楊春猛

(云南省玉溪第三中學(xué) 653100)

一、問(wèn)題的提出

處理高中數(shù)學(xué)中“等差乘以等比”型數(shù)列的主要方法是錯(cuò)位相減法，在具體計(jì)算過(guò)程中計(jì)算方法是比較容易掌握的，計(jì)算化簡(jiǎn)過(guò)程卻比較復(fù)雜，很多學(xué)生不容易計(jì)算出正確的結(jié)果，筆者針對(duì)這一問(wèn)題推導(dǎo)出一個(gè)方便記憶和計(jì)算的公式，以方便大家使用.

二、公式

三、應(yīng)用

設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3=5，S5=25.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)bn=an2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．

解(1)略.

(2)由(1)知，bn=an2an=(2n+1)22n+1=(4n+2)4n,

則Tn=6·41+10·42+14·43+…+(4n+2)4n，

4Tn=6·42+10·43+14·44+…+(4n+2)4n+1.

(*)

評(píng)析上述公式在使用時(shí)的技巧性在于分子的q2往上乘時(shí)，等差等比各乘一個(gè)q.

例2 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1，且對(duì)任意正整數(shù)n，滿足2an+1+Sn-2=0．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

例3 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,(an-Sn-1)2=Sn·Sn-1(n≥2),且a1=1,a2>0.

(1)求a2的值，并證明{Sn}的等比數(shù)列；

(2)設(shè)bn=(-1)nlog2Sn,Tn=b1+b2+…+bn,求Tn.

解(1)略.(2)由(1)知，Sn=4n-1.

∴bn=(-1)n(2n-2),

四、推導(dǎo)過(guò)程

cn=anbn，

所以Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn

qSn=a1b2+a2b3+a3b4+…+an-1bn+anbn+1

所以c0=a0b0，就是cn中的n取0時(shí)的值.

參考文獻(xiàn)：

[1]藍(lán)云波. 差比型數(shù)列前n項(xiàng)和的三種求解方法[J]. 中學(xué)生數(shù)理化:高二高三版, 2016(1):8-8.

[2]于克清. 探究差比型數(shù)列求和的方法[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考, 2016(Z3):82-83.