非線性電容電路的數(shù)值解法

摘 要：一切實際電路元件的參數(shù)總是一個變量，實際電路完全可以抽象為一個非線性電路模型。對非線性電路的研究具有重要的實際意義。運用基爾霍夫定律對非線性電路模型列寫方程會得到的是非線性微分方程，該微分方程的解析解一般很難求得，但是可以利用數(shù)值法求得數(shù)值解。本文主要以非線性電容電路為研究對象，重點闡述了將歐拉法應(yīng)用于非線性電容電路求其數(shù)值解的過程。通過研究發(fā)現(xiàn)應(yīng)用歐拉法來求解非線性電容電路是完全可行的。

關(guān)鍵詞：非線性電容電路；歐拉法；數(shù)值解法

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2018.09.162

0 引言

非線性電容是非線性電路的重要組成部件。非線性電容兩端電壓與其電荷是遵循某種非線性函數(shù)關(guān)系。把含有這種非線性電容元件的電路稱為非線性電容電路。運用基爾霍夫電壓定律求解非線性電容電路時，會得到一個非線性微分方程或非線性微分方程組，其解析解一般很難求得，這對于分析非線性電容電路造成了很大的困擾。本文試圖探索以歐拉法為核心算法來求解非線性電容電路這一類問題，將求非線性電容電路的解析解轉(zhuǎn)化為求其數(shù)值解。

1 歐拉法

運用基爾霍夫電壓定律求解非線性電容電路時，會得到一個非線性微分方程或非線性微分方程組，求解這樣的微分方程或微分方程組有各種各樣的解析方法，但解析方法只能用來求解一些特殊類型的方程，如果借助計算機分析，計算機是不能得到解析解的。把求解非線性電容電路的解析解過程轉(zhuǎn)換成求解數(shù)值解的過程顯得尤為重要。歐拉法是將微分方程進行離散化處理，建立求數(shù)值解的遞推公式，進行迭代，最終得到一個逼近精確解的數(shù)值解。

對于形如的微分方程，如果不易求其解析解，可以運用歐拉法將求解析解的問題轉(zhuǎn)化為求其數(shù)值解，也就是將該微分方程進行離散化處理。將微分方程（1）的導(dǎo)數(shù)用均差近似，其中代表函數(shù)在點處的精確值，用表示函數(shù)在處的近似值，用代表步長。微分方程（1）可以離散化為，若已知初值y0，進行迭代可以得到y(tǒng)1，逐次進行迭代最終可以得到一個逼近精確解的近似解。

歐拉法的核心是迭代，只要逼近的方法選擇適當(dāng)，則歐拉法就收斂于真實值。在實際計算中，只要精度滿足要求，相鄰兩次迭代絕對誤差限小于ε就可停止迭代。

2 應(yīng)用歐拉法求解非線性電容電路的步驟

由于運用基爾霍夫定律在求解非線性電容電路時所得到的微分方程的解析解一般很難求出，所以可以應(yīng)用歐拉法求其數(shù)值解。求解的思路分為兩步。第一步：根據(jù)非線性電容電路的特點，列寫非線性微分方程。第二步：應(yīng)用歐拉法來求解該非線性微分方程。

3 示例

下面運用一個實例具體闡述如何運用歐拉法求非線性電容電路的數(shù)值解的過程。電路如下圖1所示：已知電流源IS=1A，電阻R0=1Ω，其中非線性電容的庫伏特性為，u為電容兩端電壓，當(dāng)t=0時刻有，流過R0的電流為i0，流過非線性電容的電流為ic。以q為電路變量寫出微分方程。

以電容電荷q為電路變量，流過電容的電流，流過電阻的電流，應(yīng)用KCL定律得到：，其微分方程為，此微分方程為一階非線性微分方程。應(yīng)用歐拉法得到微分方程離散化的迭代公式，其中h代表步長，即相鄰時間間隔取0.1s，n代表迭代次數(shù)。設(shè)定當(dāng)時停止迭代。表1，反映了計算結(jié)果及迭代次數(shù)。通過表1發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過10次迭代q的值達到要求。

4 結(jié)論

本文重點研究了應(yīng)用數(shù)值方法來求解非線性電容電路，示例證明歐拉法把求非線性電路微分方程的解析解問題轉(zhuǎn)化成求其數(shù)值解問題是完全可行的。該方法克服了求微分方程解析解的困難，為計算機求解非線性電容電路奠定了理論基礎(chǔ)。

參考文獻：

[1]李慶揚，王能超等.數(shù)值分析[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008：12.

作者簡介：付裕（1987-），陜西西安人，助教，研究方向：數(shù)據(jù)挖掘，電氣自動化。