讀《籬笆怎么圍面積最大》的思考

（湖北省孝感市文昌中學(xué)）

問(wèn)題有一堵長(zhǎng)為12m的墻，利用這堵墻和長(zhǎng)為60m的籬笆圍成一個(gè)矩形養(yǎng)雞場(chǎng)，怎樣圍面積最大？最大面積是多少？

這是由人教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)（以下統(tǒng)稱(chēng)“教材”）的內(nèi)容演變而來(lái)的一道題.祝立新老師在2017年《中國(guó)數(shù)學(xué)教育》（初中版）第3期《籬笆怎么圍面積最大》一文中，從四個(gè)不同的位置情形入手，進(jìn)行了非常詳盡的討論分析，并且做了引申和拓展，讀后很受啟發(fā).筆者在受益匪淺之余，也進(jìn)行了一些思考.

思考1：?jiǎn)栴}中“利用這堵墻”的含義，整體上看可分為“一邊靠墻”和“一邊包含墻”兩種情形.至于教材中的圖4，通過(guò)平移矩形，完全可以轉(zhuǎn)化為前面的兩種情形之一.下面，我們分兩種情況討論如下.

（1）若一邊靠墻，如圖1，同祝老師的分析，得到當(dāng)AB=12m，養(yǎng)雞場(chǎng)面積最大為288m2；

圖1

（2）若一邊包含著墻，如圖2所示.從整體上看，墻可以看成是邊DC上運(yùn)動(dòng)的“線段”，邊長(zhǎng)與墻長(zhǎng)的差即為矩形這一邊所用的籬笆長(zhǎng).

圖2

設(shè)AB=xm，

則AD+x+BC+(x-12)=60.

所以AD=BC=(36-x) m.

所以S矩形ABCD=x(36-x)=-(x-18)2+324.

因?yàn)?1＜0，

所以當(dāng)x=18時(shí)，S矩形ABCD有最大值324.

綜上歸納，可得當(dāng)矩形的長(zhǎng)和寬都是18m時(shí)，養(yǎng)雞場(chǎng)面積最大，最大面積是324 m2.

思考2：上述結(jié)論中，養(yǎng)雞場(chǎng)面積最大時(shí)，所建矩形的“一邊包含墻”，并且其形狀正好是一個(gè)正方形.聯(lián)想到“周長(zhǎng)一定的所有矩形中，正方形的面積最大”，于是閃現(xiàn)出一個(gè)整體思想新解法.

解：把這堵墻看成一段特殊的籬笆，

則共有籬笆72m.

設(shè)這些籬笆圍成的矩形的一邊長(zhǎng)為xm，

則矩形的另一邊長(zhǎng)為(36-x) m.

所以S矩形ABCD=x(36-x)=-(x-18)2+324.

因?yàn)?1＜0，

所以當(dāng)x=18時(shí)，S矩形ABCD有最大值324，此時(shí)矩形為邊長(zhǎng)等于18的正方形.

因?yàn)?8＞12，

所以這堵墻可以成為上述正方形一邊上的一部分.

所以以這堵墻為基礎(chǔ)，圍建成邊長(zhǎng)為18m的正方形，便得到了符合題意的面積最大的養(yǎng)雞場(chǎng).

思考3：上面運(yùn)用數(shù)學(xué)整體思想方法，算“總賬”，巧轉(zhuǎn)化，避免了局部分析過(guò)程中的分類(lèi)討論之“繁”，簡(jiǎn)潔明了，并且還原了問(wèn)題內(nèi)含的本質(zhì).運(yùn)用這種整體轉(zhuǎn)化思想方法解決祝老師文中的拓展問(wèn)題，也可以使得其過(guò)程簡(jiǎn)化.

拓展1：有一堵長(zhǎng)為am的墻，利用這堵墻和長(zhǎng)為60m的籬笆圍成一個(gè)矩形養(yǎng)雞場(chǎng)，怎樣圍面積最大，最大面積是多少？

解析：先把這堵墻看成一段特殊的籬笆，

則共有籬笆(a+60) m.

同上面的研究方法得到當(dāng)這些籬笆圍成邊長(zhǎng)為的正方形時(shí)，其面積最大.

再分類(lèi)討論如下.

（1）若即當(dāng)a≤20時(shí)，同上，以這堵墻為基礎(chǔ)，圍建成邊長(zhǎng)為的正方形，便得到了符合題意的面積最大的養(yǎng)雞場(chǎng).

此時(shí)養(yǎng)雞場(chǎng)最大面積為

（2）若即當(dāng)a＞20時(shí)，由于“墻”不能彎曲，所以上述正方形無(wú)法圍成，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為矩形“一邊靠墻”類(lèi)型問(wèn)題.

同圖1，設(shè)AB=xm，

則

所以

再分類(lèi)討論如下.

