我國(guó)陸海統(tǒng)一似大地水準(zhǔn)面構(gòu)建的三維重力矢量法

邢志斌，李?yuàn)檴?/p>

信息工程大學(xué)，河南 鄭州 450000

目前確定(似)大地水準(zhǔn)面的方法主要有幾何法、重力法以及組合法[1]。早期幾何法主要以天文重力水準(zhǔn)的方式確定似大地水準(zhǔn)面[2]，現(xiàn)在多以擬合GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)為主，雖然可以獲得很高的精度，但僅限于小范圍、GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)豐富的地區(qū)[3]，其計(jì)算結(jié)果為區(qū)域(似)大地水準(zhǔn)面。幾何法的缺陷在于需要進(jìn)行大量的水準(zhǔn)測(cè)量，耗費(fèi)巨大的人力、物力，海洋測(cè)高雖然能以很高的精度確定大地水準(zhǔn)面，但不適用于陸地及陸海交界處[4]。重力法主要是解算物理大地測(cè)量邊值問(wèn)題，再由Bruns公式轉(zhuǎn)換為大地水準(zhǔn)面高或高程異常[5]，計(jì)算結(jié)果為絕對(duì)大地水準(zhǔn)面，可統(tǒng)一全球高程基準(zhǔn)[6]，適用范圍廣，但計(jì)算復(fù)雜、計(jì)算量大，需要與本國(guó)高程基準(zhǔn)擬合。組合法則是將幾何法與重力法相結(jié)合確定(似)大地水準(zhǔn)面，其本質(zhì)是將重力似大地水準(zhǔn)面數(shù)值擬合到GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)上，與本國(guó)高程基準(zhǔn)相統(tǒng)一[7-8]，結(jié)合了GPS/水準(zhǔn)精度高、重力(似)大地水準(zhǔn)面分辨率高的優(yōu)點(diǎn)，但其擬合過(guò)程并不嚴(yán)密。世界主要國(guó)家和地區(qū)如美國(guó)、歐洲、日本、加拿大及我國(guó)所建立的高精度(似)大地水準(zhǔn)面模型多以組合法建立[4,9-17]。由于重力場(chǎng)水平分量-垂線偏差對(duì)地形高頻信息敏感，因此首先利用三維重力矢量-格網(wǎng)垂線偏差與格網(wǎng)重力異常，聯(lián)合格網(wǎng)高程數(shù)據(jù)求得格網(wǎng)中點(diǎn)間相對(duì)高程異常(高程異常差)，然后通過(guò)GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)的控制，構(gòu)成緊密的幾何條件，進(jìn)行嚴(yán)密的平差，從而可以獲得高分辨率、高精度似大地水準(zhǔn)面的數(shù)值模型[18-19]。該方法的優(yōu)點(diǎn)是充分吸收了高頻的地形信息，彌補(bǔ)了我國(guó)重力場(chǎng)數(shù)據(jù)的不足；同時(shí)以確定相對(duì)高程異常代替以往的直接確定高程異常的方法，而且這種格網(wǎng)相對(duì)高程異常構(gòu)成了嚴(yán)密的幾何條件，可以通過(guò)平差消除矛盾、提高精度，比以往采用數(shù)值擬合的簡(jiǎn)單方法提高了嚴(yán)密度。論文基于此，展開深入研究，旨在提高我國(guó)陸海統(tǒng)一的似大地水準(zhǔn)面模型的建模精度。

1 格網(wǎng)高程異常差及其平差模型的建立

1.1 格網(wǎng)垂線偏差計(jì)算高程異常差的基本原理

在計(jì)算高程異常差時(shí)所用的垂線偏差數(shù)據(jù)是只包含子午方向和卯酉方向分量的格網(wǎng)數(shù)據(jù)，根據(jù)天文重力水準(zhǔn)方法計(jì)算似大地水準(zhǔn)面的原理可得高程異常差與垂線偏差的關(guān)系為[20]

(1)

以任一格網(wǎng)為例說(shuō)明利用垂線偏差計(jì)算相鄰格網(wǎng)中點(diǎn)高程異常差的方法，如圖1所示。

圖1中，黑色三角形表示格網(wǎng)中點(diǎn)?？紤]重力異常改正項(xiàng)[21]，子午方向和卯酉方向相鄰格網(wǎng)中點(diǎn)之間的高程異常差分別為

