還應(yīng)對參數(shù)a進行討論,解題關(guān)鍵是利用f(x)≥0對a的范圍進行取舍.

解法一因為函數(shù)f(x)=x?1?alnx的定義域為(0,+∞),則,且f(1)=0.

當a≤0時,f′(x)＞0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以當0＜x＜1時,f(x)＜0,不滿足題意;

當a＞0時,當0＜ x＜ a時,f′(x)＜ 0,則f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減;當x＞a時,f′(x)＞ 0,則f(x)在(a,+∞)上單調(diào)遞增.

①若a＜1,則f(x)在(a,1)上單調(diào)遞增,所以當x∈(a,1)時,f(x)＜f(1)=0,矛盾;

②若a＞1,則f(x)在(1,a)上單調(diào)遞減,所以x∈(1,a)時,f(x)＜f(1)=0,矛盾;

③若a=1,則f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,則f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(1)=0.所以f(x)≥f(1)=0滿足題意.

綜上所述,a=1.

思路二本題先通過研究導函數(shù)的正負,確定f(x)的單調(diào)區(qū)間,求出函數(shù)f(x)的最小值,由最小值的范圍來確定a的取值范圍.

解法二

當a≤ 0時,f′(x)≥ 0,x→ 0+時,f(x)→ ?∞,這與f(x)≥0矛盾;

當a＞0時,f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,在(a,+∞)上單調(diào)遞增;f(x)min=f(a)=a?1?alna.令g(a)=a?1?alna(a ＞ 0),則 g′(a)= ?lna,當 a ∈ (0,1),g′(a)＞ 0,所以g(a)在(0,1)上單調(diào)遞增,當a∈(1,+∞),g′(a)＜ 0,所以g(a)在(1,+∞)上單調(diào)遞減.所以g(a)max=g(1)=0,即g(a)≤0.因此當a=1時,f(x)min=0,滿足f(x)≥0.所以a=1.

思路三本題注意通過求函數(shù)的導數(shù),對函數(shù)單調(diào)性進行研究,求解函數(shù)最小值點即可,運用此種方法應(yīng)該注意“f(1)=0”在解題中的作用.

解法三因為函數(shù)f(x)=x?1?alnx的定義域為(0,+∞).

思路四本題可以根據(jù)以往的解題經(jīng)驗,利用結(jié)論“l(fā)nx≤x?1”和數(shù)形結(jié)合,這樣可以避免復雜的運算,同時也揭示了代數(shù)問題的幾何背景.

解法四聯(lián)想lnx≤x?1,可以將不等式f(x)=x?1?alnx≥0轉(zhuǎn)化為.我們可以考察直線與函數(shù)y=lnx圖像,當a=1時,直線的圖像與曲線y=lnx的圖像相切于點(1,0).此時f(x)≥0恒成立,故a=1滿足條件.

對于第(II)問,數(shù)列與不等式的證明主要有以下常規(guī)思路:首先,通過函數(shù)的單調(diào)性得到數(shù)列的單調(diào)性,從而解決問題;其次,對數(shù)列的不等關(guān)系進行放縮,直接證明.

思路一本題常規(guī)思路是將問題轉(zhuǎn)化為“和”式不等式,根據(jù)數(shù)列求和求解,但需要將不等式左邊放大,可嘗試使用不等式ln(x+1)≤x進行放縮.

解法一當a=1時,f(x)=x?1?lnx≥ 0,即lnx≤x?1,則有l(wèi)n(x+1)≤x,當且僅當x=0時等號成立.所以.一方面,

思路二本題也可逆向考慮,先證明,然后在利用不等式ln(x+1)≤x進行放縮.

解法二當a=1時,f(x)=x?1?lnx≥ 0,即lnx≤x?1,則有l(wèi)n(x+1)≤x,當且僅當x=0時等號成立.逆用求和公式有

思路三由本題特征不等式的結(jié)構(gòu)特征,也可以嘗試用貝努利不等式“(x+1)n≥1+nx,x∈(?1,+∞)”進行放縮.異曲同工,令人賞心悅目,這種“高屋建瓴”的解題思路體現(xiàn)了較高的思維品質(zhì).

解法三第(II)問主要證明

事實上,我們注意到1+2a＜ (1+a)2,···,1+2na＜(1+a)2n,聯(lián)想貝努利不等式的一般形式:(x+1)n≥1+nx,x∈(?1,+∞),于是將代入即可,

另一方面,

思路四本題除了使用結(jié)論ln(x+1)≤x和貝努(利不等式,還可以)嘗試用均值不等式C1C2···Cn≤進行放縮.