①如果20＜a＜30，則0＜x≤a.

函數(shù)在此區(qū)間單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=a時(shí)，此時(shí)矩形兩鄰邊長(zhǎng)分別為am，養(yǎng)雞場(chǎng)最大面積為

②如果a≥30，因?yàn)?/p>

所以當(dāng)x=30時(shí)，S矩形ABCD有最大值450，此時(shí)矩形的長(zhǎng)為30m，寬為15m，養(yǎng)雞場(chǎng)最大面積是450 m2.

思考4：如果這堵墻的長(zhǎng)度不變，而籬笆長(zhǎng)是一個(gè)變數(shù)，情況又怎么樣？我們進(jìn)行另一個(gè)層面的拓展如下.

拓展2：有一堵長(zhǎng)為12m的墻，利用這堵墻和長(zhǎng)為am的籬笆圍成一個(gè)矩形養(yǎng)雞場(chǎng)，怎樣圍面積最大，最大面積是多少？

解析：先把這堵墻看成一段特殊的籬笆，則共有籬笆(a+12)m.

同上面的研究方法得到當(dāng)這些籬笆圍成邊長(zhǎng)為的正方形時(shí)，其面積最大.

再分類(lèi)討論如下.

（1）若即當(dāng)a≥36時(shí)，同上分析，以這堵墻為基礎(chǔ)，圍建成邊長(zhǎng)為的正方形，便得到了符合題意的面積最大的養(yǎng)雞場(chǎng).此時(shí)養(yǎng)雞場(chǎng)最大面積為

（2）若即當(dāng)a＜36時(shí)，同上，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為矩形“一邊靠墻”類(lèi)問(wèn)題.

如圖1，設(shè)AB=x，

則

所以

再分類(lèi)討論如下.

①如果則24＜a＜36.

因?yàn)?＜x≤12，

所以函數(shù)在此區(qū)間單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x=12時(shí)，矩形ABCD的面積有最大值，最大值為

此時(shí)矩形兩鄰邊長(zhǎng)分別為12 m，養(yǎng)雞場(chǎng)最大面積為(6a-72) m2.

②如果即0＜a≤24.

因?yàn)?/p>

所以當(dāng)時(shí)，S矩形ABCD有最大值此時(shí)矩形的長(zhǎng)為寬為養(yǎng)雞場(chǎng)最大面積是

思考5：如果這堵墻呈“L”形，又將會(huì)出現(xiàn)什么情況？看下面的拓展.

拓展3：如圖3，有一堵總長(zhǎng)為24 m的“L”形墻ECF，其中EC⊥CF，且EC=CF，利用這堵墻和長(zhǎng)為am的籬笆圍成一個(gè)矩形養(yǎng)雞場(chǎng)，怎樣圍面積最大？最大面積是多少？

圖3

解析：類(lèi)似于上面的分析，先把這堵墻看成一段特殊的籬笆，則共有籬笆()a+24 m.

同上面的研究得到當(dāng)這些籬笆圍成邊長(zhǎng)為的正方形時(shí)，其面積最大.

再分類(lèi)討論如下.

（1）若即a≥24時(shí)，同上，以這堵“L”形墻為基礎(chǔ)，圍建成邊長(zhǎng)為的正方形，便得到了符合題意的面積最大的養(yǎng)雞場(chǎng)，此時(shí)養(yǎng)雞場(chǎng)最大面積為

（2）若即當(dāng)a＜24時(shí)，同上，矩形與“L”墻的位置關(guān)系歸納為兩種：矩形“僅有一邊靠墻”或矩形“相鄰兩邊都靠墻”.

由于CE=CF，不失一般性，不妨假設(shè)CD邊總是靠墻CE，如圖4和圖5所示.

圖4

圖5

注意上面第（1）種情況中的一個(gè)特例：當(dāng)a=24時(shí)，取得最大面積的養(yǎng)雞場(chǎng)恰好是以“L”形墻為相鄰邊的正方形（此時(shí)矩形相鄰兩邊都靠墻）.

因此，我們可以肯定，當(dāng)a＜24時(shí)，矩形若要取得最大面積，其相鄰兩邊都要靠墻，如圖5所示.

設(shè)AB=x，

則AD=a-x.

所以

顯然當(dāng)時(shí)，S矩形ABCD有最大值此時(shí)矩形的長(zhǎng)和寬都為最大面積是

籬笆圍成矩形面積最大值問(wèn)題，確實(shí)是一個(gè)易被學(xué)生操作理解，易于形成數(shù)學(xué)模型的綜合性載體.實(shí)際上，我們還可以尋找新的觀察點(diǎn)再深入研究，這里不再贅述.

［1］祝立新.籬笆怎么圍面積最大［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2017（3）：9-11.