(2)

(3)

圖1 垂線偏差與高程異常差的關(guān)系Fig.1 Using deflection of the vertical to calculate height anomaly difference

1.2 計(jì)算高程異常差的平差模型

(4)

式(4)可寫成矩陣形式為

(5)

相應(yīng)的法方程為

(6)

法方程的詳細(xì)構(gòu)建與解算過(guò)程見文獻(xiàn)[20]。經(jīng)解算后得

(7)

2 基于三維重力矢量的我國(guó)似大地水準(zhǔn)面模型的建立

2.1 數(shù)據(jù)準(zhǔn)備

為建立我國(guó)1′×1′陸海統(tǒng)一的似大地水準(zhǔn)面模型，本文采用以下數(shù)據(jù)：分辨率為1′×1′的格網(wǎng)垂線偏差、格網(wǎng)重力異常、高程數(shù)據(jù)以及全國(guó)6600多個(gè)GPS/水準(zhǔn)數(shù)據(jù)。

垂線偏差數(shù)據(jù)主要是采用“移去-恢復(fù)”技術(shù)[22]，根據(jù)邊值理論由重力、地形以及地球重力場(chǎng)模型確定[23-25]。垂線偏差精度優(yōu)于1.5″，格網(wǎng)點(diǎn)間距以1.8 km計(jì)算，由此產(chǎn)生的誤差低于2 cm，加入GPS/水準(zhǔn)控制以后，可滿足建立厘米級(jí)似大地水準(zhǔn)面的要求。我國(guó)陸地子午與卯酉垂線偏差分量如圖2、圖3所示。重力異常數(shù)據(jù)主要利用我國(guó)及周邊81萬(wàn)多個(gè)離散重力異常數(shù)據(jù)經(jīng)格網(wǎng)化所得，如圖4所示；地形數(shù)據(jù)由分辨率3″×3″的SRTM數(shù)據(jù)取平均后處理成分辨率1′×1′的地形數(shù)據(jù)，如圖5所示。共收集包括國(guó)家GPS A、B級(jí)點(diǎn)、工程點(diǎn)，以及部分地區(qū)測(cè)量的C級(jí)網(wǎng)點(diǎn)在內(nèi)的陸地GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)6700多個(gè)，如圖6所示，剔除粗差點(diǎn)后實(shí)際上采用了6600多個(gè)計(jì)算并檢核了似大地水準(zhǔn)面模型。

2.2 分區(qū)似大地水準(zhǔn)面的確定

依據(jù)上述數(shù)據(jù)的質(zhì)量以及分布情況，將全國(guó)分為6個(gè)區(qū)域，分區(qū)確定區(qū)域似大地水準(zhǔn)面模型。區(qū)域1包括華東、華中、華南地區(qū)；區(qū)域2為云貴地區(qū)；區(qū)域3是藏南地區(qū)；區(qū)域4包括新疆南部及西藏北部地區(qū)；新疆北部地區(qū)作為區(qū)域5；區(qū)域6為東北地區(qū)。不同區(qū)域范圍以及控制點(diǎn)、檢核點(diǎn)分布如圖7—圖12所示，分區(qū)似大地水準(zhǔn)面模型如圖13所示，檢核點(diǎn)的殘差統(tǒng)計(jì)如表1、圖14所示。

表1 殘差統(tǒng)計(jì)特征

圖7反映出區(qū)域1 GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)較多，尤其是東部沿海地區(qū)，但整體上分布不均，我國(guó)臺(tái)灣地區(qū)沒有任何數(shù)據(jù)，而中南部地區(qū)GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)相對(duì)匱乏，但由GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)檢核后發(fā)現(xiàn)該地區(qū)似大地水準(zhǔn)面的精度并沒有受此影響。該區(qū)域似大地水準(zhǔn)面的精度達(dá)到了3.9 cm。

