孟令勝

(西北師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院， 甘肅 蘭州 730070)

0 引 言

廣義逆理論是一個應用十分廣泛的數(shù)學分支，在數(shù)值線性代數(shù)、線性規(guī)劃、最優(yōu)化、控制論、馬爾可夫鏈、數(shù)理統(tǒng)計、信號傳輸、微分方程等重要領(lǐng)域都有極其廣泛的應用. 1955年P(guān)ENROSE在MOORE關(guān)于廣義逆的基礎(chǔ)上提出了4個更加便于理解的方程[1]：

設(shè)A∈Cm×n，若存在G∈Cn×m使得

(1)AGA=A; (2)GAG=G;

(3) (AG)*=AG; (4) (GA)*=GA,

則稱G是A的Moore-Penrose逆，這4個方程稱為M-P方程.

全部或部分滿足M-P方程的矩陣G，稱為A的廣義逆. 若G滿足M-P方程中的第(i),…,(j)個方程，則稱G為矩陣A的一個{i,…,j}-逆，記為A{i,…,j}.A的所有{i,…,j}-逆的集合用A{i,…,j}表示，其中A{1},A{1,2},A{1,3}和A{1,4}都是常用的廣義逆，并且一般都不是唯一存在的.

廣義逆的擾動研究是廣義逆理論中一個非常重要的課題，WEDIN[2]、STEWART[3]、孫繼廣[4]和WEI等[5]等國內(nèi)外專家都在此研究領(lǐng)域做出了重要貢獻. 迄今為止，廣義逆擾動理論的研究成果已有很多. 關(guān)于Moore-Penrose逆和Drazin逆的擾動理論可參閱文獻[1-12].

鑒于{1}-逆在矩陣理論和計算中的重要作用(例如相容線性系統(tǒng)Ax=b的通解可以表示為x=A(1)b+(I-A(1)A)y)，LIU等[12]研究了{1}-逆在保秩擾動下的連續(xù)性；WEI等[13]和MENG等[14]分別給出了{1}-逆在譜范數(shù)和Frobenius范數(shù)下的加法和乘法擾動界. 另外， 因為{1,3}-和{1,4}-逆在實際應用中也起著非常重要的作用，例如最小二乘問題min‖Ax-b‖2的最小二乘解可表示為x=A(1,3)b；相容線性系統(tǒng)Ax=b的最小范數(shù)解可表示為x=A(1,4)b[1]，所以MENG等[14]研究了這兩類廣義逆在譜范數(shù)和Frobenius范數(shù)下的加法和乘法擾動界.

因譜范數(shù)和Frobenius范數(shù)是兩類特殊的酉不變范數(shù)，因此，本文試圖將文獻[14]中的關(guān)于{1,3}-和{1,4}-逆在譜范數(shù)和Frobenius范數(shù)下的結(jié)果推廣到一般的酉不變范數(shù). 對于給定的矩陣A,B∈Cm×n及A(1,i)∈A{1,i},i=3,4，文獻[14]給出了譜范數(shù)和Frobenius范數(shù)下距離A(1,i)最近的矩陣B的{1,i}-逆的具體表達式，參見文獻[14]theorem 3.1和theorem 3.2.

本文的主要工作為： 首先證明當譜范數(shù)和Frobenius范數(shù)推廣到一般的酉不變范數(shù)時，文獻[14]中給出的距離A(1,i)最近的矩陣B的{1,i}-逆不變；其次，利用該結(jié)果給出{1,3}-和{1,4}-逆在酉不變范數(shù)下的加法和乘法擾動界，所得擾動界推廣和改進了文獻[14]中的結(jié)果.

首先給出本文所用到的2個引理.

其中L,M為適當階數(shù)的矩陣.

引理2[14]設(shè)矩陣X,Y∈Cm×n，如果X*Y=0，則‖X‖≤‖X+Y‖.

1 最佳逼近的{1,3}-和{1,4}-逆

其中i=3,4.

定理1假設(shè)A,B∈Cm×n. 對于任意給定的A(1,3)∈A{1,3},存在唯一的矩陣

使得

‖B+-B+BA(1,3)‖.

(1)

‖B(1,3)-A(1,3)‖.

且

因此

‖B+-B+BA(1,3)‖,

其中，

證畢.

注意到當且僅當G*∈A*{1,3}時,G∈A{1,4}，因此利用上述定理中的結(jié)果，容易得到下面的定理.

定理2假設(shè)A,B∈Cm×n. 對于任意給定的A(1,4)∈A{1,4}，存在唯一的矩陣：

使得

‖B+-A(1,4)BB+‖.

注記1當定理1和定理2中的酉不變范數(shù)取為譜范數(shù)或Frobenius范數(shù)時，定理1和定理2中的結(jié)果就分別變成文獻[14]中的theorem 3.1和theorem 3.2.

2 {1,3}-和{1,4}-逆的加法和乘法擾動界

利用上節(jié)結(jié)果，本節(jié)將給出 {1,3}-和{1,4}-逆的加法和乘法擾動界.

