例談源于課本的高考試題

張之寧++馬艷

分析近幾年全國各地高考題可以發(fā)現(xiàn)，在試題中能找到課本習題、例題的影子，來源于課本，而又高于課本，因此只要抓住課本不放，強化數(shù)學思維、方法的訓練，夯實課本教材知識，認真研究例題、習題，定能走出困惑的題海，變苦學、死學為樂學、活學，在備考中取得事半功倍的效果.下面就以部分試題來說明高考試題無論形式上還是方法上源于課本.

例1（2015年湖南高考）設函數(shù)f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），則f（x）是（）

A.奇函數(shù)，且在（0，1）上是增函數(shù)

B.奇函數(shù)，且在（0，1）上是減函數(shù)

C.偶函數(shù)，且在（0，1）上是增函數(shù)

D.偶函數(shù)，且在（0，1）上是減函數(shù)

分析此題主要考查了以對數(shù)函數(shù)為背景的單調性與奇偶性，屬于中檔題，該題出自高中

數(shù)學人教A版必修1第2章基本初等函數(shù)復習參考題A組第8題，該題為：

已知函數(shù)f（x）=lg1-x1+x，a，b∈-1，1，求證：fa+fb=fa+b1+ab.

該題雖是一道證明題，但老師們在授課時并沒把它單純看成證明題，往往都追問該函數(shù)的奇

偶性，該題解法為：

fa+b=lg1-a1+a+lg1-b1+b=lg1-a1+a×1-b1+b=lg1+ab-a-b1+ab+a+b=lg1-a+b1+ab1+a+b1+ab=fa+b1+ab，

如果a=-x，b=x則f-x+f（x）=f0=lg1=0，進而f-x=-f（x），所以f（x）為奇函數(shù).

借鑒該題解法，解析2015年湖南高考試題.

解f（x）定義域為（-1，1），關于原點對稱，因為f（x）=ln（1+x）-ln（1-x）=ln1+x1-x，

所以f-x+f（x）=ln1-x1+x+ln1+x1-x=ln1-x1+x×1+x1-x=ln1=0即f-x=-f（x），

因此f（x）為奇函數(shù)，f（x）在（0，1）上單調遞增，故選A.

仔細分析該高考試題的解答過程，其本質與課本習題是一致的，因此解法也一樣，該試題是以對數(shù)函數(shù)為背景的單調性與奇偶性，就比課本的入手高了很多，體現(xiàn)了源于課本，卻高于課本的思想.

例2（2014年山東高考）已知等差數(shù)列{an}的公差為2，前n項和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）令bn=-1n-14nanan+1，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.

分析此題出自高中數(shù)學人教A版必修5第2章數(shù)列，習題23B組第4題，該題為：數(shù)列1nn+1的前n項和Sn=11×2+12×3+13×4+14×5+…+1nn+1，研究一下，能否找到求Sn的一個公式.該題解法為：

由于1nn+1=1n-1n+1，

所以Sn=1-12+12-13+13-14+14-15+…+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1.

借鑒該題解法，解析2014年山東高考試題.

解（1）因為S1=a1，S2=2a1+2×12×2=2a1+2，S4=4a1+4×32×2=4a1+12，

由題意得（2a1+2）2=a1（4a1+12），解得a1=1，

所以an=2n-1.

（2）由題意可知，

bn=（-1）n-14nanan+1=（-1）n-14n（2n-1）（2n+1）=（-1）n-112n-1+12n+1.

當n為偶數(shù)時，

Tn=1+13-13+15+…+12n-3+12n-1-12n-1+12n+1=1-12n+1=2n2n+1.

當n為奇數(shù)時，

Tn=1+13-13+15+…-12n-3+12n-1+12n-1+12n+1=1+12n+1=2n+22n+1.

所以Tn=2n+22n+1，n為奇數(shù)，

2n2n+1，n為偶數(shù).或Tn=2n+1+（-1）n-12n+1

仔細分析該高考試題的解答過程，其解法是課本習題解法的遷移，該試題巧妙的與（-1）n-1相結合，起到了列項相消的功能，就比課本的方法高了很多，體現(xiàn)了解題方法的遷移與升華.

例3（2014年湖北高考）某實驗室一天的溫度（單位：℃）隨時間t（單位：h）的變化近似滿足函數(shù)關系：

ft=10-3cosπ12t-sinπ12t，t∈[0，24）.

（1）求實驗室這一天的最大溫差.（2）若要求實驗室溫度不高于11℃，則在哪段時間實驗室需要降溫？

分析此題出自高中數(shù)學人教A版必修4第1章第16節(jié)三角函數(shù)模型的簡單應用例1，該題為：

如圖，某地一天從6～14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+b.

1）求這一天的最大溫差；

2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式.

該題解法為：

1）由圖可知，這段時間的最大溫差是20℃.

