馬旭德，張東梅，尚春民

（長春理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，吉林 長春130022）

0 引言

球面工件作為航空、軍事領(lǐng)域中的常用零件，離散型磨料慢速研磨是其最主要的加工方法[1-4]。采用散粒磨料研磨技術(shù)進(jìn)行研磨，存在著研磨加工效率低、精度低、磨料磨損嚴(yán)重等問題，并且研磨加工后的工件通常要進(jìn)行清洗，這也在一定程度上加大了工作量。固著磨料高速研磨技術(shù)能夠很好的克服散粒磨料研磨加工技術(shù)的不足[5-6]。因此，在對球面工件進(jìn)行研磨時引入固著磨料高速研磨的方法顯得尤為必要[7-10]。

20世紀(jì)70年代開始，長春理工大學(xué)的一些研究人員經(jīng)過不懈的努力得出了研磨壓力和研磨速度對表面加工質(zhì)量的影響規(guī)律[11-13]。此后，王長興教授和楊建東教授等人又對磨具磨損這一難題進(jìn)行了深入研究，發(fā)現(xiàn)研磨過程中磨具與加工工件的相對運(yùn)動關(guān)系是造成磨具磨損的主要因素[14-16]。在此期間，國外一些學(xué)者也對固著磨料高速研磨加工技術(shù)進(jìn)行了一些研究，如David等人通過試驗研究，總結(jié)出了研磨參數(shù)對工件表面性能的影響規(guī)律；東京大學(xué)通過對丸片的研究成功加工出了Ra（表面粗糙度值)為8 nm的工件[17-19]。

本文針對固著磨料球面高速研磨技術(shù)高精度、高效率的要求，以力學(xué)知識和運(yùn)動學(xué)知識為基礎(chǔ)，得到了球面研磨過程中球模和球面磨具間的壓強(qiáng)分布表達(dá)式和相對研磨速度表達(dá)式。在上述基礎(chǔ)上利用Preston方程求出了球面均勻研磨磨具上丸片的分布密度規(guī)律。旨在實現(xiàn)球面工件的均勻研磨以及完善固著磨料球面高速研磨的相關(guān)理論。

1 固著磨料球面高速研磨理論

1.1 壓強(qiáng)分布的計算

圖1 球面研磨受力分析圖Fig. 1 Spherical lapping force analysis diagram

在固著磨料球面高速研磨過程當(dāng)中，計算球模與磨具上壓強(qiáng)的力學(xué)模型如圖1所示。R為球面工件的半徑，原坐標(biāo)系為 o x ' y ' z ' ，為了在固著磨料球面高速研磨中實現(xiàn)對球面工件的均勻研磨，磨具轉(zhuǎn)軸和工件轉(zhuǎn)軸之間要有一固定偏角α ，新直角坐標(biāo)系為 o x y z ，選取球模與磨具研磨面上的任意一點M（x,y,z)M( x, y, z )點研磨壓強(qiáng)的矢量方向與磨具法線的方向相同。β 為和的夾角，計算如下：

式中r = ( x2+ y2) 2 是任意點 M 點到 z 坐標(biāo)軸的距離。

由凹球面球模與凸球面磨具的接觸性質(zhì)以及壓頭壓力的作用線恰好跟所選新直角坐標(biāo)系的 z 軸相互重合的特點可知： M 點的壓強(qiáng)形式為拋物曲面，并假設(shè)其形式為

r同上，A和B為待求的常數(shù)。

由于球面研磨過程中邊界處的壓強(qiáng)大小為零，則

將式（3）代入式（2），得到A=BR2。將A=BR2再代入式（2）可得

用數(shù)學(xué)中曲面積分的知識計算壓強(qiáng)，選取曲面的外側(cè)為積分面，同時也要考慮與夾角 β 對計算的影響，有

圖2 曲面積分區(qū)域的投影圖Fig. 2 Projection plot of the surface integral area

式（5）中對坐標(biāo)曲面積分積分區(qū)域 Sxy的確定：從圖1中我們可以看出，球模與磨具之間的接觸面積是 O E 和 O D 的截面及部分球面所圍區(qū)域的表面積，這一部分球面在 o x y 面的投影區(qū)域見圖2。在圖2中進(jìn)行分析，設(shè)半徑為R的圓所圍的區(qū)域為S1，圖中陰影部分所圍的區(qū)域為S2，則曲面積分的積分區(qū)域為

