劉義亞 李 可 陳 鵬

1.江南大學(xué)江蘇省食品先進(jìn)制造裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，無(wú)錫，214122 2.江南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，無(wú)錫，214122 3.三重大學(xué),三重，日本，514-8507

0 引言

在傳統(tǒng)的信號(hào)提取處理方法中，傅里葉變換是最重要的工具之一，但對(duì)于非平穩(wěn)、非線性信號(hào)，傅里葉變換卻不適用，其原因是傅里葉變換缺乏時(shí)間、頻率的定位功能，在非平穩(wěn)信號(hào)分析中有很大局限性。時(shí)頻分析技術(shù)在一定程度上解決了該問題，但現(xiàn)有的時(shí)頻分析方法都有一定的局限性。如短時(shí)傅里葉變換(short time Fourier transform，STFT)方法，其時(shí)間窗的大小、形狀都是固定的，與頻率無(wú)關(guān)，無(wú)法同時(shí)獲得精準(zhǔn)的時(shí)刻和頻率。連續(xù)小波變換(continuous wavelet transform ,CWT)在低頻處能夠具有很高的頻率分辨率，而在高頻處，CWT又能夠擁有較高的時(shí)間分辨率，它能夠在時(shí)頻領(lǐng)域很好地處理非平穩(wěn)信號(hào)的突變部分。但是，CWT的變化結(jié)果與小波基以及閾值的選取有著緊密聯(lián)系，在實(shí)際處理中很難找到合適的小波基以及閾值，而且CWT得到的小波系數(shù)譜會(huì)發(fā)生能量泄漏，使得瞬時(shí)頻率能量分布被模糊化，同時(shí)時(shí)間和頻率分辨率無(wú)法同時(shí)達(dá)到最優(yōu)[1]。DAUBECHIES等[2]提出了同步壓縮變換(synchrosqueezing transform，SST)方法,該方法通過對(duì)小波變換結(jié)果進(jìn)行重組，利用小波變換后信號(hào)頻域中相位不受尺度變換影響的特性求取各尺度下對(duì)應(yīng)的頻率，再將同一頻率下的尺度相加，從而將相同頻率附近的值壓縮至該頻率中，使得時(shí)頻譜中各頻率曲線顯現(xiàn)更為清晰和精確，從而提高時(shí)頻分辨率，減少小波能量擴(kuò)散帶來(lái)的時(shí)頻譜模糊的現(xiàn)象。LI等[3]對(duì)該方法進(jìn)行研究，提出廣義同步壓縮方法并將該方法應(yīng)用于齒輪箱故障診斷中。GAURAV等[4]將該方法運(yùn)用到古氣候研究中，取得令人滿意的效果。WU等[5]深度研究了該方法并將其運(yùn)用到心電圖譜研究中。HERRERA等[6]將該方法應(yīng)用于地震波的分析監(jiān)測(cè)中，使得提取的波形特征更為清晰。此外，人們?cè)谄渌鄠€(gè)領(lǐng)域也都對(duì)此方法展開了研究[7]。

基于以上分析，針對(duì)滾動(dòng)軸承故障信號(hào)隨機(jī)性非線性的特點(diǎn)，本文研究了同步壓縮變換故障信號(hào)提取方法,同時(shí)將其與小波變換結(jié)合，形成同步壓縮小波變換(synchrosqueezing wavelet transform，SWT)方法。SWT方法以小波變換為基礎(chǔ)，通過壓縮頻率域上所有的頻率成分，從而提高頻率分辨率，消除交叉項(xiàng)，同時(shí)在尺度域上減少能量擴(kuò)散，提高時(shí)頻分布的聚集程度，更為清晰地顯示時(shí)頻分析結(jié)果，而且能夠高精度地重構(gòu)信號(hào)分量。本文研究了同步壓縮變換與小波變換相結(jié)合的基本原理，利用合成的噪聲信號(hào)模型進(jìn)行模擬驗(yàn)證，然后搭建試驗(yàn)平臺(tái)采集實(shí)際滾動(dòng)軸承故障信號(hào)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理驗(yàn)證，結(jié)果表明該方法能夠很好地提高時(shí)頻分辨率。

