曲忠憲,武文華,王春紅
(海南熱帶海洋學(xué)院海洋信息工程學(xué)院,海南三亞572022)
破產(chǎn)論具有代表性的幾個研究方向.完全離散經(jīng)典風(fēng)險模型的研究[1~2];重尾部分布破產(chǎn)論的研究[3];具有投資收益破產(chǎn)論的研究[4];保險數(shù)學(xué)與金融數(shù)學(xué)交叉的研究[5~6];隨機(jī)投保費下多險種破產(chǎn)模型的研究[7~8].
設(shè)保險公司在時刻t的盈余為
其中:u為初始資本;c為保險公司單位時間征收的保險費率;Xk(k≥1)為第k次索賠額;N(t)為到時刻t為止發(fā)生的索賠次數(shù);稱公式(1)為經(jīng)典破產(chǎn)模型.
假設(shè){Xk:k≥1}是獨立同分布于X的變量序列,記X的分布函數(shù)為F(x),數(shù)學(xué)期望為μ;{N(t):t≥0}是以λ為強(qiáng)度的泊松過程;{Xk:k≥1}與{N(t):t≥0}相互獨立.保險公司為了保證安全,要求cλμ > 0.
盈余過程有可能取負(fù)值,這時稱保險公司“破產(chǎn)”.以下恒記T為保險公司首次破產(chǎn)的時刻,簡稱為破產(chǎn)時刻,即令T=inf{t:U(t)<0}.
記最終破產(chǎn)概率為Ψ(u),則Ψ(u)=P(T<"U(0)=u).
假設(shè)個體索賠額的矩母函數(shù)
至少在包含原點的某個鄰域內(nèi)存在,并且下述方程
具有正解.方程(3)若有正根,必是唯一的,記正根為R并稱其為調(diào)節(jié)系數(shù).
定理1[9]若上述假設(shè)成立,則有Ψ(u)≤e-Ru,u≥0.
在文獻(xiàn)[10]中,將經(jīng)典風(fēng)險模型(1)推廣到多險種破產(chǎn)模型(4)得到了下面的定理2.
設(shè)保險公司在時刻t的盈余為
其中為保險公司單位時間征收的保險費率;ci為第i個險種單位時間征收的保險費率;Xik為第i個險種的第k次索賠額;Ni(t)為至?xí)r刻t為止第i個險種發(fā)生的索賠次數(shù).
假設(shè){Xik:k≥1}是獨立同分布于Xi的隨機(jī)變量序列,記Xi的分布函數(shù)為Fi(x),數(shù)學(xué)期望為μi>是以λi為參數(shù)的Poisson過程;{Xik:k≥1}與{Ni(t):t≥0} 相互獨立;各{Xik:k≥1},i=1,2,…,m相互獨立;各{Ni(t):t≥0},i=1,2,…,m相互獨立;各個調(diào)節(jié)系數(shù)Ri存在且唯一.
保險公司為了保險起見,對于第i險種要求ci-λiμi>0,因此即單位時間平均獲利大于零.
以下恒記T為保險公司首次破產(chǎn)的時刻,即令T=inf{t:U(t)<0},最終破產(chǎn)概率記為φ(u),則φ(u)=P(T <"U(0)=u).
設(shè)Mi(r)是變量Xi的矩母函數(shù),函數(shù)-rc,則有如下定理.
定理2 破產(chǎn)模型(4)的最終破產(chǎn)概率φ(u)≤e-Ru,其中R是方程h(r)=0的唯一正根,u是初始資本.
保險公司有m個險種,每個險種獨立經(jīng)營,自負(fù)盈虧.u是初始資本,ci是第i個險種的單位時間征收的保險費率.問題:能否提供較優(yōu)的分配初始資本u的策略,使關(guān)心的險種最終破產(chǎn)的概率都小于等于一個小正數(shù).
設(shè)0<α < 1,對于第i(i=1,2,…,m)個險種應(yīng)用定理1,令其中:Ri為調(diào)節(jié)系數(shù)是方程λiMi(r)=λi+cir的正根.求解不等式(5)可得:
3.1 如果,則第i(i=1,2,…,m) 個險種初始資金分配即可,可以保證第i個險種最終破產(chǎn)的概率φi(vi)≤α,i=1,2,…,m;此時初始資本有結(jié)余額面討論如何將M追加到這m個險種之中.
3.1.1 加權(quán)平均的分配策略
取以 k1,k2,…,km為權(quán)來分配余額 M.令
其中:ωj為追加到第j個險種的資本,從而第j個險種的初始資本為uj=vj+ωj.故第j險種最終破產(chǎn)概率φj(vj+ ωj) ≤ e-Rj(vj+ωj)≤ α,j=1,2,…,m.
3.1.2 減少α的值到達(dá)α0的分配策略
令方程
求方程(7)的解α0,可知
從而第i個險種追加
故第i(i=1,2,…,m)個險種分配到初始資金時,就能使各個險種破產(chǎn)的概率都小于等于α0.
顯然,分配策略 3.1.1 與 3.1.2 是一致的.
3.2 如果,那么有可能滿足不了使每個險種最終破產(chǎn)的概率都小于等于α,因此必須再注入資本下面給出沒有資本可以注入的條件下,如何分配初始資本u.
3.2.1 序下的分配策略
將m個險種按平均單位時間的獲利由大到小排序,比如排序為第i1,i2,…,im險種,即cik-λikμik≥cij- λijμij,1 ≤ k < j≤ m.按照公式
可以算出vi1,vi2,…,vim的值,這些數(shù)從左到右累加,求出使得下式成立的k,
于是保險公司優(yōu)先經(jīng)營第i1,i2,…,ik險種,考慮放棄其它m-k個險種的經(jīng)營.
3.2.2 預(yù)留儲備資金的分配策略
從初始資本 u中取出儲備資金 u0,記調(diào)節(jié)系數(shù) R1,R2,…,Rk中的最小的數(shù)為 R(1),并且假定.將資本u-u0分配到每個險種中,令函數(shù)
則 H(x)=u-u0有唯一解x1,x1∈(α,1),于是分配到第i個險種的資本是出儲備資金u0的目的是將它追加入第i(i=1,2,…,m)個險種能夠使得最終破產(chǎn)的概率不超過α,即
可得分配到第i個險種的資本
綜上,當(dāng)這m個險種中首個即將破產(chǎn)時,就將儲備資金u0注入該險種可使最終破產(chǎn)的概率不超過α,但對于來臨的第二個破產(chǎn)險種,就無能為力了.
以上考慮了m個險種的每個險種獨立經(jīng)營自負(fù)盈虧時較優(yōu)的分配初始資本u的幾個策略方案.如果這m個險種的盈余可以互補(bǔ),把m個險種作為一個整體來考慮,我們建立了多險種破產(chǎn)模型(4),下面討論保險公司準(zhǔn)備多少初始資本u,可使模型(4)最終破產(chǎn)的概率不超過α.
由定理2可知求解不等式e-Ru≤α比獨立經(jīng)營自負(fù)盈虧時的初始資本少的多了.
參考文獻(xiàn)
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