劉彥永

(東北師范大學(xué)附屬中學(xué) 130021)

2017年高考新課標(biāo)Ⅱ文科第21題，題目雖不新穎，但是內(nèi)涵豐富，引起了筆者的深入探索和思考.題目如下：

設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.

(1)討論的f(x)單調(diào)性；

(2)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍.

一、試題分析

本題屬于傳統(tǒng)題，考查了函數(shù)的單調(diào)性和恒成立問(wèn)題.以含參數(shù)不等式問(wèn)題為載體，既考查學(xué)生的分類(lèi)討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)方程及不等式思想，又考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.本題由淺入深，對(duì)計(jì)算難度、思維深度的要求逐步提高，很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的科學(xué)性、應(yīng)用性和創(chuàng)造性.

二、解法探究

本題解法很多，不同的解法體現(xiàn)不同的思維層次和思考角度，要求考生要有一種勇于探索、敢于實(shí)踐的精神.

方法一：分類(lèi)討論、假設(shè)反證法

構(gòu)造函數(shù)g(x)=(1-x2)ex-ax-1，則g′(x)=(-x2-2x+1)ex-a，g″(x)=(-x2-4x-1)ex.當(dāng)x≥0時(shí)，g″(x)=(-x2-4x-1)ex<0，故g′(x)在(0,+)上單調(diào)遞減，且g′(0)=1-a.

①當(dāng)1-a≤0即a≥1，x>0時(shí)，g′(x)=(-x2-2x+1)ex-a<0，g(x)在[0,+)上單調(diào)遞減，且g(0)=0，g(x)≤0，即f(x)≤ax+1恒成立.

②當(dāng)1-a>0即a<1時(shí)，g′(0)=1-a>0,且x→+時(shí)，g′(x)=(-x2-2x+1)ex-a→-，故存在x0>0使得g′(x0)=0，x∈(0,x0)時(shí)g′(x)>0，g(x)在(0,+)上單調(diào)遞增，且g(0)=0，有g(shù)(x)≥0，不符合題意.

綜上所述，a的取值范圍是[1,+).

方法二：應(yīng)用分離參數(shù)法和洛必達(dá)法則

①當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=(1-x2)ex≤ax+1即為1≤0·a+1，此時(shí)a∈R；

記p(x)=(-x3-x2+x-1)ex+1，則p′(x)=-x(x2+4x+1)ex<0，故p(x)在(0,+)上單調(diào)遞減，且p(0)=0，故p(x)<0，即在(0,+)上單調(diào)遞減.

方法三：數(shù)形結(jié)合

先畫(huà)出函數(shù)f(x)=(1-x2)ex在[0,+)上的草圖.

方法四：端點(diǎn)效應(yīng)

構(gòu)造函數(shù)g(x)=(1-x2)ex-ax-1，則g′(x)=(-x2-2x+1)ex-a.因?yàn)間(0)=0，故一定存在x0>0使得x∈[0,x0)時(shí)g′(x)≤0.(若不然，即任意x0>0，x∈(0,x0)時(shí)g′(x)>0，則x∈(0,x0)時(shí)g(x)>0，不符合題意.)從而有g(shù)′(0)=1-a≤0，即a≥1. 下面證明a=1時(shí)g(x)=(1-x2)ex-x-1≤0 (x≥0)恒成立.由于g′(x)=(-x2-2x+1)ex-1，g″(x)=(-x2-4x-1)ex<0，知g′(x)在[0,+)上單調(diào)遞減，且g′(0)=0，故g′(x)≤0，g(x)max=g(0)=0≤0， 故a的取值范圍是[1,+).

以上解法各有千秋，這樣的一題多解能夠啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的運(yùn)算過(guò)程去分析和解答試題.

三、考題回顧

新課標(biāo)Ⅱ文科第21題在2010年和2016年也均考查含參不等式恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了高考試題“?？汲Ｐ?，推陳出新”的理念.上述四種解法對(duì)下面的高考試題均奏效，由于篇幅關(guān)系，此處不再贅述.

(2010年高考新課標(biāo)Ⅱ文科第21題)已知函數(shù)f(x)=x(ex-1)-ax2.

(2)若當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0，求a的取值范圍.

(2016年高考新課標(biāo)Ⅱ文科第21題)已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).

(1)當(dāng)a=4時(shí)，求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程；

試題解法的探究?jī)H僅是試題研究的一個(gè)開(kāi)端.對(duì)解法的探索是在踐行我們所學(xué)的知識(shí)技能和思想方法，同時(shí)也使我們的思維更廣闊、思想更深刻.對(duì)試題本質(zhì)的探源，使我們更深刻地認(rèn)識(shí)問(wèn)題，將新舊解題經(jīng)歷跨時(shí)空貫通起來(lái)，這又是一個(gè)新的開(kāi)始.

參考文獻(xiàn)：

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析第四版上冊(cè)[M].北京：高等教育出版社, 2010.