陳 濤，崔岳寒，郭立民

(哈爾濱工程大學 信息與通信工程學院，哈爾濱 150001)

0 引 言

陣列信號處理是信號處理的一個重要分支，著重于空間傳輸波攜帶信號的獲取、處理和傳輸，即對空間分布的組傳感器接收的空間傳輸波信號進行處理以提取信息。

波達方向(Direction of arrival，DOA)估計作為陣列信號處理中的關(guān)鍵問題，主要研究如何從背景噪聲中估計信號的到達角信息[1]。這個領(lǐng)域的研究經(jīng)歷了幾十年的發(fā)展，已經(jīng)形成了比較系統(tǒng)的理論體系[2]。DOA估計技術(shù)在雷達、聲吶、地質(zhì)開發(fā)、微波無線電通訊、生物醫(yī)學等領(lǐng)域均有廣泛的應(yīng)用，并取得了很大發(fā)展[3]。由于子空間算法,如MUSIC(Multiple signal classification)等可以突破瑞利極限，實現(xiàn)超分辨，所以近年來涌現(xiàn)出很多新型的基于子空間的測向算法[4，5]。

短快拍測向算法的研究主要針對軍事和衛(wèi)星通信，在陣列接收數(shù)據(jù)有限、目標高速運動的前提下，可以實現(xiàn)對目標的實時處理，并具有較高的DOA估計精度，可為高速運動目標的定位和跟蹤提供技術(shù)支持[6，7]。單快拍類測向算法因其快拍數(shù)達到了短快拍的極限，屬于短快拍測向算法中的特殊情況，而被單獨歸為一類進行研究，近年來很多專家學者將研究的目光鎖向少快拍甚至單快拍下的陣列信號處理[8，9]。

DOA估計算法以高分辨MUSIC算法和ESPRIT算法為代表[10]。MUSIC算法中，通常先得到協(xié)方差矩陣，對其進行特征分解和奇異值分解后得到噪聲子空間，然后利用導向矢量與噪聲子空間的正交性對信號入射方向進行估計[1]。基于協(xié)方差矩陣MUSIC算法的漸近性能接近克拉美-羅界[11，12]，但無法有效地應(yīng)用于單快拍情況[13，14]。

本文分析了經(jīng)典MUSIC算法不適用于單快拍的原因，并對其進行了改進，提出了一種適用于單快拍的MUSIC改進(Improved-single-snapshot MUSIC，ISS-MUSIC)算法。該方法將偽協(xié)方差矩陣構(gòu)造法與共軛增強法相結(jié)合，適用于單快拍，且性能優(yōu)于未進行共軛增強的基于偽協(xié)方差矩陣單快拍MUSIC算法。

1 信號模型

假設(shè)K個同頻不相關(guān)遠場窄帶信號入射到由M個全向陣元組成的均勻線陣上，信號數(shù)K已知或已經(jīng)估計得到，于是陣列輸出矢量為[1]：

x(t)=[x1(t),x2(t),…,xM(t)]T=As(t)+n(t)

(1)

式中：信號矢量s(t)=[s1(t),s2(t),…,sk(t)]T；噪聲矢量n(t)=[n1(t),n2(t),…,nM(t)]T；導向矢量A=[a(θ1),a(θ2),…,a(θk)]，a(θi)=[1,e-jφ1,…,e-j(M-1)φi]T，φi=2πdsin(θi)/λ，θi為第i個信號的入射角度，λ為信號波長。

2 適用于單快拍的ISS-MUSIC算法

2.1 經(jīng)典MUSIC算法不適用于單快拍的原因

在第1節(jié)的基礎(chǔ)之上，得到陣列輸出數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為：

(2)

對R進行特征分解，有：

(3)

信號子空間和噪聲子空間是正交的，而信號波達方向上的陣列導向矢量在信號子空間內(nèi)，所以其與噪聲子空間是正交的，于是MUSIC算法通過搜索下列的極大值點來估計信號DOA[15]：

(4)

實際應(yīng)用中，只能得到協(xié)方差矩陣R的估計值R′(稱為采樣協(xié)方差矩陣)，通常?。?/p>

(5)

式中：L為快拍數(shù)。

對R′進行特征分解后可得噪聲子空間的估計值G′，此時搜索下列的極大值點來估計信號DOA：

(6)

