高中數(shù)學(xué)“優(yōu)效教學(xué)”的案例研究

謝春娥

[摘 要] 高中數(shù)學(xué)的優(yōu)效教學(xué)取決于優(yōu)質(zhì)的教學(xué)設(shè)計(jì)，優(yōu)效的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)建立在三個(gè)基本點(diǎn)上：其一，理解數(shù)學(xué)；其二，理解學(xué)生；其三，理解教學(xué). 該課“函數(shù)的零點(diǎn)問題”緊扣這三點(diǎn)進(jìn)行設(shè)計(jì)，體現(xiàn)了“優(yōu)效教學(xué)”的理念，但由于設(shè)計(jì)的容量有些過多，使得課堂部分知識在應(yīng)用時(shí)有不深不淺、不癢不痛的感覺，在稍作修改的基礎(chǔ)上，達(dá)成“優(yōu)效教學(xué)”.

[關(guān)鍵詞] 優(yōu)效教學(xué)；理解數(shù)學(xué)；理解學(xué)生；理解教學(xué)；函數(shù)的零點(diǎn)問題

高中數(shù)學(xué)“優(yōu)效教學(xué)”的基本觀點(diǎn)，是針對高中數(shù)學(xué)新課程試驗(yàn)中存在的“課業(yè)負(fù)擔(dān)過重”“課堂效率不高”“課堂效益偏低”等問題而提出的. 高中數(shù)學(xué)“優(yōu)效教學(xué)”，即“優(yōu)效”的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，是指促進(jìn)學(xué)生“優(yōu)效數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”的高中數(shù)學(xué)教學(xué). 既關(guān)注學(xué)生的基礎(chǔ)性發(fā)展，也關(guān)注學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展；既突出課堂教學(xué)的有效性，也突出課堂教學(xué)的高效性；既注重?cái)?shù)學(xué)的思維價(jià)值，也注重?cái)?shù)學(xué)的文化價(jià)值；既強(qiáng)調(diào)理性精神的培育，也強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)品質(zhì)的發(fā)展.

優(yōu)效的數(shù)學(xué)教學(xué)取決于優(yōu)質(zhì)的教學(xué)設(shè)計(jì)，高中數(shù)學(xué)“優(yōu)效教學(xué)”的探索性研究，首先從教學(xué)設(shè)計(jì)入手，引領(lǐng)教師關(guān)注教學(xué)設(shè)計(jì)的優(yōu)質(zhì)高效. 數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)是教師對數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)目標(biāo)、過程的構(gòu)思和安排，就是依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試驗(yàn)）》（下稱“課程標(biāo)準(zhǔn)”）的要求、數(shù)學(xué)教學(xué)的基本原則和學(xué)生身心發(fā)展的特點(diǎn)，在充分研究教材編寫意圖的基礎(chǔ)上，確定教學(xué)目標(biāo)，明確教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，選擇教學(xué)方法和手段，設(shè)計(jì)師生互動(dòng)交流的活動(dòng)方式，使教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體地位得到充分發(fā)揮，使學(xué)生能有效學(xué)習(xí)并獲得發(fā)展的過程.

優(yōu)效的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)建立在三個(gè)基本點(diǎn)上：其一，理解數(shù)學(xué). 主要是對數(shù)學(xué)的思想、方法及其精神的理解，對數(shù)學(xué)知識中凝結(jié)的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)方式和價(jià)值觀資源的理解. 其二，理解學(xué)生. 主要是對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)律的理解，核心是理解學(xué)生的數(shù)學(xué)思維規(guī)律. 其三，理解教學(xué). 主要是對數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)律、特點(diǎn)的理解.

下面就高中數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行“優(yōu)效教學(xué)”的研究，以“人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)1（必修）》函數(shù)的零點(diǎn)問題”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，談?wù)勎覀兊膶?shí)踐與反思.

案例呈現(xiàn)：函數(shù)的零點(diǎn)問題

課型：單元復(fù)習(xí)第一課.

教學(xué)目標(biāo)：

通過函數(shù)的零點(diǎn)問題，體會(huì)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根之間的聯(lián)系，會(huì)用連續(xù)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的判定方法，初步形成用函數(shù)觀點(diǎn)處理問題的意識.

教學(xué)重點(diǎn)：

①函數(shù)零點(diǎn)的存在性；

②二次函數(shù)的零點(diǎn)問題.

教學(xué)難點(diǎn)：

二次函數(shù)的零點(diǎn)問題.