曲面積分式（5）和曲面積分區(qū)域 Sxy式（6）都已知的情況下，我們很容易用極坐標(biāo)的知識解出：

把A、B得值代入式（2）可得

式（7）就是由計算得到的球面工件研磨過程中球模與磨具接觸表面間任意一點的壓強(qiáng)分布表達(dá)式。

實際上，對于球模來講，零件在磨具上的排列并未完全覆蓋磨具的整個表面積，所以在實際應(yīng)用式（7）時應(yīng)當(dāng)乘以一個修正系數(shù)G。因此，式（7）可改寫為

由于所乘的修正系數(shù)G與 λ 覆蓋比之間具有反比例的關(guān)系，而覆蓋比λ又是球面工件曲率半徑的R一元函數(shù)。因此，修正系數(shù)的G大小由球模的曲率半徑R來確定。

1.2 相對研磨速度的分析計算

（1）相對研磨速度的計算

計算球面研磨相對研磨速度的速度模型如圖3示。在圖3中，球模的半徑是R，主軸轉(zhuǎn)動的角速度與坐標(biāo)系Z軸同向且重合。由大球面高速研磨機(jī)的運(yùn)動特點可知，在球面研磨過程當(dāng)中，磨具轉(zhuǎn)軸Z與工件轉(zhuǎn)軸Z′之間要有一定固定偏角 α 。假設(shè)球模的轉(zhuǎn)動角速度為。

Fig. 3 Relative lapping speed

假設(shè) p 是球面工件與研磨磨具研磨面上的任意一點， o p 與坐標(biāo)系Z軸的正向夾角是在坐標(biāo)系 x o y 平面的投影與坐標(biāo)系x軸正向的夾角為，則球面磨具與球面工件之間相對轉(zhuǎn)動的角速度為

球面磨具與球面工件之間點的相對研磨速度為：

由式（10）我們可看出，球面研磨相對研磨速度是球面工件曲率半徑R、主軸轉(zhuǎn)動角速度大小ω1，球模轉(zhuǎn)動角速度大小ω2、偏角大小 α 及研磨面上任意點P的位置 ( θ ， ? ) 的函數(shù)。在固著磨料球面高速研磨過程中，在球面工件尺寸、研磨機(jī)主軸轉(zhuǎn)速及其它工藝參數(shù)不變的情況下，由研磨面上任意點P的位置 (θ ， ? ) 所決定。

查閱相關(guān)文獻(xiàn)可知[20],，將其代入式（10）可得：

式（11）就是任意瞬時球面工件與研磨磨具研磨面上任意點的相對研磨速度表達(dá)式，其數(shù)值為

（2）相對研磨速度的坐標(biāo)變換

在對壓強(qiáng)分布的分析計算當(dāng)中，我們選用的坐標(biāo)系是以球模軸線為Z軸的坐標(biāo)系，這樣計算起來比較簡便；在對相對研磨速度的分析計算當(dāng)中，我們選用的坐標(biāo)系是以主軸軸線為Z軸的坐標(biāo)系，這樣計算起來也比較簡便。但問題也隨之產(chǎn)生，壓強(qiáng)分布的坐標(biāo)系與相對研磨速度的坐標(biāo)系不同會對以后的分析計算產(chǎn)生影響，因此，我們要想辦法將兩個公式統(tǒng)一到一個坐標(biāo)系當(dāng)中，這里我們選用的坐標(biāo)系是圖1當(dāng)中的 o x y z 坐標(biāo)系。相對研磨線速度公式坐標(biāo)變換后的公式為：

1.3 球面均勻研磨磨具上丸片密度的分析計算

影響球面工件研磨不均勻的因素有很多，研磨過程中球面磨具的磨損變形是造成球面研磨不均勻的最主要因素。因此，想辦法設(shè)計制造出球面保形磨具是克服球面研磨不均勻的關(guān)鍵。本節(jié)將利用前面對壓強(qiáng)和速度的分析計算結(jié)果，并結(jié)合Preston方程得出球面保形磨具上各個環(huán)帶上丸片的密度公式，設(shè)計出球面保形磨具，以實現(xiàn)對球面工件的均勻研磨。