由圖8可知，區(qū)域2 GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)較少，分布極其不均，圖5也顯示該區(qū)域地勢(shì)復(fù)雜，因此選擇大部分的點(diǎn)作為控制點(diǎn)。邊界區(qū)域都布設(shè)了控制點(diǎn)，個(gè)別地區(qū)控制點(diǎn)分布集中、距離較近，這是因?yàn)樵诓粩噙x點(diǎn)計(jì)算時(shí)發(fā)現(xiàn)，這幾個(gè)點(diǎn)單獨(dú)做檢核點(diǎn)時(shí)殘差較大，但做控制點(diǎn)時(shí)，其對(duì)其他檢核點(diǎn)的殘差并沒有大的影響，因此排除了這些點(diǎn)是粗差點(diǎn)的可能。值得注意的是沿24°N緯線分布的3個(gè)GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)附近沒有任何控制點(diǎn)，但并沒有影響似大地水準(zhǔn)面的精度，由圖4也可以看出該地區(qū)重力場(chǎng)的變化并不明顯。

圖9顯示區(qū)域3是我國(guó)地勢(shì)最高的區(qū)域，GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)的分布并不均勻，為保證精度與可靠性著重在邊界地區(qū)、橫斷山脈附近布設(shè)較多控制點(diǎn)。但仍有部分地區(qū)缺少GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)，這些地區(qū)的似大地水準(zhǔn)面模型既沒有得到合理控制也沒有得到有效檢核，幸運(yùn)的是這些地區(qū)重力異常的變化并不像喜馬拉雅山脈地區(qū)變化的那么劇烈，為保證可靠性對(duì)北部山脈地區(qū)施加大量的控制點(diǎn)。該區(qū)域似大地水準(zhǔn)面模型經(jīng)過(guò)GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)的檢核表明在GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)有效控制的區(qū)域精度達(dá)到了5 cm。

由圖10可知，區(qū)域4 GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)多集中分布在東部地區(qū)，在該區(qū)域東南角處，控制點(diǎn)選取較為密集，主要是因?yàn)榇颂幨请A梯的交界處，也正是由于如此密集的選點(diǎn)，使得該地區(qū)的似大地水準(zhǔn)面的精度得到了保證。經(jīng)GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)檢核區(qū)域4的似大地水準(zhǔn)面模型精度達(dá)到了4 cm。

由圖11可知，區(qū)域5的GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)較少，分布多集中在中部地區(qū)，由圖4可知中部地區(qū)的重力異常變化較為劇烈，因此適度增加控制點(diǎn)有利于增加該區(qū)域似大地水準(zhǔn)面的可靠性。經(jīng)GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)檢核區(qū)域5的似大地水準(zhǔn)面模型精度優(yōu)于6 cm。

圖12表明區(qū)域6 GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)主要集中在中西部地區(qū)，東部地區(qū)較為稀少，且重力場(chǎng)變化較為劇烈，因此該區(qū)域需要較多的控制點(diǎn)，以保證似大地水準(zhǔn)面的可靠性，在中西部地區(qū)，控制點(diǎn)多為三角網(wǎng)的角點(diǎn)處。該區(qū)域似大地水準(zhǔn)面模型的整體精度達(dá)到了4 cm，并且大部分地區(qū)選用了較少的控制點(diǎn)，但是在東部地區(qū)受重力場(chǎng)變化、地形等因素的影響，絕大部分的GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)都選作了控制點(diǎn)。

2.3 全國(guó)陸海統(tǒng)一似大地水準(zhǔn)面確定

綜合上述陸地控制點(diǎn)，并聯(lián)合海島礁聯(lián)測(cè)GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)進(jìn)行整體平差計(jì)算，建立了我國(guó)陸海統(tǒng)一的似大地水準(zhǔn)面模型，如圖15所示。其中為消除不同區(qū)域控制點(diǎn)對(duì)似大地水準(zhǔn)面整體精度的影響，適當(dāng)調(diào)整了部分的檢核點(diǎn)作為控制點(diǎn)，最終采用共計(jì)2444個(gè)GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)做控制，經(jīng)4241個(gè)GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)檢核，結(jié)果表明我國(guó)似大地水準(zhǔn)面的整體精度達(dá)到4.01 cm。檢核點(diǎn)殘差統(tǒng)計(jì)如圖16、圖17、表2所示。

