自適應卡爾曼濾波的電離層TEC預測模型改進

王建敏，黃佳鵬，劉梓然，祝會忠，馬天明

(1.遼寧工程技術大學 測繪與地理科學學院，遼寧 阜新 123000；2.遼寧科技大學 土木工程學院，遼寧 鞍山 114000)

0 引言

由于電離層自身的不穩(wěn)定性，對于穿過該層的全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)(global navigation satellite system，GNSS)的電波會產(chǎn)生折射、散射等物理現(xiàn)象。電離層總電子數(shù)(total electron content，TEC)是反映電離層狀況的重要屬性，電離層TEC的波動情況將會對人類生活產(chǎn)生極大的影響。近幾年業(yè)界使用GNSS針對電離層TEC進行監(jiān)測，通過探測電離層的異常情況作為研究地震發(fā)生的先驗信息。因此，研究預報模型對電離層TEC的變化情況進行高精度預報，進而揭示隨著電離層TEC急劇變化可能發(fā)生的物理現(xiàn)象及自然災害，具有重要的科研及實用的意義[1-4]。文獻[1]使用國際GNSS服務(International GNSS Service，IGS)組織公布的電離層TEC進行自回歸滑動平均模型(auto regressive and moving average model，ARMA)的建模與預測，以電離層平靜期和活躍期為研究對象，預報6 d的相對精度達到80 %以上[1]。文獻[2]使用自回歸模型(auto regressive model，AR)對電離層TEC進行預報，使用不同的原始數(shù)據(jù)分別向后預測2 d、3 d，通過比較模型的預報精度，證明AR模型針對電離層TEC具有很好的預報精度[2]。文獻[3]利用AR模型與誤差反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡模型(back propagation，BP)等組合模型完成電離層TEC預報，得到組合模型較單一模型可得到更好的預報結果的結論[3]。文獻[4]利用神經(jīng)網(wǎng)絡模型完成1 d的電離層TEC預報，表明訓練好的神經(jīng)網(wǎng)絡模型能夠充分反映出不同季節(jié)電離層TEC的變化。文獻[5]利用小波神經(jīng)網(wǎng)絡完成電離層TEC短期預報，在南北高緯度地區(qū)得到較高精度。以上研究均是直接基于IGS公布的數(shù)據(jù)完成預報，對于預處理方式大多以差分方式使數(shù)據(jù)平穩(wěn)化；但差分方式多是以簡單數(shù)學模型完成，并不完全遵循數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，只能完成數(shù)據(jù)平穩(wěn)化處理。這類模型針對具有劇烈變化性的電離層TEC數(shù)據(jù)進行簡單的預處理，沒有考慮到原始數(shù)據(jù)可能有誤差的存在；因此針對電離層TEC預報的預處理十分必要。

傳統(tǒng)卡爾曼濾波在對電離層TEC數(shù)據(jù)進行處理過程中存在一定的缺陷，可能會導致濾波發(fā)散。本文采用方差補償自適應卡爾曼濾波，用已有的電離層TEC數(shù)據(jù)對動態(tài)噪聲方差矩陣進行同步估計，減弱濾波模型所造成的誤差。神經(jīng)網(wǎng)絡具有良好的學習功能，可根據(jù)原始數(shù)據(jù)情況進行自我修正，小波分析理論可充分突出不同頻率情況的變化趨勢；小波神經(jīng)網(wǎng)絡兼具了二者的優(yōu)點，可充分擬合變化劇烈的電離層TEC變化情況。將方差補償自適應卡爾曼濾波作為數(shù)據(jù)預處理方式引入小波神經(jīng)網(wǎng)絡對電離層TEC進行預報，用以降低可能存在的噪聲對預測模型及預測精度的影響。