教學(xué)過程設(shè)計(jì)：

1. 知識回顧（10分鐘）

（1）函數(shù)y=x2+x-2的零點(diǎn)為（ ）

A. 1或2 B. （1，0）

C. 1或-2 D. （-2，0）

（2）函數(shù)f（x）=3x-x-4的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（ ）

A. （-2，0） B. （1，2）

C. （0，1） D. （-1，0）

（3）判斷下列函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

①f（x）=log3（x+1）；（1個(gè)，方法1：log3（x+1）=0求解；方法2：畫圖）

②f（x）=2x-x2. （3個(gè)，圖像法）

設(shè)計(jì)意圖：用幾個(gè)最簡單的題，對基本知識進(jìn)行復(fù)習(xí).

歸納小結(jié)：

（1）方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系：__________.

（2）連續(xù)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間（a，b）上存在零點(diǎn)的判定：該函數(shù)在區(qū)間[a，b]必須是__________.

（3）判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法：

①解方程法：令f（x）=0，如果能求出解，則有n個(gè)不同解就有__________個(gè)零點(diǎn)；

②一元二次方程通常用__________來判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

③數(shù)形結(jié)合法：可直接畫出f（x）的圖像，則此圖像與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即該函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）圖像與函數(shù)y=g（x）圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，其中交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就是函數(shù)________的個(gè)數(shù).

2. 典例剖析（20分鐘）

例1 已知函數(shù)f（x）=ex-1+4x-4.

（1）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)是否有零點(diǎn)？（2）求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：本題為課本例題的變式題，讓學(xué)生理解并會(huì)用連續(xù)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的判定定理，認(rèn)識函數(shù)的單調(diào)性在確定函數(shù)零點(diǎn)中的重要作用.

例2 已知函數(shù)f（x）=x2+2mx+2m+1有兩個(gè)零點(diǎn)，其中一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（-1，0）內(nèi)，另外一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（1，2）內(nèi)，求m的取值范圍.

變式1 若函數(shù)f（x）=x2+2mx+2m+1有兩個(gè)零點(diǎn)，且一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，求m的取值范圍.

變式2 若函數(shù)f（x）=x2+2mx+2m+1的兩個(gè)零點(diǎn)均在區(qū)間（0，1）內(nèi)，求m的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖：二次函數(shù)的零點(diǎn)分布問題很重要，本例及兩個(gè)變式包括了“已知二次函數(shù)的零點(diǎn)分布，求參數(shù)取值范圍”的主要題型，旨在讓學(xué)生能區(qū)分出在不同條件下如何解決二次函數(shù)的零點(diǎn)分布問題. 在講解例題后會(huì)點(diǎn)到當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)有參數(shù)時(shí)的解決辦法，讓學(xué)生思維更周密. 以此培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

解題反思：

（1）解決此類問題時(shí)，若已知條件是方程，則可設(shè)出方程對應(yīng)的函數(shù)，當(dāng)函數(shù)解析式二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，要注意分類討論.

（2）零點(diǎn)在二次函數(shù)中的應(yīng)用應(yīng)抓?。簩ΨQ軸、判別式Δ、圖像開口方向與區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的符號，利用數(shù)形結(jié)合直觀求解.

3. 變式練習(xí)（10分鐘）

A組題

（1）函數(shù)f（x）=2x+x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（ ）

A. （-2，-1） B. （-1，0）

C. （0，1） D. （1，2）

（2）已知f（x）=3x2-5x+a. ①若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，其中一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（-2，0）內(nèi)，另外一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（1，3）內(nèi)，求a的取值范圍；②若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)零點(diǎn)大于2，另一個(gè)零點(diǎn)小于2，求a的取值范圍.

B組題

已知f（x）=ax2+3x+4a，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，其中一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（-2，1）內(nèi)，另外一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（1，2）內(nèi)，求a的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖：B組題讓思維好的學(xué)生在課堂上做，提高數(shù)學(xué)解題能力.

C組題

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c. ①若a>b>c，且f（1）=0，證明f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；②若x1，x2∈R，x1

設(shè)計(jì)意圖：這類題留給尖子生去做，培養(yǎng)優(yōu)等生的思維能力.

4. 課堂小結(jié)

①函數(shù)的零點(diǎn)與方程根之間的聯(lián)系，連續(xù)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的判定方法.

②零點(diǎn)在二次函數(shù)中的應(yīng)用應(yīng)抓?。簩ΨQ軸、判別式Δ、圖像開口方向與區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的符號，利用數(shù)形結(jié)合直觀求解，當(dāng)函數(shù)解析式二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，要注意分類討論.