1 同步壓縮小波變換基本原理

SWT以CWT為基礎(chǔ)，利用小波變換后信號(hào)頻域中相位不受尺度變換影響的特性求取各尺度下對(duì)應(yīng)的頻率，再將同一頻率下的尺度相加，即重新分配小波變換得到的小波系數(shù)并對(duì)其進(jìn)行壓縮，從而將相同頻率附近的值壓縮至該頻率中，改善了尺度方向的模糊現(xiàn)象，提高了時(shí)頻分辨率。主要包括以下幾個(gè)步驟。

1.1 小波變換

對(duì)信號(hào)x(t)進(jìn)行連續(xù)小波變換，定義為

(1)

函數(shù)族ψa,b(t)由基本小波函數(shù)ψ(t)通過平移和伸縮產(chǎn)生：

(2)

a,b∈R

小波變換過程中的尺度因子選擇32或者64為最優(yōu)。在實(shí)際中所采集的工程信號(hào)通常包含各種噪聲或其他一些因素，當(dāng)小波變換得到的系數(shù)|Wx(a,b;ψ)|≈0時(shí)，計(jì)算其相會(huì)相對(duì)不穩(wěn)定，通常設(shè)定閾值γ將該部分濾除，即令|Wx(a,b;ψ)|>γ，可自適應(yīng)地估算最優(yōu)閾值：

(3)

1.2 同步壓縮

利用小波變換得到的小波系數(shù)Wx(a,b;ψ) (|Wx(a,b;ψ)|>γ)求取瞬時(shí)頻率ωx(a,b)，定義

(4)

(5)

式中，ak為離散的尺度；k為尺度個(gè)數(shù)。

當(dāng)信號(hào)處于離散狀態(tài)時(shí)，式(5)中尺度坐標(biāo)Δak為

Δak=ak-ak-1

(6)

頻率坐標(biāo)Δω為

Δω=ωl-ωl-1

(7)

同步壓縮小波變換是可逆的，其逆變換(ISWT)可表示為

(8)

(9)

式中，Cφ取有限值；ψ*(ξ)為基本dξ小波函數(shù)共軛傅里葉變換。

通過式(8)即可無(wú)損地重構(gòu)信號(hào)了。

1.3 自適應(yīng)閾值去噪

閾值的選取決定了自適應(yīng)閾值去噪的結(jié)果。小波自適應(yīng)閾值去噪法是近幾年來(lái)發(fā)展起來(lái)的一種新理論,可以同時(shí)具有正交性、對(duì)稱性、高階消失矩、短支撐性等多種特性。

自適應(yīng)閾值根據(jù)小波系數(shù)的噪聲層次不同可用能量比來(lái)確定。小波系數(shù)的能量譜可定義為

(10)

小波系數(shù)的能量比定義為

(11)

根據(jù)小波系數(shù)的噪聲層次不同，每一層小波系數(shù)的閾值可由下式自適應(yīng)地獲得：

(12)

(13)

式中，M為小波系數(shù)的中位數(shù)絕對(duì)值；n為信號(hào)長(zhǎng)度。

綜上所述，基于同步壓縮小波變換的滾動(dòng)軸承故障信號(hào)提取的實(shí)現(xiàn)步驟如下：

(1)首先對(duì)滾動(dòng)軸承故障信號(hào)x(t)進(jìn)行小波變換得到小波變換系數(shù)Wx(a,b;ψ)。

(2)再對(duì)小波變換系數(shù)(|Wx(a,b;ψ)|>γ)進(jìn)行同步壓縮得到同步壓縮系數(shù)Tx(ωl,b)。

(3)使用小波自適應(yīng)閾值去噪法對(duì)同步壓縮系數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)閾值去噪。

(4)在有效信號(hào)頻帶范圍內(nèi)對(duì)同步壓縮變換系數(shù)進(jìn)行積分抽取。

(5)利用抽取的有效信號(hào)進(jìn)行同步壓縮變換重構(gòu)，從而實(shí)現(xiàn)滾動(dòng)軸承故障信號(hào)提取。

2 仿真分析

為了驗(yàn)證基于同步壓縮小波變換滾動(dòng)軸承故障信號(hào)提取方法的可行性，本文構(gòu)造了一個(gè)合成信號(hào)f(t)進(jìn)行分析。該信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)為2000，采樣間隔為5 ms，信號(hào)由三種不同信號(hào)分量合成：

f(t)=x1(t)+x2(t)+x3(t)

(14)

x1(t)=[1+0.5cos(2.5t)]cos[2π(5t+2t1.3)]

x2(t)=2e-0.1tsin(30πt)

x3(t)=(1+0.5cost)cos(4πt)