2）從圖中可以看出，從6～14時的圖象是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+b的半個周期的圖象，所以A=12（30-10）=10，b=12（30+10）=20.

因為12·2πω=14-6，所以ω=π8.

將x=6，y=10代入上式，解得φ=3π4.

綜上，所求解析式為y=10sin（π8x+3π4）+20，x∈[6，14].

而2014年湖北卷就是該題姊妹題，該題解法為：

解（1）因為f（t）=10-2（32cosπ12t+12sinπ12t）=10-2sin（π12t+π3），

又0≤t<24，所以π3≤π12t+π3<7π3，-1≤sin（π12t+π3）≤1.

當t=2時，sin（π12t+π3）=1；當t=14時，sin（π12t+π3）=-1.

于是f（t）在[0，24）上取得的最大值是12，最小值是8.

故實驗室這一天的最高溫度為12℃，最低溫度為8℃，最大溫差為4℃.

（2）依題意，當f（t）≥11時，實驗室需要降溫.

由（1）得f（t）=10-2sin（π12t+π3），故有10-2sin（π12t+π3）>11，即sin（π12t+π3）<-12.

又0≤t<24，因此7π6<π12t+π3<11π6，即10

故在10時至18時實驗室需要降溫.

仔細分析該高考試題的解答過程，其本質與課本習題是一致的，因此解法也一樣，該試題與兩角和與差的正弦余弦公式結合，就比課本的難度高了一些，體現(xiàn)了課本知識間的聯(lián)系與融合.

通過以上幾個例題解法的比較，提示我們平時不能僅僅停留在課本表面，要用好課本，經常對課本上的例題、習題進行反思，對課本知識和方法進行“升華”，通過升華更深刻地理解知識和方法的內涵和外延，以做到融會貫通.

對2014年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江蘇賽區(qū)復賽第一試第三題的完整解答

北京豐臺二中100071甘志國

文獻[1]，[2]，[3]均給出了2014年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江蘇賽區(qū)復賽試題第一試第三題及其解答（且兩者完全相同），筆者發(fā)現(xiàn)其解答有誤，下面給出這道賽題的完整解答.

賽題（2014年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江蘇賽區(qū)復賽試題第一試第三題）已知動點A、B在橢圓x28+y24=1上，且線段AB的垂直平分線始終過點P（-1，0）.

（1）求線段AB中點M的軌跡方程；

（2）求線段AB長度的最大值.

解（1）?。╋@然，當AB⊥x軸時滿足題意，得此時線段AB中點M的軌跡方程是y=0（-22

ⅱ）當AB與x軸不垂直時，可設點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），M（x0，y0），得x1+x2=2x0，y1+y2=2y0.

由點A、B均在橢圓x28+y24=1上，可得

x218+y214=1，x228+y224=1，

把它們相減后，可得

x0（x1-x2）=-2y0（y1-y2）（x1≠x2）.

若y0=0，得x0=0，所以點M即坐標原點O（0，0）.再由線段AB的垂直平分線過點P（-1，0），得AB⊥x軸，這與“AB與x軸不垂直”矛盾！

所以y0≠0，得x0≠0，再得

kAB=y1-y2x1-x2=-x02y0≠0①

又線段AB的垂直平分線過點P（-1，0），得kAB·kPM=-1，即

-x02y0·y0-0x0+1=-1，

x0=-2.②

再由弦AB的中點M（x0，y0）即M（-2，y0）在橢圓x28+y24=1內，可得

（-2）28+y204<1（y0≠0）

0

綜上所述可得所求軌跡方程是：y=0（-22

（2）?。┊擜B⊥x軸時，當且僅當線段AB是已知橢圓的短軸時，ABmax=4.

ⅱ）當AB與x軸不垂直時，可設線段AB中點M（x0，y0）（x0y0≠0），再設A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）.

由①②得kAB=1y0，所以直線AB的方程是y-y0=1y0（x+2）.

由y-y0=1y0（x+2），

x28+y24=1得

（y20+2）x2+4（y20+2）x+2y40+8=0，

所以

x1+x2=-4，x1x2=2y40+8y20+2，

由弦長公式，得

AB=k2AB+1x1-x2=（k2AB+1）[（x1+x2）2-4x1x2]=…=22·5-y20+2+4y20+2

由③，得2

所以線段AB長度的最大值是4.

參考文獻

[1]中國數(shù)學會普及工作委員會組編.2015高中數(shù)學聯(lián)賽備考手冊（預賽試題集錦）[Z].上海：華東師范大學出版社，2014

[2]吳中麟提供.2014年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江蘇賽區(qū)復賽[J].中等數(shù)學，2015（3）：34-38

[3]武增明.解析幾何中兩動點間的距離的最值類型[J].中學數(shù)學雜志，2016（1）：36-39