5. 課后作業(yè)

A組題

（1）函數(shù)f（x）=ex-的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（ ）

A. 0， B. ，1

C. 1， D. ，2

（2）函數(shù)f（x）=lnx-的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（ ）

A. （1，2） B. （2，3）

C. （3，4） D. （e，3）

（3）若函數(shù)f（x）=x2-ax-b的兩個(gè)零點(diǎn)是2和3，則函數(shù)g（x）=bx2-ax-1的零點(diǎn)是________.

（4）函數(shù)f（x）=x2+2（m+3）x+2m+14有兩個(gè)零點(diǎn)，且一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

B組題

（1）已知三個(gè)函數(shù)f（x）=2x+x，g（x）=x-2，h（x）=log2x+x的零點(diǎn)依次為a，b，c，則（ ）

A. a

C. b

（2）判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

①f（x）=lnx-（x-2）2+3；

②f（x）=ex-x2+2；

③f（x）=；

④f（x）=x2+2x-3，x≤0，-2+lnx，x>0.

（3）已知f（x）=x2+3（m-4）x-9（m∈R），試判斷函數(shù)f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

（4）①關(guān)于x的方程mx2+2（m+3）x+2m+14=0有兩實(shí)根，且一根大于4，一根小于4，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

②關(guān)于x的方程mx2+2（m+3）x+2m+14=0有兩實(shí)根，且一根在（-1，0），另一根在（0，1），求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

C組題

（1）若函數(shù)f（x）=mx2-2x+1僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

（2）已知函數(shù)f（x）=，其中c為常數(shù)，且函數(shù)f（x）的圖像過點(diǎn)1，. ①求c的值；②求函數(shù)g（x）=x+xf（x）的零點(diǎn).

課后反思

這節(jié)課是高一函數(shù)零點(diǎn)的單元復(fù)習(xí)課，單元復(fù)習(xí)課的基本教學(xué)過程可概括為：梳理結(jié)構(gòu)—典例示范—變式訓(xùn)練—提煉升華—反饋評價(jià). 高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的根本任務(wù)是促進(jìn)知識條理化、系統(tǒng)化，進(jìn)而提高學(xué)生分析問題與解決問題的能力，形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu). 高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)模式可分為信息提取、思考重構(gòu)、綜合運(yùn)用、反思提高四個(gè)階段. 我們的設(shè)計(jì)是緊扣這四個(gè)階段去做的，實(shí)踐后達(dá)成這四步要求.

第一階段：信息提取. 充分調(diào)動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，本課通過一些典型數(shù)學(xué)習(xí)題的解決，逐步提取、回憶與之相關(guān)的數(shù)學(xué)概念、定理、解題方法. 筆者在實(shí)踐過程中感覺這樣對所學(xué)的零點(diǎn)問題相關(guān)知識進(jìn)行復(fù)習(xí)的效果很好，學(xué)生一復(fù)習(xí)完，感覺更會(huì)運(yùn)用了. 通過這種方式讓學(xué)生把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，能更好地提高概念、公式等使用的效度、靈活度，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，使學(xué)生產(chǎn)生解決問題的創(chuàng)新性思路與方法. 以往用提問或者填空的方式復(fù)習(xí)所學(xué)的概念、定理、公式、解題方法等，效果不好，大部分學(xué)生在這個(gè)環(huán)節(jié)結(jié)束后，還是不會(huì)運(yùn)用，基本知識和方法與實(shí)際運(yùn)用脫節(jié). 本節(jié)課教師理解了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，達(dá)成優(yōu)效教學(xué).

第二階段：思考重建. 各個(gè)課時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所獲得的數(shù)學(xué)信息需要進(jìn)行加工、選擇、組合. 思考重建的目的就是讓學(xué)生通過自身的思考，梳理已學(xué)的數(shù)學(xué)概念、公式、定理、規(guī)則、方法，使代數(shù)、三角、幾何、概率、微積分等成為條理化、有序化、網(wǎng)絡(luò)化、立體化的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)體系，便于構(gòu)建各自新的數(shù)學(xué)圖式結(jié)構(gòu)，由此發(fā)展為靈活處理數(shù)學(xué)問題的能力. 這節(jié)課讓學(xué)生重建了判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法.

分析1：函數(shù)f（x）=log3（x+1）的零點(diǎn)就是方程log3（x+1）=0的根，可以求出來，函數(shù)y=x2+x-2的零點(diǎn)同樣可以求出來. 這種方法是“求”.

