陳 洪

(福建省三明市東辰機械制造有限責任公司，福建 三明 365500)

0 引言

機器人在各行各業(yè)中的應(yīng)用越來越廣，機器人逆運動學是機器人應(yīng)用中的重要環(huán)節(jié)和主要方式，機器人的逆解問題又是機器人逆運動學的基礎(chǔ)。逆解問題即已知機械臂末端的位置和姿態(tài)，求各個關(guān)節(jié)角，通常一種末端姿態(tài)對應(yīng)多組關(guān)節(jié)角度。逆解問題的傳統(tǒng)解法是采用坐標變換方法，即首先為每個連桿建立一個坐標系，然后建立操作臂逆運動學方程，再通過坐標逆變換，經(jīng)過人工觀察挑選可以求解的方程，最后對該方程進行求解[1]。如果機器人在狹窄空間中作業(yè)時則需要先計算出關(guān)節(jié)的角度再確定機器人的整體形態(tài)[2]。本文提出的空間解析方法采用與坐標逆變換法相反的次序來求解運動學問題，即根據(jù)機器人連桿的相對運動關(guān)系，在笛卡爾空間建立一個關(guān)于關(guān)節(jié)點坐標的數(shù)學模型，求解得到關(guān)節(jié)點的坐標，然后再根據(jù)機器人的結(jié)構(gòu)特點計算出關(guān)節(jié)變量，可以優(yōu)先確定機器人的整體位形。

1 空間解析方法

空間解析方法是以各個關(guān)節(jié)點的坐標為目標建立數(shù)學模型。

1.1 位置分析

關(guān)節(jié)點的選取原則是：關(guān)節(jié)軸線方向與連桿方向一致的關(guān)節(jié)不設(shè)為關(guān)節(jié)點，連接相鄰連桿在同一平面的關(guān)節(jié)設(shè)為一個關(guān)節(jié)點；如果前面連桿連接關(guān)節(jié)軸線方向與連桿方向一致的關(guān)節(jié)時，設(shè)為兩個關(guān)節(jié)點，其他情況仍設(shè)為一個關(guān)節(jié)點。

在機器人機構(gòu)中常用到的關(guān)節(jié)有轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)和移動關(guān)節(jié)。轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)如圖1所示，Pi(xi,yi,zi)為關(guān)節(jié)端點的位置，Zi為關(guān)節(jié)軸線，關(guān)節(jié)點Pi+1繞Zi轉(zhuǎn)動，Pi+1的位置可以由空間圓環(huán)方程表示，即：

(1)

關(guān)節(jié)軸線Zi可由其前面的關(guān)節(jié)點及結(jié)構(gòu)形式表示，即：

(2)

其中：γi為Zi與Zi+1的結(jié)構(gòu)夾角。

圖1 轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)

移動關(guān)節(jié)如圖2所示，關(guān)節(jié)點位置可以由空間參數(shù)方程表示：

(3)

式(3)中移動方向Zi可由其前面的關(guān)節(jié)點及結(jié)構(gòu)形式表示，如式(2)所示。

通過上面的分析，可以對任意一個機器人系統(tǒng)在笛卡爾空間建立數(shù)學模型，求解出關(guān)節(jié)點的坐標位置后，各個關(guān)節(jié)變量可以用矢量積方法求出轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角θi和移動關(guān)節(jié)的移動量Li:

(PiPi+1×Pi+1Pi+2)·(Pi-2Pi-1×Pi-1Pi)=|PiPi+1×Pi+1Pi+2|·|Pi-2Pi-1×Pi-1Pi|·cosθi.

(4)

Li=|Pi-1Pi|.

(5)

對于轉(zhuǎn)動或移動方向，可以通過驗證關(guān)節(jié)點的坐標值來確定。轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)和移動關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)確定后，γi、αi、βi、αi-1都是已知量。

圖2 移動關(guān)節(jié)

1.2 速度分析

對建立的數(shù)學模型通過求導可得到機器人關(guān)節(jié)位置的速度模型：

(6)

首、末關(guān)節(jié)點的速度已知，整理后寫成矩陣形式為：

(7)

由式(7)得到關(guān)節(jié)點速度為：

(8)

得到關(guān)節(jié)點的速度后，可利用相鄰關(guān)節(jié)點之間的相對速度得出關(guān)節(jié)變量速度：

(9)

2 應(yīng)用實例

以PUMA560機器人為例，根據(jù)機器人的結(jié)構(gòu)，確定各個連桿的端點p0～p4和手抓中心點p2。建立的PUMA560機器人關(guān)節(jié)坐標系及結(jié)構(gòu)參數(shù)如圖3所示。其中關(guān)節(jié)4、5、6構(gòu)成腕關(guān)節(jié)，即3個關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)軸交于一點。端點p1相對于基坐標系不變，即p0(0,0,0)、p1(0,0,660.4)，未知端點為p2、p3、p4，其他參數(shù)為d2=149.09 mm，d4=433.07 mm，d6=56.25 mm，a2=431.8 mm，a3=20.32 mm。

已知手爪的位姿為：

圖3 PUMA560機器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)

根據(jù)手爪的位姿，可以得到p4點坐標值為(300,340,200)，通過上面的運動位置分析，可得到p2、p3點的坐標值，再根據(jù)結(jié)構(gòu)特點求出對應(yīng)的關(guān)節(jié)角，如表1所示。

表1 p2、p3點的坐標值及關(guān)節(jié)角度

3 結(jié)語

通過上面的實例，證明了此方法對機器人求逆解是可行的。該方法通過引入關(guān)節(jié)點位置為目標，易于分析機器人系統(tǒng)的整體位置及其運動趨勢，為機器人在操作空間中的非碰撞軌跡規(guī)劃提供了一種新思路，此方法具有一定的實用性，可以應(yīng)用到其他機器人系統(tǒng)中。

參考文獻：

[1] 蔡自興,謝斌.機器人學[M].北京：清華大學出版社,2015.

[2] 權(quán)龍哲.狹閉空間內(nèi)苗盤物流化搬運機器人運動規(guī)劃與試驗[J].農(nóng)業(yè)機械學報,2016,47(1):51-59.