如果只有一個快拍可用，由式(5)可知，采樣協(xié)方差矩陣的秩為1，而信號子空間的秩是大于信號數(shù)的，此時利用R′的特征分解無法區(qū)分出信號子空間和噪聲子空間，因此經(jīng)典MUSIC算法不適用于單快拍[16]。

2.2 偽協(xié)方差矩陣構(gòu)造方法

矩陣Y的元素Y(p,q)可表示為：

exp{-j[φω+(q-1)Δφω]}dnω

(7)

式中:dnw為矩陣D的元素。

其中，矩陣中的可利用信息可表示為如下形式：

(8)

當矩陣D為對角陣時，式(7)可表示為：

(9)

由式(8)可知，M個陣列接收信號的相位是位于[φn,φn+(M-1)Δφn]范圍內(nèi)的等差數(shù)列，可表示的相位范圍為(M-1)Δφn，固定相位φn的取值與相位參考點的選擇有關(guān)。這就是構(gòu)造偽協(xié)方差矩陣時可用的信息。

(10)

式(10)的相位是位于[-φn,-φn-(M-1)Δφn]范圍內(nèi)的等差數(shù)列，這相當于增加了可利用的信息量。

基于以上理論，令L=M、φn=0、dnn=sn并代入式(9)，此時偽協(xié)方差矩陣可表示為[17]：

(11)

2.3 共軛增強法

為進一步提高算法性能，充分利用陣列輸出數(shù)據(jù)的共軛信息，在式(11)的基礎(chǔ)上，構(gòu)造以下偽協(xié)方差矩陣[18]：

Y′=[Y,JY*J]

(12)

式中：J為交換矩陣，其反對角線元素為1，其他元素為0。

由式(12)可知，此方法將M×M維偽協(xié)方差矩陣拓展為M×2M維。

對拓展的偽協(xié)方差矩陣進行二階積累，公式如下[16]：

(13)

2.4 ISS-MUSIC算法的步驟

綜上所述，將2.2節(jié)與2.3節(jié)提出的方法進行合并為ISS-MUSIC算法，其步驟如下：

步驟1 利用式(11)得到偽協(xié)方差矩陣Y。

步驟2 利用式(12)得到共軛增強后的偽協(xié)方差矩陣Y′。

步驟3 求偽協(xié)方差矩陣的二階積累：

步驟5 搜索譜函數(shù):

的極大值點確定信號入射方向。

3 仿真試驗及性能分析

3.1 ISS-MUSIC算法分辨能力

仿真條件：均勻線陣的陣元數(shù)為8；陣元間距為半波長；快拍數(shù)為1；信噪比為10 dB；入射角分別在0°～10°和50°～60°隨機產(chǎn)生。ISS-MUSIC算法的空間譜圖如圖1所示，圖中的兩條豎線為原入射角度。由圖1可知，ISS-MUSIC算法具有較好的信號分辨能力。

圖1 ISS-MUSIC的空間譜圖Fig.1 Space spectrum of ISS-MUSIC

3.2 測角精度比較

將ISS-MUSIC算法與未進行共軛增強的基于偽協(xié)方差矩陣單快拍MUSIC算法進行性能比較。仿真中，均勻線陣的陣元數(shù)為8；陣元間距為半波長；快拍數(shù)為1；入射角在0°～90°隨機產(chǎn)生。兩種算法隨信噪比變化的測向精度如圖2所示。

由圖2可知，ISS-MUSIC算法的測向精度高于未進行共軛增強的基于偽協(xié)方差矩陣單快拍MUSIC算法的測向精度。

圖2 測向精度Fig.2 Accuracy of DOA

4 結(jié)束語

提出了一種單快拍下的測向算法。該算法對經(jīng)典MUSIC測向算法進行了改進，將偽協(xié)方差矩陣構(gòu)造法與共軛增強法相結(jié)合。仿真試驗結(jié)果表明：ISS-MUSIC算法在單快拍的條件下有較好的信號分辨能力，且測向精度優(yōu)于未進行共軛增強的基于偽協(xié)方差矩陣單快拍MUSIC算法。

參考文獻：

[1] 王永良,陳輝,彭應(yīng)寧,等. 空間譜估計理論與算法[M]. 北京：清華大學出版社,2005.