1 模型基本原理

1.1 卡爾曼濾波

卡爾曼濾波能減少隨機噪聲對電離層TEC觀測量的影響。它具有最小無偏差性，是當前應用最廣的一種數(shù)據(jù)預處理方法。它處理數(shù)據(jù)不僅會去除突變的數(shù)據(jù)，而且會保持數(shù)據(jù)原有的變化趨勢，這樣有利于預報模型的建立。離散線性系統(tǒng)的卡爾曼濾波方程包括狀態(tài)方程和觀測方程[6]為

(1)

L(k)=B(k)X(k)+Δ(k)

(2)

通過最小二乘原理可推得卡爾曼濾波方程為

(3)

(4)

Dx(k)=(E-J(k)×B(k))×Dx(k-1)

(5)

1.2 方差補償自適應卡爾曼濾波

方差補償自適應卡爾曼濾波就是在數(shù)據(jù)預處理過程中使用過去的電離層TEC數(shù)據(jù)對動態(tài)噪聲方差矩陣進行實時估計，用以減少因濾波模型誤差造成的噪聲。其基本思路為：使用濾波值與真實值求得估計剩余，即

(6)

(7)

設式(7)中B(k)Φ(k)T=O(k,m)；而

(8)

因為E(VT(k)V(k))=trace[E(V(k)VT(k))]=traceDVV，則有

VT(k+i)V(k+i)=traceDVV+δk+i

(9)

式中δk+i為零均值隨機變量。

令E(k)=VT(k)V(k)-trace[B(k)Φ(k)DX(k)ΦT(k)BT(k)]-traceDΔ(k)，又記

E=[E(k+1),……,E(k+N)]T，δ=[δk+i,……,δk+N]T。則有

E=OdiagDΔΔ+δ

(10)

式(10)是關于diagDΔΔ的矩陣，當N≥m時，有唯一解；則記diagDΔΔ估計為

(11)

通過式(11)完成卡爾曼濾波即式(5)的修正[8-9]。

使用方差補償自適應卡爾曼濾波作為電離層TEC預處理方法。方差補償自適應卡爾曼濾波是依據(jù)前一刻電離層TEC的狀態(tài)量，結合觀測方程去估計當前時刻TEC的濾波值，每一個電離層TEC數(shù)據(jù)都對應一個濾波后的濾波值，再以濾波值作為小波神經(jīng)網(wǎng)絡模型的輸入值完成改進模型的建立。

1.3 小波神經(jīng)網(wǎng)絡

小波神經(jīng)網(wǎng)絡(wavelet neural network，WNN)是以神經(jīng)網(wǎng)絡為大體框架，將小波分析理論作為核心內(nèi)容的神經(jīng)網(wǎng)絡。從結構形式上來看是將小波分解與BP神經(jīng)網(wǎng)絡相融合，用小波函數(shù)的平移因子充當隱層閾值作用，用小波函數(shù)代替隱層核心函數(shù)Sigmoid函數(shù)。由于小波神經(jīng)網(wǎng)絡需要參數(shù)較多，極大增強了樣本數(shù)據(jù)與模型的關聯(lián)度，使得模型比小波分解具有更優(yōu)的逼近能力。不同網(wǎng)絡層包括的神經(jīng)元個數(shù)也各不相同。

小波神經(jīng)網(wǎng)絡核心部分表達式為

(12)

Morlet小波函數(shù)表達式為

(13)

(14)

隱含層與輸出層之間的權值調整公式為

(15)

(16)