分析2：函數(shù)f（x）=log3（x+1）的零點(diǎn)就是函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 所以我們可以畫出函數(shù)圖像，觀察函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)，有幾個(gè)交點(diǎn)就有幾個(gè)零點(diǎn). 這種方法是“畫”.

分析3：根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，如函數(shù)f（x）=ex-1+4x-4，我們可以分別計(jì)算f（0），f（1）的值，再通過證明函數(shù)是單調(diào)的，來判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

分析4：既然函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)方程對應(yīng)的方程的根，我們不妨首先令f（x）=2x-x2=0，轉(zhuǎn)化成2x=x2，這個(gè)式子的根就是函數(shù)y=2x與y=x2的交點(diǎn). 分別畫出函數(shù)y=2x與y=x2的圖像，兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)數(shù)就是原函數(shù)f（x）=2x-x2的零點(diǎn)個(gè)數(shù). 這種解法就是轉(zhuǎn)化，簡稱為“轉(zhuǎn)”. 這種方法需要注意的有兩點(diǎn)，一是只能判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，不能判斷零點(diǎn)的準(zhǔn)確位置；二是畫圖一定要準(zhǔn)確，突出函數(shù)性質(zhì)，很多學(xué)生容易把這兩個(gè)函數(shù)y=2x與y=x2畫成只有2個(gè)交點(diǎn)，造成錯(cuò)誤.

經(jīng)過以上分析，這節(jié)課讓學(xué)生明白解決函數(shù)零點(diǎn)問題主要有兩個(gè)大的思路：解出來和畫出來. 解出來又分為兩種，一是直接解，這針對普通的方程或者特殊可解出來的超越方程；二是根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)的存在，需要特別注意函數(shù)的單調(diào)性，剛才我們的分析3就講到這個(gè)問題. 而畫出來的方法也有兩種：一種直接畫出函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)；另一種通過轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成兩個(gè)熟悉的、簡單的函數(shù)交點(diǎn)問題. 經(jīng)過本課的復(fù)習(xí)，學(xué)生對判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法有了一個(gè)整體的把握和更透徹的理解. 這里也落實(shí)了數(shù)學(xué)思想方法，主要是函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想等，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想方法，達(dá)成優(yōu)效教學(xué).

第三階段：綜合運(yùn)用. 綜合運(yùn)用是學(xué)生在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中重要的任務(wù)，這節(jié)課通過典型的例題與習(xí)題，達(dá)成對函數(shù)零點(diǎn)問題綜合運(yùn)用重難點(diǎn)的突破. 特別是學(xué)生運(yùn)用函數(shù)零點(diǎn)問題的知識解決二次函數(shù)的零點(diǎn)問題，我們通過例題和習(xí)題對二次函數(shù)f（x）=x2+bx+c和f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的零點(diǎn)問題都進(jìn)行了探究、討論，讓學(xué)生系統(tǒng)掌握了分析和解決這類問題的方法.

根據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)的特點(diǎn)和規(guī)律，我們采用的教學(xué)方式是變式訓(xùn)練，變式探究是高中數(shù)學(xué)優(yōu)效教學(xué)的基本方式. 學(xué)生在變式探究中能夠自主創(chuàng)新，在積極營造變式探究的教學(xué)情境中，能夠幫助學(xué)生改進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，形成數(shù)學(xué)思維方式，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新意識的發(fā)展. 教師做到了理解教學(xué)，達(dá)成優(yōu)效教學(xué).

第四階段：反思提高. 在課堂上每進(jìn)行一個(gè)知識環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)后，讓學(xué)生進(jìn)行討論，總結(jié)解決該種題型或問題的方法和規(guī)律，教師再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行提升. 該課的設(shè)計(jì)中，有題后小結(jié)和解題反思，目的就是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行復(fù)習(xí)的總結(jié)與反思. 教師理解了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，設(shè)計(jì)這個(gè)環(huán)節(jié)，達(dá)成優(yōu)效教學(xué).