對(duì)信號(hào)加入信噪比(SNR)為1.5的高斯白噪聲，使用SWT處理加噪信號(hào)。

圖1所示為模擬的噪聲信號(hào)及SWT結(jié)果。對(duì)含噪混合信號(hào)進(jìn)行SWT處理，觀察圖1c，圖中三種頻率成分清晰可見，說(shuō)明SWT能夠很好地壓制隨機(jī)噪聲，提取出特征頻率。SWT是一種可逆變換，對(duì)變換結(jié)果進(jìn)行自適應(yīng)閾值降噪后重構(gòu)，觀察圖1d～圖1g中不同頻率成分重構(gòu)結(jié)果，除邊緣部分外，重構(gòu)信號(hào)與原信號(hào)具有較高的重合度，反映出SWT具有良好的重構(gòu)能力，能夠很好地提取和重構(gòu)信號(hào)。

(a)模擬的原信號(hào)

(b)含噪混合信號(hào)

(c)含噪信號(hào)SWT結(jié)果

(d) x1(t)原信號(hào)和SWT重構(gòu)信號(hào)的對(duì)比

(e) x2(t)原信號(hào)和SWT重構(gòu)信號(hào)的對(duì)比

(f) x3(t)原信號(hào)和SWT重構(gòu)信號(hào)的對(duì)比

(g)原合成信號(hào)和SWT重構(gòu)信號(hào)的對(duì)比圖1 模擬信號(hào)處理結(jié)果Fig.1 Processing results of simulation test

不斷改變信噪比并計(jì)算重構(gòu)信號(hào)與原信號(hào)的相關(guān)系數(shù)，結(jié)果如表1所示。

表1 SWT重構(gòu)信號(hào)與原信號(hào)相關(guān)系數(shù)

由表1可以看出，隨著信噪比不斷減小，SWT重構(gòu)信號(hào)與原信號(hào)的相關(guān)系數(shù)雖然不斷減小，但都高于0.96，由此可以看出SWT重構(gòu)信號(hào)與原信號(hào)相關(guān)性很高，證明SWT具有較高的信號(hào)提取精度和良好的降噪能力。

綜上所述，我們可以看出SWT具有較高的抗噪能力，能夠很好地提高時(shí)頻分辨率，同時(shí)能夠較好地還原信號(hào)信息，高精度地提取并重構(gòu)信號(hào)的不同頻率成分。

3 試驗(yàn)和驗(yàn)證

3.1 試驗(yàn)平臺(tái)

試測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)自圖2所示風(fēng)機(jī)試驗(yàn)平臺(tái)中滾動(dòng)軸承故障信號(hào)。滾動(dòng)軸承常見的故障類型為外圈故障和內(nèi)圈故障，如圖3所示，其故障特征頻率計(jì)算公式如下：

圖2 滾動(dòng)軸承故障診斷試驗(yàn)平臺(tái)Fig.2 Experimental platform of roller bearingfault diagnosis

(a)外圈故障 (b)內(nèi)圈故障圖3 軸承故障類型Fig.3 The type of bearing fault

內(nèi)圈故障特征頻率

(15)

外圈故障特征頻率

(16)

式中，fr為轉(zhuǎn)頻；d為滾珠直徑；D為節(jié)圓直徑(滾動(dòng)體中心所在圓的直徑)；?為接觸角；Z為滾珠數(shù)。

風(fēng)機(jī)試驗(yàn)平臺(tái)采用輸出帶寬為5 Hz到60 kHz且靈敏度為10 mV/g的加速度傳感器(PCB MA352A60)采集垂直方向的振動(dòng)信號(hào)數(shù)據(jù)，將傳感器用螺絲固定在軸承座上，采集的信號(hào)包括滾動(dòng)軸承正常振動(dòng)信號(hào)、外圈故障信號(hào)和內(nèi)圈故障信號(hào)，風(fēng)機(jī)試驗(yàn)滾動(dòng)軸承具體參數(shù)見表2。信號(hào)經(jīng)過傳感器信號(hào)調(diào)節(jié)器(PCB ICP Model 480C02)放大后傳輸至信號(hào)記錄儀(Scope Coder DL750)。在恒定轉(zhuǎn)速(1000 r/min)下進(jìn)行試驗(yàn)數(shù)據(jù)采集，采樣頻率f為50 kHz。通過線切割加工技術(shù)，在風(fēng)機(jī)試驗(yàn)臺(tái)滾動(dòng)軸承外圈加工0.3 mm×0.15 mm(寬×深)微小凹痕(圖3a)以模擬外圈故障在內(nèi)圈加工0.5 mm×0.15 mm(寬×深)微小凹痕(圖3b)以模擬內(nèi)圈故障。由式(15)、式(16)求得其外圈和內(nèi)圈的故障特征頻率分別為88.64 Hz和128.03 Hz。