2 實驗與結果分析

在利用預測模型對電離層進行預測時，對于電離層TEC可能存在的誤差很少有人討論；因此筆者使用方差補償自適應卡爾曼濾波對電離層TEC進行預處理，用以降低原始電離層TEC可能存在的誤差，進一步提高電離層TEC的預測水平?；跉W洲定軌中心(Center for Orbit Determination in Europe，CODE)下載的2016年電離層網(wǎng)格點TEC數(shù)據(jù)對該方法進行實驗與分析，因自 2015 年起全球網(wǎng)格點數(shù)據(jù)以1 h為時間間隔，限于篇幅，選用2016年1月前10 d的數(shù)據(jù)。為驗證該方法是否與數(shù)據(jù)的時間和緯度有關，取年積日為第1天至第10天全球不同經(jīng)緯度的格網(wǎng)點數(shù)據(jù)作為實驗數(shù)據(jù)，格網(wǎng)點的經(jīng)緯度包括(87.5°N，125°E)、(67.5°N，125°E)、(45°N，125°E)、(22.5°N，125°E)、(0°，125°E)、(22.5°S，125°E)、(45°S，125°E)、(67.5°S，125°E)、(87.5°S，125°E)[15-16]。利用AKN模型、KN模型與AN模型完成對于對上述基礎數(shù)據(jù)的預報，使用前10 d的TEC值分別預測后6 d的數(shù)據(jù)，比較不同情況下的預測精度。AKN模型使用方差補償自適應卡爾曼濾波預處理，再利用小波神經(jīng)網(wǎng)絡完成預測；KN模型使用傳統(tǒng)卡爾曼濾波預處理，再利用小波神經(jīng)網(wǎng)絡完成預測；AN模型直接使用小波神經(jīng)網(wǎng)絡完成預測。為驗證模型在磁暴情況下的預測水平，使用2004年第302天至第311天作為原始數(shù)據(jù)，完成2004年第312 天至第316天的數(shù)據(jù)預測，選擇格網(wǎng)點為(45°N，125°E)[17]。選用預測平均精度和殘差值分布數(shù)據(jù)作為精度分析標準。

預測平均精度

(17)

式中：pi為不同預測模型i時刻的預測數(shù)據(jù)；qi為CODE公布的對應時刻實際TEC數(shù)據(jù)。

殘差值V表達式為

V=pi-qi

(18)

圖1為2016-01-10—2016-01-16不同緯度的3個預測模型的預測情況比較。圖1中橫坐標為預測歷元，其中歷元間隔為1 h；縱坐標表示TEC值，以總電子含量單位(total electron content units，TECU)的個數(shù)計，1個TECU等于1016個電子每平方米。

圖1 不同天數(shù)的預測情況比較

由圖1中可以看出：在不同緯度完成預測不同天數(shù)情況下，3個模型都有很高的擬合程度；利用方差補償自適應卡爾曼濾波完成對于原始數(shù)據(jù)的預處理，相對另外2種模型具有更高的平均精度。

表1為3種不同模型在各個緯度下使用10 d數(shù)據(jù)完成預測的1～6 d的平均精度。

表1 不同緯度的相對精度統(tǒng)計

從表1中可以看出，在南半球AN模型、KN模型、AKN模型能夠取得較好的預測精度，而且在(87.5°S，125°E)區(qū)域預測精度最高，在該區(qū)域經(jīng)過方差補償自適應卡爾曼濾波預處理的數(shù)據(jù)再利用模型進行預測會有更高的預測精度。由于是由小波神經(jīng)網(wǎng)絡完成預測，可能導致預測精度在某一區(qū)域較低，如(0°，125°E)區(qū)域，可能是由于該區(qū)域在這一時段不穩(wěn)定造成的；但是經(jīng)過卡爾曼濾波的預處理，提高了模型的總體預測精度：從表中可得出AKN模型預測精度相對KN模型和AN模型有不同程度的提高。從表中亦可看出緯度越高預測模型預測精度相應提高，(87.5°N，125°E)和(87.5°S，125°E)是各自半球預測精度最高的。高緯度地區(qū)是電離層異常活躍的地區(qū)，結合本次實驗預測結果和原始數(shù)據(jù)曲線可以發(fā)現(xiàn)，在實驗區(qū)間處2個高緯度區(qū)域的電離層TEC變化雖然不規(guī)律，但是電離層TEC變化范圍相對其他緯度更小，可能是導致預測模型精度更高的原因。