圖4 固著磨料球面研磨磨具圖Fig. 4 Solid abrasive spherical lapping tools

如圖4所示，根據(jù)丸片的直徑以及丸片之間的粘接距離，把磨具支撐部分劃分為幾個環(huán)帶，丸片就粘在環(huán)帶上。

由Preston方程（式14）計算出每個環(huán)帶上的磨損體積以及各個環(huán)帶上的磨損高度：

式中， ? R 為單位面積上的平均磨損高度； λ 為當(dāng)量系數(shù)；q為壓強(qiáng)；v為相對研磨速度；T為研磨時間[20-21]。

將式（8）和（13）代入式（14）并進(jìn)行化簡得：

球面研磨過程當(dāng)中環(huán)帶 i 上磨損高度：

f 為單個丸片面積； Zi為環(huán)帶 i 上的丸片數(shù)總數(shù)。

丸片數(shù)的確定：

首先要確定球面磨具最里面那一環(huán)的丸片數(shù)，然后按此公式遞推求出每一環(huán)的丸片數(shù)，然后，按計算的丸片分布將丸片粘接在磨具支撐部分，制造出保形磨具。

球面研磨過程中，磨具對工件起研磨作用。磨具的變形會直接導(dǎo)致球面工件的研磨不均勻。因此，設(shè)計出保形磨具是解決固著磨料球面高速研磨不均勻的關(guān)鍵。

2 固著磨料球面高速研磨實驗

2.1 試驗裝置與試驗方法

試驗裝置如圖5所示，其中凹球面磨具的曲率半徑為R=28146.46 mm；磨具上的丸片規(guī)格為，各個環(huán)上所對應(yīng)的丸片數(shù)分別為Z1=22; Z2=26; Z3=31; Z4=36; Z5=40; Z6=45;Z7=50; Z8=54（其中，Z1為磨具內(nèi)環(huán)丸片數(shù)；Z8為磨具外環(huán)丸片數(shù)），丸片總數(shù)Z = ∑ Zi= 3 0 4 。試驗?zāi)チ喜捎萌嗽旖饎偸庸すぜ捎们拾霃絩=28146.46 mm，直徑 φ 60 mm，厚度為20 mm的凸球面玻璃。研磨時間ti=2 min(i=1......5)。

試驗分兩部分完成：① 在主軸轉(zhuǎn)速以及研磨時間不變的情況下，使用不同的研磨壓力對球面工件進(jìn)行高速研磨，測量出不同研磨壓力下，不同點處球面工件的曲率半徑的相對變化量② 在研磨壓力和研磨時間不變的情況下，使用不同的主軸轉(zhuǎn)速對球面工件進(jìn)行高速研磨，測量出不同點處球面工件的曲率半徑的相對變化量

圖5 研磨過程圖Fig. 5 Grinding process diagram

球面研磨后凸球面玻璃零件如圖6所示，測得的其曲率（直徑）如圖7所示。

圖6 凸球面玻璃零件圖Fig.6 Convex glass parts drawing

圖7 球面零件曲率測量結(jié)果圖（直徑）Fig.7 Curvature measurement results of spherical parts (diameter)

2.2 球面研磨實驗的結(jié)果分析

在研磨壓力變化的情況下，測得的試驗數(shù)據(jù)如表1所示。在研磨機(jī)主軸轉(zhuǎn)速變化的情況下測得的試驗數(shù)據(jù)如表2所示。

表1 研磨壓力對球面工件面形精度的影響Table 1 The effect of grinding pressure on the surface profile precision of spherical workpiece

表2 研磨機(jī)主軸轉(zhuǎn)速對球面工件面形精度的影響Table 2 The influence of spindle speed on the surface shape precision of the spherical surface

在凸球面玻璃零件研磨實驗中，改變研磨壓力進(jìn)行球面研磨實驗，球面工件曲率半徑的變化在-0.07 mm到+0.18 mm之間波動；改變研磨機(jī)主軸轉(zhuǎn)速進(jìn)行球面研磨實驗，球面工件曲率半徑的變化在-0.06 mm到0.16 mm之間波動。對于球面曲率半徑為28000 mm的工件來說，這些波動都在球面均勻研磨技術(shù)要求的誤差范圍之內(nèi)。證明了按固著磨料球面高速研磨理論設(shè)計的磨具實現(xiàn)了對球面工件的均勻研磨。

3 結(jié)論

本文通過實驗，探討了研磨壓力和主軸轉(zhuǎn)速對工件表面面形精度的影響規(guī)律。結(jié)果表明：根據(jù)固著磨料球面高速研磨理論設(shè)計出的球面磨具在球面高速研磨機(jī)上對工件進(jìn)行研磨時，在不同的研磨壓力和不同的研磨機(jī)主軸轉(zhuǎn)速的情況下研磨出的球面工件都保持了較好的面形和幾何精度，證明了在研磨過程當(dāng)中球面磨具對球面工件是均勻研磨，這與固著磨料球面高速研磨理論是一致的。

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