表2 軸承參數(shù)

3.2 信號(hào)處理及分析

對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理，圖4為滾動(dòng)軸承正常振動(dòng)信號(hào)、外圈故障振動(dòng)信號(hào)和內(nèi)圈故障振動(dòng)信號(hào)的波形圖。

本文提出了在小波變換基礎(chǔ)上利用同步壓縮變換方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理，以減小小波變換帶來(lái)的能量擴(kuò)散，提高小波變換之后的能量聚集程度，使得各頻率特征能夠較為清晰地呈現(xiàn)在時(shí)頻譜中，從而能夠?qū)C(jī)械運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)進(jìn)行準(zhǔn)確判斷。

本文選擇bump小波對(duì)故障信號(hào)進(jìn)行小波變換，針對(duì)外圈故障信號(hào)，圖5a為濾波后的故障信號(hào)短時(shí)傅里葉譜，從圖中無(wú)法找出任何頻率特征。對(duì)濾波后的故障信號(hào)進(jìn)行小波變換處理，圖5b給出了小波變換時(shí)頻譜，顯然，小波變換的效果不是特別理想，由于能量泄漏嚴(yán)重，致使小波變換時(shí)頻譜不僅無(wú)法看出特征頻率，而且低頻部分仍殘留很大噪聲。使用同步壓縮對(duì)小波變換后的小波系數(shù)進(jìn)行處理，并進(jìn)行自適應(yīng)閾值降噪，結(jié)果如圖5c所示。圖5c清晰地反映出該方法不僅濾除了絕大部分噪聲，而且時(shí)頻譜中88.34 Hz、177 Hz以及267 Hz處都出現(xiàn)了清晰的能量集中帶，與外圈的故障特征頻率88.64 Hz及其2倍頻177.28 Hz、3倍頻265.92 Hz十分接近，由此可以判斷軸承的外圈出現(xiàn)了故障，與實(shí)際情況相符。

(a)正常振動(dòng)信號(hào)

(b)外圈故障振動(dòng)信號(hào)

(c)內(nèi)圈故障振動(dòng)信號(hào)圖4 軸承振動(dòng)信號(hào)Fig.4 The bearing vibration signal

針對(duì)內(nèi)圈故障信號(hào)，圖6a給出了濾波后的內(nèi)圈故障信號(hào)短時(shí)傅里葉譜，同樣無(wú)法找出任何特征。對(duì)濾波后的內(nèi)圈故障信號(hào)作小波變換，圖6b給出了小波變換時(shí)頻譜，同樣，由于小波變換帶來(lái)的嚴(yán)重的能量泄漏，時(shí)頻譜中無(wú)法看出故障特征頻率，且仍有很大噪聲殘留。使用同步壓縮變換方法對(duì)小波變換后的小波系數(shù)進(jìn)行處理并進(jìn)行自適應(yīng)閾值去噪，結(jié)果如圖6c所示。從時(shí)頻譜中可以清晰地反映出在128.03 Hz、256 Hz、386 Hz處都出現(xiàn)了較為清晰的能量集中帶，與內(nèi)圈故障特征頻率128.03 Hz及其2倍頻256.06 Hz、3倍頻384.09 Hz十分接近，由此判斷出軸承的內(nèi)圈出現(xiàn)了故障，與實(shí)際情況相符。

(a)外圈故障振動(dòng)信號(hào)STFT變換結(jié)果

(b)外圈故障振動(dòng)信號(hào)CWT變換結(jié)果

(c)外圈故障振動(dòng)信號(hào)自適應(yīng)閾值去噪后SWT變換結(jié)果圖5 外圈故障振動(dòng)信號(hào)處理結(jié)果Fig.5 The processing results of an experimental bearing with outer ring fault signal

(a)內(nèi)圈故障振動(dòng)信號(hào)STFT變換結(jié)果

(b)內(nèi)圈故障振動(dòng)信號(hào)CWT變換結(jié)果

(c)內(nèi)圈故障振動(dòng)信號(hào)自適應(yīng)閾值去噪后SWT變換結(jié)果圖6 內(nèi)圈故障振動(dòng)信號(hào)處理結(jié)果Fig.6 The processing results of an experimental bearing with inner ring fault signal