圖2為2004年磁暴現(xiàn)象預測結果，2004年CODE公布的數(shù)據(jù)歷元為2 h，5 d共有60個TEC數(shù)據(jù)，圖中第20個歷元至第28個歷元能明顯看出與周圍數(shù)據(jù)不同，通過比較3種模型擬合情況結合表1中數(shù)據(jù)可以看出，在磁暴預測情況下，AKN模型相對AN模型、KN模型有更好的預測效果。圖3為不同模型不同緯度的平均預測精度。

表2為不同模型在不同緯度預測殘差小于1個TECU的統(tǒng)計情況(預測1～6 d的平均值)。從表中可知：AN模型有16.64 %的殘差值小于1個TECU；AKN模型有20.37 %的殘差值小于1個TECU；在各個緯度AKN模型預測殘差小于1個TECU所占的比重相對另外2個模型都有不同程度的提高。

圖2 磁暴現(xiàn)象預測5 d結果

圖3 不同緯度的相對精度統(tǒng)計圖

結合表1、表2會發(fā)現(xiàn)：在各個緯度殘差分布情況和預測的相對精度趨勢不相同，這是由于預測精度的計算結果在很大程度上取決于基礎數(shù)據(jù)的大小，相同或相近的預報殘差，若基值不同，相對精度會有較大差異；各個緯度原始TEC數(shù)據(jù)有很大差異，如(67.5°N，125°E)的數(shù)量級是5個TECU，(0°，125°E)的數(shù)量級是50個TECU，所以即使殘差較大，也可能具有略高的平均精度。綜合2種精度評價標準來講，使用方差補償自適應卡爾曼濾波預處理可以提高模型的預測精度，是一種比較理想的提高預測精度的方式。

表2 不同模型預測殘差小于1個TECU所占百分比

表3給出預測不同天數(shù)平均精度的統(tǒng)計結果。

表3 預測不同天數(shù)的平均精度統(tǒng)計

圖4為預測不同天數(shù)各模型平均精度的比較情況，由AKN模型變化趨勢結合表3可知，預測不同天數(shù)情況下的AKN模型預測精度在54 %～69 %范圍內(nèi)，預測平均精度為60.27 %，預測平均精度相對直接使用原始數(shù)據(jù)進行預測提高4.93 %，且在預測6 d過程中保持逐步降低的總體趨勢，超過4 d其相對精度將隨時間明顯降低。

圖4 不同天數(shù)各模型的相對精度比較

圖5、表4為預測不同天數(shù)各模型殘差小于1個TECU的統(tǒng)計情況，從中可知：根據(jù)AKN模型的變化過程，預報殘差小于1個TECU的占20.37 %，相對直接使用原始數(shù)據(jù)建模提高3.73 %；且根據(jù)變化曲線來看，AKN模型隨著預測天數(shù)的變化，殘差也在略微改變，但是仍然優(yōu)于另外2個模型。

圖5 不同模型預測殘差小于1個TECU預測天數(shù)統(tǒng)計

預測時間/dAN模型的百分比/(%)KN模型的百分比/(%)AKN模型的百分比/(%)116.6722.6827.77219.4420.6021.29316.2017.5921.45416.2015.1616.55516.5715.2718.24613.1915.6616.24平均值16.6417.8320.37

3 結束語

本文研究表明，使用方差補償自適應卡爾曼濾波對電離層TEC進行預處理，再利用小波神經(jīng)網(wǎng)絡完成預測結果較為理想。無論是高緯度、中緯度，還是低緯度地區(qū)，經(jīng)過自適應卡爾曼濾波預處理的電離層數(shù)據(jù)，再利用小波神經(jīng)網(wǎng)絡模型完成預測，能夠在不同程度上提高預測精度，降低殘差值的影響。使用該方法預測樣本長度會對模型有很大影響，其大體規(guī)律為隨時間增加，模型預測精度隨之降低。

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