， ，

(聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 聊城 252059)

切換系統(tǒng)是一類重要的混雜系統(tǒng), 由有限數(shù)量的子系統(tǒng)及操縱這些子系統(tǒng)切換的邏輯規(guī)則組成，是混雜系統(tǒng)研究的重要方向，不僅有重要的理論價值，而且具有廣泛的實際應(yīng)用背景，如電力系統(tǒng)、機(jī)器人控制系統(tǒng)和車輛控制系統(tǒng)等。因此，切換系統(tǒng)得到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，出現(xiàn)了許多研究成果[1-5]。眾所周知，時滯現(xiàn)象在許多工程系統(tǒng)中廣泛存在，使得系統(tǒng)性能變差，甚至是導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定的重要原因之一。中立系統(tǒng)是一類特殊的時滯系統(tǒng)，時滯現(xiàn)象不僅存在于狀態(tài)而且存在于狀態(tài)導(dǎo)數(shù)中。近年來，也涌現(xiàn)出很多關(guān)于中立系統(tǒng)穩(wěn)定性[6-7]、H∞控制[8]等方面工作。

值得注意的是，目前大多數(shù)關(guān)于切換系統(tǒng)性能的文獻(xiàn)集中于定義在無窮時間區(qū)間上的李雅普諾夫漸近穩(wěn)定，而在有限時間內(nèi)的系統(tǒng)動態(tài)性能的研究相對較少。文獻(xiàn)[9]，對一類切換系統(tǒng)引進(jìn)了有限時間穩(wěn)定的概念，文獻(xiàn)[10]研究了切換系統(tǒng)有限時間有界與L2增益分析等。因此，對于時滯切換系統(tǒng)有限時間性能的進(jìn)一步研究具有現(xiàn)實意義。同時，Zhang等[11]首次提出增廣的耗散性概念，即通過矩陣參數(shù)調(diào)整，使增廣的耗散性涵蓋一些著名的性能指標(biāo)如H∞、L2-L∞、無源性、(Q,S,R)-耗散性等，更便于系統(tǒng)性能的分析，目前該概念已經(jīng)被引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等問題的研究中[12-13]。

但增廣耗散性能指標(biāo)在切換系統(tǒng)中還少有研究，因此本研究將增廣耗散性能指標(biāo)的研究擴(kuò)展到中立時滯切換系統(tǒng)，并分析系統(tǒng)的有限時間有界性。首先，給出問題陳述及相關(guān)引理，然后基于平均駐留時間以及線性矩陣不等式方法得到中立時滯切換系統(tǒng)有限時間有界且滿足有限時間增廣的耗散性性能指標(biāo)的充分條件，最后給出相關(guān)結(jié)論并通過數(shù)值仿真實例驗證方法的有效性。

1 問題描述

考慮下面帶有時變時滯的中立切換系統(tǒng)：

(1)

zt=Fσ(t)x(t) ，

(2)

x(θ)=φθ，?θ∈-τ,0。

(3)

假設(shè)3矩陣ψ3，ψ4滿足以下條件：

2) ‖ψ1‖+‖ψ2‖‖ψ4‖=0。

假設(shè)4對?α≥0，μ≥1，?t∈0，Tf，有eαtμN(yùn)σ(0,t)≤b，Nσ(0,t)代表σ(t)在0,t區(qū)間上的切換次數(shù)，b為正的常數(shù)。

定義111對給定的矩陣ψ1，ψ2，ψ3和ψ4滿足假設(shè)3，當(dāng)初始狀態(tài)x(0)=0，系統(tǒng)(1)、(2)具有增廣的耗散性，如果對任意的Tf≥0及w(t)∈L20,∞以下的不等式成立:

(4)

其中：

J(t)=zΤ(t)ψ1z(t)+2zΤ(t)ψ2w(t)+wΤ(t)ψ3w(t)。

在定義1中，通過調(diào)整矩陣參數(shù)，增廣的耗散性涵蓋了一些著名的性能指標(biāo)：

1)L2-L∞性能指標(biāo):ψ1=0，ψ2=0，ψ3=γ2I，ψ4=I；

2)H∞性能指標(biāo):ψ1=-I，ψ2=0，ψ3=γ2I，ψ4=0；

3) 無源性:ψ1=0，ψ2=I，ψ3=γI，ψ4=0；

4) (Q，S，R)-耗散性:ψ1=Q，ψ2=S，ψ3=R-βI，ψ4=0。

定義210給定三個常數(shù)c1,c2,Tf且c1

(5)

成立，若w(t)=0，則稱為有限時間穩(wěn)定的。

定義310對任意T2>T1≥0，Nσ(T1,T2)代表σ(t)在時間區(qū)間T1,T2上的切換次數(shù)，如果

對于τa>0和整數(shù)N0≥0都成立，則τa稱為平均駐留時間。

N0為擾動界，不失一般性，本文取N0=0。

引理114X,Y為適當(dāng)維數(shù)的實向量，則2XΤY≤XΤX+YΤY成立。

引理214對正定矩陣N∈Rn×n，標(biāo)量τ>0和向量函數(shù)x·:R→Rn，積分不等式

2 主要結(jié)果

2.1 有限時間有界分析

定理1考慮系統(tǒng)(1)～(3)，令對給定正的標(biāo)量rm，如果存在適當(dāng)維數(shù)的對稱正定矩陣Ni,以及適當(dāng)維數(shù)的矩陣X11i，X12i，X22i，H1i，H2i使得