試驗(yàn)結(jié)果表明，SWT通過利用小波變換后信號(hào)頻域中相位不受尺度變換影響的特點(diǎn)求取各尺度下所對(duì)應(yīng)的頻率，再將同一頻率對(duì)應(yīng)的尺度相加，使同一頻率附近的值壓縮至該頻率中，不僅能夠提高時(shí)頻分辨率，而且能夠在尺度域上減少能量擴(kuò)散，提高時(shí)頻分布的聚集程度，更為清晰地顯示時(shí)頻分析結(jié)果，能夠取得令人滿意的效果，處理效果優(yōu)于CWT，而且能夠從時(shí)頻譜中精確地提取出特征頻率，從而判斷滾動(dòng)軸承的運(yùn)轉(zhuǎn)狀況。

4 結(jié)論

(1)本文介紹了SWT的理論方法。首先用CWT對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理，自適應(yīng)地選擇合適閾值，濾除影響相變換的系數(shù)，再對(duì)滿足|Wx(a,b;ψ)|>γ的小波變換系數(shù)進(jìn)行同步壓縮。

(2)構(gòu)建模擬信號(hào)并用SWT進(jìn)行處理并重構(gòu)，證明SWT能夠高精度地刻畫時(shí)頻分辨率，而且具有較高的信號(hào)提取精度，可以提取并重構(gòu)出不同頻率成分。

(3)搭建試驗(yàn)平臺(tái)采集滾動(dòng)軸承故障信號(hào)的實(shí)際監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)。選擇合適小波基分別對(duì)外圈故障信號(hào)和內(nèi)圈故障信號(hào)進(jìn)行CWT及SWT處理，比較后得出，SWT處理結(jié)果更佳，證明與CWT相比，SWT對(duì)噪聲具有更好的魯棒性，能夠有效抑制噪聲，精確提取故障特征頻率，優(yōu)勢(shì)明顯。

本文所用數(shù)據(jù)來(lái)自滾動(dòng)軸承故障試驗(yàn)平臺(tái)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，所有故障均模擬工程實(shí)際故障狀態(tài)，未來(lái)會(huì)將此方法應(yīng)用到工程實(shí)際中以驗(yàn)證該方法的工程實(shí)際應(yīng)用效果。

參考文獻(xiàn)：

[1] SINHA S, POUTH P S, ANNO P D, et al. Spectral Decomposition of Seismic Data with Continuous-wavelet Transforms [J]. Geophysics, 2005, 70(6):19-25.

[2] DAUBECHIES I , LU Jianfeng, WU H T . Synchrosqueezed Wavelet Transforms：an Empirical Mode Decomposition-like Tool [J]. Applied and Computational Harmonic Analysis, 2011, 30:243-261.

[3] LI Chuan, LIANG Ming. Time-frequency Signal Analysis for Gearbox Fault Diagnosis Using a Generalized Synchrosqueezing Transform [J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2012, 26(1):205-217.

[4] GAURAV T, EUGENE B, NEVEN S, et al. The Synchrosqueezing Algorithm for Time-varying Spectral Analysis: Robustness Properties and New Paleoclimate Applications [J]. Signal Processing, 2013, 93(5):1079-1094.

[5] WU H T , CHAN Y H , LIN Y T, et al. Using Synchrosqueezing Transform to Discover Breathing Dynamics from ECG Signals [J]. Appl. Comput. Harmon. Anal.， 2014, 36(2):354-359.

[6] HERRERA R H, HAN Jiajun, van der BAAN M. Applications of the Synchrosqueezing Transform in Seismic Time-frequency Analysis [J]. Geophysics， 2014, 79(3):V55-V64.

[7] 厲祥.基于SST和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的風(fēng)電功率預(yù)測(cè)[D].武漢：武漢科技大學(xué)，2014.

LI Xiang. Wind Power Prediction Based on SST and Neural Network [D]. Wuhan: Wuhan University of Science and Technology, 2014.

[8] 褚福磊，彭志科，馮志鵬，等.機(jī)械故障診斷中的現(xiàn)代信號(hào)處理方法[M].北京：北京出版社，2009.

CHU Fulei, PENG Zhike, FENG Zhipeng, et al. Modern Fault Processing in Mechanical Fault Diagnosis Method [M]. Beijing: Beijing Press, 2009.