圖16 殘差分布統(tǒng)計(jì)Fig.16 The distribution of residual

最大值殘差特征值/m殘差范圍/個(gè)最小值平均值RMS

2.4 相對(duì)精度評(píng)定

絕對(duì)精度檢核并未考慮GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)的誤差累積，因此，整體上4 cm的精度只能說(shuō)明所建立的似大地水準(zhǔn)面與GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)的“吻合”情況較好。在計(jì)算過(guò)程中，地形復(fù)雜、重力場(chǎng)變化劇烈的地區(qū)，多是增加了GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)，增強(qiáng)對(duì)該區(qū)域似大地水準(zhǔn)面的控制，考慮到絕對(duì)精度表示的是似大地水準(zhǔn)面與本國(guó)GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)擬合以后的精度，在這種強(qiáng)制擬合中忽視了GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)中水準(zhǔn)測(cè)量誤差累積的影響，為此評(píng)定了似大地水準(zhǔn)面模型的相對(duì)精度，通過(guò)做差消除了部分水準(zhǔn)測(cè)量累積誤差影響。

2.4.1 相對(duì)精度評(píng)定方法

相對(duì)精度評(píng)定的具體步驟如下：

(1) 任選一檢核點(diǎn)A，以A點(diǎn)為中心選擇一定半徑范圍的檢核點(diǎn)Bi(i=1,2,…,n，n為以A點(diǎn)為中心一定半徑范圍內(nèi)的檢核點(diǎn)的個(gè)數(shù))。

(3)A點(diǎn)的高程異常真值ζA與Bi點(diǎn)的高程異常真值ζi做差，得

vi=ζA-ζi

(4) 步驟(2)與步驟(3)計(jì)算所得的殘差之間做差，稱為相對(duì)高程異常差，得

dvi=v′-vi

對(duì)dvi做誤差統(tǒng)計(jì)，得到似大地水準(zhǔn)面模型的相對(duì)精度。

2.4.2 似大地水準(zhǔn)面相對(duì)精度分析

選擇檢核點(diǎn)0.5°半徑范圍的其他檢核點(diǎn)，按照上述方法共統(tǒng)計(jì)了49 477組相對(duì)高程異常差，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表3、圖18、圖19所示。不同統(tǒng)計(jì)半徑下的分區(qū)統(tǒng)計(jì)如表4所示，分區(qū)精度統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖20所示。

圖18 相對(duì)高程異常差分布統(tǒng)計(jì)Fig.18 Distribution of differences of relative height anomaly

最大值殘差特征值/m殘差范圍/個(gè)最小值平均值RMS

表4 不同統(tǒng)計(jì)半徑下分區(qū)相對(duì)精度統(tǒng)計(jì)

通過(guò)相對(duì)精度的評(píng)定，可以發(fā)現(xiàn)東部地區(qū)似大地水準(zhǔn)面精度優(yōu)于西部地區(qū)精度，這主要與西部地區(qū)缺少必要的觀測(cè)數(shù)據(jù)有關(guān)。值得注意的是統(tǒng)計(jì)半徑0.5°時(shí)，區(qū)域2的相對(duì)精度最高，達(dá)到了2 cm，但由于該地區(qū)GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)的數(shù)量最少，并且多數(shù)都作為控制點(diǎn)，造成了參與檢核的相對(duì)高程異常較少，因此進(jìn)一步擴(kuò)大檢核時(shí)選點(diǎn)的半徑至1°、2°。由表4可知隨著選點(diǎn)半徑的增大，區(qū)域2的精度不斷降低，其他4個(gè)區(qū)域的精度基本穩(wěn)定，因此可認(rèn)為這4個(gè)區(qū)域先前的精度評(píng)定是可信的?？紤]到區(qū)域2 GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)嚴(yán)重不足，可以認(rèn)為統(tǒng)計(jì)半徑為0.5°情況下得出的2 cm精度并不可信，當(dāng)選點(diǎn)半徑擴(kuò)大至2°已包含了區(qū)域2絕大部分的檢核點(diǎn)，因此認(rèn)為在該選點(diǎn)半徑情況下得出的6.7 cm的精度較為可靠。

圖2 我國(guó)陸地1′×1′分辨率子午垂線偏差Fig.2 China land grid vertical deflections of meridian direction with a resolution of 1′×1′

圖3 我國(guó)陸地1′×1′分辨率卯酉垂線偏差Fig.3 China land grid vertical deflections of prime direction with a resolution of 1′×1′