(6)

(7)

其中，

(8)

成立，同時，

λ2+hmeαhmλ3+τmeατmλ4+hmeαhmλ5+rmeαrmλ6c1+λ7d

(9)

進(jìn)一步，平均駐留時間滿足：

(10)

其中

λmin(Pi)=λ1,λmax(Pi)=λ2,λmax(Qi)=λ3,λmax(Zi)=λ4,λmax(Ti)=λ5,λmax(Mi)=λ6,λmax(Ni)=λ7。

(11)

且μ>1滿足

(12)

則切換系統(tǒng)(1)～(3)基于c1,c2,Tf,d,R,σ是有限時間有界的。

證明選取候選李雅普諾夫函數(shù)為

V(t)=Vσ(t)(t)=Vi(t)=V1i(t)+V2i(t)+V3i(t)+V4i(t)+V5i(t)。

基于系統(tǒng)(1)～(3)對V(t)求導(dǎo)得：

由牛頓-萊布尼茨公式得：

顯然成立。

又因為

其中，

由引理2得

因此，在狀態(tài)xt≠0的條件下，由式(7)～(8)得

(13)

積分式(13)，由式(12)～(13)得對?t∈tk,tk+1，

(14)

由定義3得：

(15)

另一方面，

(16)

≤[λmaxPi+hmeαhmλmaxQi+τmeατmλmaxZi+hmeαhmλmaxTi+rmeαrmλmaxMi]

≤λ2+hmeαhmλ3+τmeατmλ4+hmeαhmλ5+rmeαrmλ6c1。

(17)

由式(15)～(17)得

(18)

當(dāng)μ=1，由式(9)得

xΤ(t)Rx(t)

當(dāng)μ>1，由式(9)得

ln(λ1c2)-lnλ2+hmeαhmλ3+τmeατmλ4+hmeαhmλ5+rmeαrmλ6c1+λ7d-αTf>0

由(10)得

(19)

把式(19)代入式(18)得

證畢。

推論考慮系統(tǒng)(1)～(3)，令w(t)對給定正的標(biāo)量rm，存在適當(dāng)維數(shù)的正定對稱矩陣以及適當(dāng)維數(shù)的矩陣X11i，X12i，X22i，H1i，H2i使得

λ2+hmeαhmλ3+τmeατmλ4+hmeαhmλ5+rmeαrmλ6c1

其中λ1,λ2,λ3,λ4,λ5,λ6滿足式(11)，μ>1 滿足式(12)。

其中，

成立，當(dāng)平均駐留時間滿足

時，切換系統(tǒng)(1)～(3)基于c1,c2,Tf,R,σ(t)是有限時間穩(wěn)定的。

證明證明過程與定理1相似。證略。

2.2 有限時間增廣的耗散性分析

定理2考慮系統(tǒng)(1)～(3)，令對給定正的標(biāo)量rm，存在適當(dāng)維數(shù)的正定對稱矩陣以及適當(dāng)維數(shù)的矩陣X11i，X12i，X22i，H1i，H2i使得

(20)

(21)

(22)

其中，

(23)

(24)

平均駐留時間滿足

(25)

則系統(tǒng)滿足增廣的耗散性性能指標(biāo)且基于0,c2,Tf,d,R,σ(t)是有限時間有界的。

證明與定理1的證明相似，可得：

其中，

由式(22)～(23)得：

在零初始狀態(tài)V(0)=0下，得

因此

由假設(shè)4得

所以

考慮不等式

若ψ4>0，由假設(shè)3得ψ1=0,ψ2=0,ψ3>0，所以

因此對?

由(20)有

得

因此增廣的耗散性證明完成，以下證明有限時間有界，由以上證明得

從而

又因為ψ1≤0，所以

由以上不等式得

則

又因為

則由式(25)得xΤ(t)Rx(t)

3 仿真實例

考慮兩個子系統(tǒng)的情況，令系統(tǒng)(1)～(2)的參數(shù)為

以上仿真結(jié)果表明，存在相應(yīng)的矩陣使得相應(yīng)的矩陣不等式成立，系統(tǒng)有限時間有界與增廣的耗散性成立，從而驗證了方法的有效性。

4 結(jié)論

運(yùn)用平均駐留時間及線性矩陣不等式方法分析了系統(tǒng)有限時間有界與增廣的耗散性問題，基于增廣的耗散性概念，將H∞，L2-L∞，無源性，(Q,S,R)-耗散性指標(biāo)整合到一個統(tǒng)一的框架，使得系統(tǒng)性能的分析更加方便。用線性矩陣不等式方法可使仿真結(jié)果驗證更加便利。未來增廣的耗散性概念將會應(yīng)用到更多復(fù)雜動態(tài)系統(tǒng)中。

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