解法四第(II)問主要證明

由均值不等式得

即

又

所以

四、解法啟發(fā)

根據(jù)以上解法我們可以看出,第(I)問實質(zhì)上是考查對不等式lnx≤x?1(x＞0)的幾何意義的理解,即從函數(shù)的切線尋找解題的突破口.

對于不等式lnx≤x?1(x＞0)深刻理解,經(jīng)過變形可以得到下面幾個結(jié)論.

作替換x→ x+1,lnx≤x?1(x＞0)變形為:ln(x+1)≤x(x＞?1).

根據(jù)指數(shù)式和對數(shù)式互化,可得:x+1≤ex(x∈R).

以上式子正是普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學?選修2-2?A版》(人民教育出版社,2007年1月第2版)第32頁習題1.3.B第1(3)題,利用函數(shù)的單調(diào)性,證明不等式x+1≤ex(x/=0).

這個不等式的證明比較容易,只需構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex?x?1(x∈ R),由f′(x)=ex?1知,當x＜ 0時,f′(x)＜ 0;當 x ＞ 0時,f′(x)＞ 0.所以 f(x)在 (?∞,0)上單調(diào)遞減,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.故當x=0時,f(x)min=f(0)=e0?0?1=0.即當x∈R時,f(0)≤f(x),也即ex?x?1≥0,故x+1≤ex(x∈R),當且僅當x=0時,等號成立.

在2015年高考福建卷理科第20(1)題,2013年高考全國II卷理科第21(2)題,2010年高考寧夏卷理科第21題等等,也均考查含參不等式恒成立問題,體現(xiàn)了高考試題“?？汲Ｐ?推陳出新”的理念.均可以用上述的解法解決此類問題,由于篇幅關(guān)系,此處不再贅述.

1.(2015年高考福建卷理科第20(1)題)已知函數(shù),f(x)=ln(x+1).證明:當x＞0時,f(x)＜x.

2.(2013年高考全國II卷理科第21(2)題)已知函數(shù)f(x)=ex?ln(x+m),證明:當m≤2時,f(x)＞0.

3.(2010年高考寧夏卷理科第21題)設(shè)函數(shù)f(x)=ex?x?1?ax2.

(I)若a=0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(II)若當x≥0時,f(x)≥0,求a的取值范圍.

因為

根據(jù)上述證法,我們還可以有如下啟發(fā),看來不等式的右邊還可以縮小估計數(shù).

因為當k≥2時,

所以

如果上式從第五項開始放大,則

如果上式從第六項開始放大,則

還可以繼續(xù)下去,如果點破這個問題可以在大學數(shù)學分析中圓滿解決,則可進一步激發(fā)學生的學習欲望.

五、回歸教材

在數(shù)學教學中,我們要善于挖掘教材的潛在教學功能.教材中有一些典型性題目,它們或者是重要的結(jié)論,或者體現(xiàn)某種數(shù)學思想方法,或者是某個一般數(shù)學命題的具體形式,它的延伸、轉(zhuǎn)化和拓廣,可以呈現(xiàn)出豐富多彩的數(shù)學內(nèi)容.我們必須充分重視課本典型例題、習題的探究,這是“用教材教”之根本,也是教師專業(yè)成長的必有之路.縱觀近幾年高考導數(shù)壓軸題,都考查此類問題,體現(xiàn)了高考試題“?？汲Ｐ?推陳出新”的理念,所以我們要都這一類問題進行總結(jié),并提出更加簡便的通性通法,對解法的探索是在踐行我們所學的知識技能和思想方法,同時也使我們的思維更廣闊、思想更深刻.對試題本質(zhì)的探源,使我們更深刻地認識問題,將新舊解題經(jīng)歷跨時空貫通起來,這又是一個新的開始.

[1]魏欣.一道導數(shù)高考模擬題的啟示[J].中學數(shù)學研究.2013(10上):37-39.

[2]魏欣,鄧春梅.2017年高考課標卷II文科第21題的待定常數(shù)法的解法探究[J].中學數(shù)學研究.2017(10上):8-9.

[3]鄧軍民,魏欣等.高考數(shù)學熱門考點與解題技巧[M].2017,10.