圖4 我國(guó)陸地1′×1′分辨率重力異常Fig.4 China land grid gravity anomaly with a resolution of 1′×1′

圖5 我國(guó)陸地1′×1′SRTM地形數(shù)據(jù)Fig.5 China land SRTM terrain data with a resolution of 1′×1′

圖6 我國(guó)陸地GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)分布Fig.6 Distribution of China land GPS/leveling points

圖7 區(qū)域1的控制點(diǎn)、檢核點(diǎn)分布Fig.7 Distribution of control and check points of area 1

圖8 區(qū)域2的控制點(diǎn)、檢核點(diǎn)分布Fig.8 Distribution of control and check points of area 2

圖9 區(qū)域3的控制點(diǎn)、檢核點(diǎn)分布Fig.9 Distribution of control and check points of area 3

圖10 區(qū)域4的控制點(diǎn)、檢核點(diǎn)分布Fig.10 Distribution of control and check points of area 4

圖11 區(qū)域5的控制點(diǎn)、檢核點(diǎn)分布Fig.11 Distribution of control and check points of area 5

圖12 區(qū)域6的控制點(diǎn)、檢核點(diǎn)分布Fig.12 Distribution of control and check points of area 6

圖13 陸地分區(qū)似大地水準(zhǔn)面模型及精度Fig.13 The quasi-geoid model precision of different areas

圖15 陸海統(tǒng)一的似大地水準(zhǔn)面模型Fig.15 China land and ocean quasi-geoid model

圖17 殘差大小統(tǒng)計(jì)Fig.17 Statistic of residual

圖19 全國(guó)陸地相對(duì)精度分區(qū)統(tǒng)計(jì)Fig.19 Statistic of precision of different areas

圖20 相對(duì)高程異常差大小統(tǒng)計(jì)Fig.20 The statistic of differences of relative height anomaly

3 結(jié) 論

目前似大地水準(zhǔn)面建模的通用方法是按照Molodensky理論直接計(jì)算一點(diǎn)的高程異常，再用GPS/水準(zhǔn)擬合系統(tǒng)差。由于大地水準(zhǔn)面不能有效地吸收地形等高頻信息并且難以利用GPS/水準(zhǔn)數(shù)據(jù)對(duì)大地水準(zhǔn)面做真正地實(shí)際控制，因此很難再大幅度提高似大地水準(zhǔn)面精度。本文基于重力場(chǎng)水平分量-垂線偏差對(duì)地形信息敏感的特點(diǎn)，在根據(jù)邊值理論通過(guò)重力與地形數(shù)據(jù)確定格網(wǎng)垂線偏差模型的基礎(chǔ)上，利用三維重力矢量-格網(wǎng)垂線偏差與格網(wǎng)重力異常，并聯(lián)合格網(wǎng)高程數(shù)據(jù)求得格網(wǎng)中點(diǎn)間相對(duì)高程異常，通過(guò)GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)的控制，構(gòu)成緊密的幾何條件，進(jìn)行嚴(yán)密平差，從而計(jì)算得到了我國(guó)分辨率為1′×1′的陸海統(tǒng)一的似大地水準(zhǔn)面模型，并進(jìn)行了整體與分區(qū)的絕對(duì)精度與相對(duì)精度的評(píng)定。檢核結(jié)果表明采用本文方法構(gòu)建的我國(guó)似大地水準(zhǔn)面模型的整體絕對(duì)精度達(dá)到了4 cm，相對(duì)精度優(yōu)于7 cm。本文提出的基于三維重力矢量構(gòu)建我國(guó)大地水準(zhǔn)面的方法，充分利用了垂線偏差對(duì)地形信息敏感的特點(diǎn)，以高分辨率地形數(shù)據(jù)彌補(bǔ)重力場(chǎng)數(shù)據(jù)的不足，以確定相對(duì)高程異常代替以往的直接確定高程異常的方法，類似于GPS從直接定位到差分定位的轉(zhuǎn)變，而且這種格網(wǎng)相對(duì)高程異常構(gòu)成了嚴(yán)密的幾何條件，可以通過(guò)平差消除矛盾提高精度，比以往采用數(shù)值擬合的簡(jiǎn)單方法提高了嚴(yán)密度，為我國(guó)似大地水準(zhǔn)面模型的建立提供了一種新的思路與方法。

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