‖A+‖2‖BB+E‖2‖A(1,3)‖+O(‖E‖2‖E‖).

證明對于給定的A(1,3)，由引理1知，存在矩陣Z∈Cn×m，使得A(1,3)=A++(I-A+A)Z. 另外，易見

B+-A+=B+(A-B)A++B+(I-AA+)-

(I-B+B)A+.

(2)

故由式(1)、(2)及B=A+E可得

‖-B+EA+-B+E(I-A+A)Z‖+

‖B+BB+(I-AA+)‖=‖B+BB+EA(1,3)‖+

‖B+(B+)*E*(I-AA+)‖≤

‖B+‖2‖BB+E‖2‖A(1,3)‖+

另外,由定理的條件知:

從而可推得結(jié)論成立.證畢.

其中，Φ(D1,D2)=(1-‖I-D1‖2)(1-‖I-D2‖2)，且t1和t2為任意復數(shù).

(3)

當max{‖I-D1‖2, ‖I-D2‖2}<1時，有

(4)

對于給定的A(1,3)，由引理1知，存在矩陣Z∈Cn×m，使得A(1,3)=A++(I-A+A)Z.

綜合式(2)和(3)，得到

B+-B+BA(1,3)=B+B(B+-A+-(I-A+A)Z)=

由上式和式(4),可得

‖B+-B+BA(1,3)‖≤

證畢.

再次利用G∈A{1,4}當且僅當G*∈A*{1,3}，由定理3和定理4即得{1,4}-逆的加法和乘法擾動界：

‖A+‖2‖EB+B‖2‖A(1,4)‖+O(‖E‖2‖E‖).

max{‖I-D1‖2, ‖I-D2‖2}<1，則有

其中，Φ(D1,D2)=(1-‖I-D1‖2)(1-‖I-D2‖2)，t1和t2為任意復數(shù).

注記2當定理3和定理5中的酉不變范數(shù)取為譜范數(shù)或Frobenius范數(shù)時，定理3和定理5就是文獻[14]中的theorem 4.1；當定理4和定理6中的酉不變范數(shù)取為譜范數(shù)或Frobenius范數(shù)且t1=t2=1時，定理4和定理6就變?yōu)槲墨I[14]中的theorem 5.2. 另外，注意到定理4和定理6給出的擾動界對任意復數(shù)t1和t2都成立，從而改進了文獻[14]的結(jié)果.

參考文獻(References)：

[1] BEN-ISRAEL A, GREVILLE T N E.GeneralizedInverses：TheoryandApplications[M]. 2nd ed. New York: Springer, 2003.

[2] WEDIN P ?. Perturbation theory for pseudoinverse [J].BIT, 1973, 13 (2) ： 217-232.

[3] STEWART G W. On the perturbation of pseudo-inverses, projections, and linear least squares problems [J].SIAMReview, 1977, 19 (4) ： 634-662.

[4] 孫繼廣.矩陣擾動分析[M].第2版. 北京： 科學出版社，2001.

SUN J G.MatrixPerturbationAnalysis[M]. 2nd ed. Beijing： Science Press, 2001.

[5] WEI Y, LI X, BU F. A perturbation bound of the Drazin inverse of a matrix by separation of simple invariant subspaces [J].SIAMJournalonMatrixAnalysisandApplications, 2005, 27 (1)： 72-81.

[7] HU N, LUO W, SONG C, et al. Norm estimations for the Moore-Penrose inverse of multiplicative perturbations of matrices [J].JournalofMathematicalAnalysisandApplications, 2016, 437(1)： 498-512.

[8] CAI L, XU W, LI W. Additive and multiplicative perturbation bounds for the Moore-Penrose inverse [J].LinearAlgebraanditsApplications, 2011, 434： 480-489.

[9] MENG L, ZHENG B. The optimal perturbation bounds of the Moore-Penrose inverse under the Frobenius norm [J].LinearAlgebraanditsApplications, 2010, 432(4)： 956-963.

[10] MENG L, ZHENG B. New multiplicative perturbation bounds of the Moore-Penrose inverse [J].LinearandMultilinearAlgebra, 2015, 63 (5) ： 1037-1048.

[11] ZHANG P, YANG H. A note on multiplicative perturbation bounds for the Moore-Penrose inverse [J].LinearandMultilinearAlgebra, 2014, 62 (6) ： 831-838.

[12] LIU X, WANG W, WEI Y. Continuity properties of the {1}-inverse and perturbation bounds for the Drazin inverse [J].LinearAlgebraanditsApplications, 2008, 429： 1026-1037.

[13] WEI M, LING S. On the perturbation bounds of g-inverse and oblique projections [J].LinearAlgebraanditsApplications, 2010, 433： 1778-1792.

[14] MENG L, ZHENG B, MA P. Perturbation bounds of generalized inverses [J].AppliedMathematicsandComputation, 2017, 296： 88-100.