這節(jié)課上完后感覺較好地達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)，突破了重難點(diǎn)，學(xué)生對函數(shù)零點(diǎn)問題有了整體把握，并進(jìn)一步提升和拓展了零點(diǎn)問題. 但在上課過程中，感覺容量有點(diǎn)大，有些趕，特別到例2、變式1、變式2時(shí)，沒有足夠的時(shí)間給學(xué)生消化吸收，有點(diǎn)不深不透、不癢不痛的感覺. 筆者打算把對函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的討論放在課后思考，下節(jié)課討論，以便學(xué)生更加透徹地掌握零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷“畫出來”和“解出來”的方法，以及加深學(xué)生對函數(shù)f（x）=x2+bx+c零點(diǎn)問題的準(zhǔn)確把握. 理解了函數(shù)f（x）=x2+bx+c這類零點(diǎn)問題，課后思考函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的零點(diǎn)問題，也就不難了.

修改教學(xué)設(shè)計(jì)，達(dá)成更優(yōu)效教學(xué)

基于以上反思，筆者打算對教學(xué)設(shè)計(jì)做如下修改，以達(dá)成更優(yōu)效教學(xué).

1. 知識回顧（10分鐘）

（1）函數(shù)y=x2+x-2的零點(diǎn)為（ ）

A. 1或2 B. （1，0）

C. 1或-2 D. （-2，0）

（2）函數(shù)f（x）=3x-x-4的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（ ）

A. （-2，0） B. （1，2）

C. （0，1） D. （-1，0）

（3）判斷下列函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

①f（x）=log3（x+1）；（1個(gè)，方法1：log3（x+1）=0求解，方法2：畫圖）

②f（x）=2x-x2. （3個(gè)，圖像法）

解題反思：

（1）方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系：__________.

（2）連續(xù)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間（a，b）上存在零點(diǎn)的判定：__________.

（3）判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法.

2. 典例剖析（20分鐘）

例1 已知函數(shù)f（x）=ex-1+4x-4. （1）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)是否有零點(diǎn)？（2）求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

例2 已知函數(shù)f（x）=x2+2mx+2m+1有兩個(gè)零點(diǎn)，其中一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（-1，0）內(nèi)，另外一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（1，2）內(nèi)，求m的取值范圍.

變式1 若函數(shù)f（x）=x2+2mx+2m+1有兩個(gè)零點(diǎn)，且一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，求m的取值范圍.

變式2 若函數(shù)f（x）=x2+2mx+2m+1的兩個(gè)零點(diǎn)均在區(qū)間（0，1）內(nèi)，求m的取值范圍. （只需列式即可）

解題反思：

（1）解決形如函數(shù)f（x）=x2+bx+c的零點(diǎn)問題的方法有哪些？

（2）零點(diǎn)在二次函數(shù)中的應(yīng)用要抓住哪幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)？

3. 課堂練習(xí)（10分鐘）

A組題

（1）函數(shù)f（x）=2x+x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（ ）

A. （-2，-1） B. （-1，0）

C. （0，1） D. （1，2）

（2）判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

①f（x）=ex-x2+2；

②f（x）=.

B組題

已知f（x）=3x2-5x+a，（1）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，其中一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（-2，0）內(nèi)，另外一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（1，3）內(nèi)，求a的取值范圍；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)零點(diǎn)大于2，另一個(gè)零點(diǎn)小于2，求a的取值范圍.

4. 課堂小結(jié)

（1）函數(shù)的零點(diǎn)與方程根之間的聯(lián)系，連續(xù)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的判定方法.

（2）零點(diǎn)在二次函數(shù)中的應(yīng)用要抓住：對稱軸、判別式Δ、圖像開口方向與區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的符號，利用數(shù)形結(jié)合直觀求解，當(dāng)函數(shù)解析式二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，要注意分類討論.

5. 課后作業(yè)

A組題

（1）函數(shù)f（x）=ex-的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（ ）

A. 0， B. ，1

C. 1， D. ，2

（2）函數(shù)f（x）=lnx-的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（ ）

A. （1，2） B. （2，3）

C. （3，4） D. （e，3）

（3）函數(shù)f（x）=x2+2（m+3）x+2m+14有兩個(gè)零點(diǎn)，且一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

B組題

（1）判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

①f（x）=lnx-（x-2）2+3.

②f（x）=x2+2x-3，x≤0，-2+lnx，x>0.

（2）已知f（x）=x2+3（m-4）x-9（m∈R），試判斷函數(shù)f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

C組題（課后思考）

（1）已知函數(shù)f（x）=，其中c為常數(shù)，且函數(shù)f（x）的圖像過點(diǎn)1，. ①求c的值；②求函數(shù)g（x）=x+xf（x）的零點(diǎn).

（2）已知f（x）=ax2+3x+4a，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，其中一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（-2，1）內(nèi)，另外一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（1，2）內(nèi)，求a的取值范圍.