[2] Zeng Hao, Ahmad Z,Zhou Jian-wen. DOA estimation algorithm based on adaptive filtering in spatial domain[J]. China Communication,2016,12(13):49-58.

[3] 李新波,石要武,馬彥，等. 基于RARE-cumulant的互耦矯正和DOA估計[J]. 吉林大學學報：工學版,2010,40(4):1118-1121.

Li Xin-bo,Shi Yao-wu,Ma Yan,et al. Mutual coupling calibration and direction of arrival estimation based on RARE-cumulant algorithm[J]. Journal of Jilin University(Engineering and Technology Edition),2010,40(4):1118-1121.

[4] Forster P,Ginolhac G,Boizard M. Derivation of the theoretical performance of a Tensor MUSIC algorithm[J]. Signal Processing,2016,129(1):97-105.

[5] Kintz A L,Gupta I J. A modified MUSIC algorithm for direction of arrival estimation in the presence of antenna array manifold mismatch[J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation,2016,64(11):4836-4847.

[6] Tervo S. Single snapshot detection and estimation of reflections from room impulse responses in the spherical harmonic domain[J]. IEEE-ACM Transactions on Audio Speech and Language Processing,2016,24(12):2466-2480.

[7] Chen Chun-hui, Zhang Qun, Gu Fu-fei. 2D single snapshot imaging using MIMO radar based on SR[J]. Electronics Letters,2016,52(23):1946-1948.

[8] Elbir A M, Tuncer T. 2-D DOA and mutual coupling coefficient estimation for arbitrary array structures with single and multiple snapshots[J]. Dignal Signal Processing,2016,54:75-86.

[9] 王凌,李國林. 利用單次快拍實現(xiàn)相干信源二維測向的新算法[J]. 北京理工大學學報，2015，35(5):512-518.

Li Ling,Li Guo-lin. A new algorithm of 2D DOA whose source is coherent with single snapshot[J]. Journal of Beijing Institute of Technology,2015,35(5):512-518.

[10] 李新波,李曉青,劉國君,等. 用于聲矢量陣列波達方向估計的四元數(shù)最小范數(shù)法[J]. 光學精密工程,2014,22(7):1969-1975.

Li Xin-bo,Li Xiao-qing,Liu Guo-jun, et al. Quaternion min-norm algorithm for DOA estimation with acoustic vector sensor array[J]. Optics and Precision on Engineering,2014,22(7):1969-1975.

[11] Stoica P, Nehorai A. MUSIC maximum likelihood, and Cramer-Rao bound[J]. IEEE Transactions on Acoustics, Speech,and Signal Process,1989,37(5):720-741.

[12] Suryapakash R T, Nadakuditi R R. Consistency and MSE performance of MUSIC-based DOA of a single source in white noise with randomly missing data[J]. IEEE Transactions on Signal Processing,2015,63(18)：4756-4770.

[13] Liao W, Fannjiang A. MUSIC for single-snapshot spectral estimation: stability and super-resolution[J]. Applied and Computational Harmonic Analysis,2016,40(1):33-67.

[14] Hacker P, Yang B. Single snapshot DOA estimation[J]. Advances in Radio Science,2010,8(1921):251-256.

[15] Roy R, Kailath T. ESPRIT-estimation of signal parameters via rotational invariance techniques[J]. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing,1989,37(7):984-995.

[16] 劉劍,宋愛民,余侃民,等. 適用于任意快拍數(shù)的MUSIC算法[C]∥2016全國電子戰(zhàn)學術(shù)交流大會.北京:中國電子學會,2016:562-567.

[17] 謝鑫,李國林,劉華文. 采用單次快拍數(shù)據(jù)實現(xiàn)相干信號DOA 估計[J]. 電子與信息學報,2010,32(3):604-608.

Xie Xin,Li Guo-lin,Liu Hua-wen. DOA estimation of coherent signals using one snapshots[J]. Journal of Electronics & Information Technology,2010,32(3):604-608.

[18] Wen Zhong,Li Li-ping,Wei Ping. Fast direction finding using modified pseudocovariance matrix[J]. IEEE Transactions on Antennas Propagat,2006,54(12):3914-3918.