程鈺紋，羅志鵬

(1. 長江大學(xué) 油氣資源與勘探技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430100； 2. 長江大學(xué) 地球物理與石油資源學(xué)院，湖北 武漢 430100)

0 前 言

地震波逆時(shí)偏移法[1]是當(dāng)前偏移方法中精度很高的一種成像方法，逆時(shí)偏移法采用的是全波場(chǎng)波動(dòng)方程，對(duì)波動(dòng)方程中的微分項(xiàng)采用差分離散(如有限元法、偽譜法、有限差分法等),其對(duì)波動(dòng)方程的近似比較少(這主要由微分與差分方程的逼近程度來決定)，所以其不受偏移孔徑和傾角的約束，在處理縱橫向上有劇烈變化的地球介質(zhì)物性特征(如密度、速度等)上很有成效。但是，計(jì)算量大和所需存儲(chǔ)量高使其無法適用于大數(shù)據(jù)量的地震成像。利用隨機(jī)邊界波場(chǎng)重建技術(shù)，可以最大程度降低計(jì)算量和存儲(chǔ)量，使得在實(shí)際操作過程中可以有效地利用地震波逆時(shí)偏移法。因此，對(duì)隨機(jī)邊界的波場(chǎng)重建技術(shù)的研究就顯得格外關(guān)鍵。首先要選擇有效的存儲(chǔ)方法[2]，加以隨機(jī)邊界條件，用計(jì)算量來減小存儲(chǔ)量，然而這也使計(jì)算成本增加了很多。為了降低寬邊界所帶來的計(jì)算壓力，將邊界寬度進(jìn)一步縮小，同時(shí)也不能影響隨機(jī)效果，可以采用不同形式的隨機(jī)邊界函數(shù)，以隨機(jī)介質(zhì)的散射理論[3]為基點(diǎn)，獲得最優(yōu)散射效果的隨機(jī)邊界構(gòu)建算法(在有限邊界寬度的條件下)。使有限寬隨機(jī)邊界散射性能得到充分發(fā)揮，壓制相干能量的產(chǎn)生，從而提高逆時(shí)偏移計(jì)算的效率。因此，研究隨機(jī)邊界波場(chǎng)重建技術(shù)對(duì)逆時(shí)偏移法應(yīng)用于實(shí)踐是極其重要的，為往后地震波逆時(shí)偏移法的進(jìn)一步提升打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

1 常規(guī)二階聲波波動(dòng)方程

以建立波動(dòng)方程的3個(gè)基本方程(應(yīng)力與應(yīng)變方程、位移與應(yīng)力方程和位移與應(yīng)變方程)為基點(diǎn)，從而推出用壓力P和體積模量K為變量的波動(dòng)方程。

(1)

其中，K為體積模量，K=λ；V是縱波速度；P是聲壓，ρ是密度。

2 隨機(jī)邊界

2.1 隨機(jī)邊界的建立

以二維各項(xiàng)同性介質(zhì)[4]的一階應(yīng)力—速度聲波波動(dòng)方程為例，以通常的交錯(cuò)網(wǎng)格高階有限差分法對(duì)式(1)進(jìn)行時(shí)間2階、空間2N階離散，其反向傳播時(shí)所用離散差分格式如下：

對(duì)于全部的x、y、z，當(dāng)他們?nèi)吭诮o定的邊界區(qū)域內(nèi)，而d(d為邊界內(nèi)的距離)也在給定的邊界區(qū)域內(nèi)部的時(shí)候，就可以建立隨機(jī)邊界模型。否則將V(x,y,z)加上r*d(r為隨機(jī)給定的參數(shù))賦給一個(gè)中間值，當(dāng)這個(gè)中間值滿足邊界條件的時(shí)候，將其賦值給V(x,y,z)，這樣就可以建立隨機(jī)邊界模型[5]。

2.2 基于隨機(jī)邊界的正演模擬

隨機(jī)邊界存儲(chǔ)策略一般是在邊界上布置一定厚度的隨機(jī)模型，在邊界處給出隨機(jī)速度，正演存儲(chǔ)的是整個(gè)模型最后一個(gè)時(shí)刻的波場(chǎng)值。

設(shè)定正演網(wǎng)格區(qū)域大小為300 m×300 m，空間網(wǎng)格大小為dx=dz=5 m，dt=0.5 ms，子波主頻f=40 Hz，震源位于網(wǎng)格坐標(biāo)(150 m,150 m)處。模型密度ρ=800 kg/m3，Vp=1 700 m/s。圖1為隨機(jī)邊界模型。

3 隨機(jī)邊界正演影響因素

3.1 網(wǎng)格數(shù)對(duì)隨機(jī)邊界的影響

設(shè)定隨機(jī)邊界介質(zhì)模型網(wǎng)格區(qū)域大小為300 m×300 m，空間網(wǎng)格大小dx=dz=5 m，時(shí)間間隔dt=0.5 ms，子波主頻f=40 Hz，密度ρ=800 kg/m3，Vp=1 700 m/s。震源位于網(wǎng)格坐標(biāo)(150 m,150 m)處，邊界吸收網(wǎng)格數(shù)分別為20、40以及60。由下圖(圖2)中隨機(jī)邊界正演所得到波場(chǎng)快照可以看出(在圖2中，I代表網(wǎng)格數(shù))，隨著邊界吸收網(wǎng)格數(shù)的增大，其反射相干能量隨之降低。

圖1 隨機(jī)邊界模型

圖2 網(wǎng)格數(shù)對(duì)隨機(jī)邊界的影響

3.2 子波主頻對(duì)隨機(jī)邊界的影響

設(shè)定隨機(jī)邊界介質(zhì)模型網(wǎng)格區(qū)域大小為300 m×300 m，空間網(wǎng)格大小dx=dz=5 m，時(shí)間間隔dt=0.5 ms，密度ρ=800 kg/m3，Vp=1 700 m/s。震源位于模型中間網(wǎng)格(150 m,150 m)處，子波主頻分別為10，20，40 Hz。由下圖(圖3)波場(chǎng)快照可以知道，隨著子波主頻的增大，反射相干能量隨之降低。

圖3 子波主頻對(duì)隨機(jī)邊界的影響

4 吸收邊界和隨機(jī)邊界方法的波場(chǎng)重建

邊界介質(zhì)模型網(wǎng)格區(qū)域?yàn)?00 m×300 m，空間網(wǎng)格大小dx=dz=5 m，時(shí)間間隔dt=0.5 ms，密度ρ=800 kg/m3，Vp=1 700 m/s，子波主頻f=40 Hz。震源位置位于模型網(wǎng)格(150 m,150 m)處，圖4中a是吸收邊界介質(zhì)模型，b是隨機(jī)邊界介質(zhì)模型。

圖4 吸收邊界和隨機(jī)邊界介質(zhì)模型

圖5為基于隨機(jī)邊界介質(zhì)模型的正演模擬和波場(chǎng)重建成圖以及兩者之差。圖6為基于吸收邊界[6]介質(zhì)模型的正演模擬和波場(chǎng)重建成圖以及兩者之差。

圖5 隨機(jī)邊界的正演模擬和波場(chǎng)重建成圖及兩者之差

圖6 吸收邊界正演模擬和波場(chǎng)重建成圖及兩者之差

從上述幾張圖可以看出，當(dāng)時(shí)間t取值較小的時(shí)候，基于隨機(jī)邊界波場(chǎng)重建法以及基于吸收邊界波場(chǎng)重建法相差并不大，兩種方法效果都比較好。但當(dāng)時(shí)間t取值較大時(shí)，隨機(jī)邊界波場(chǎng)重建法明顯就要優(yōu)于吸收邊界波場(chǎng)重建法。

5 結(jié) 論

1)與正演模擬結(jié)果相比，使用隨機(jī)邊界波場(chǎng)重建法和吸收邊界波場(chǎng)重建法都可以取得較好的效果。

2)參數(shù)的選擇是尤為關(guān)鍵的，在差分計(jì)算中，不合理的參數(shù)很可能會(huì)造成模擬結(jié)果網(wǎng)格頻散嚴(yán)重，對(duì)分析模型有很大的影響，甚至?xí)沟脭?shù)據(jù)溢出。

3)在差分精度上，子波的頻率越低，網(wǎng)格間距越小，其精度越高。另外，網(wǎng)格間距是影響差分精度的主要原因。

4)在吸收邊界的情況下進(jìn)行波場(chǎng)重建，用吸收邊界網(wǎng)格內(nèi)的數(shù)據(jù)進(jìn)行波場(chǎng)重建與正演模擬得到的結(jié)果近似。隨機(jī)邊界條件下，波場(chǎng)重建方法可以得到較好的效果。時(shí)間取值較大時(shí)，隨機(jī)邊界波場(chǎng)重建法要比吸收邊界波場(chǎng)重建法效果好。

參考文獻(xiàn)：

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[6] Higdon R L. Absorbing boundary conditions for elastic wave equation[J]. Geophysics, 1991(56): 231-241.