苗李達，姜青山

（海軍航空大學(xué)，山東 煙臺 264001）

0 引言

武裝直升機對地面目標(biāo)攻擊的主要武器是空地導(dǎo)彈和火箭彈，兩者各有優(yōu)劣?？盏貙?dǎo)彈射程大、命中精度高，對地面目標(biāo)具有高殺傷力［1］，但是空地導(dǎo)彈成本高、重量大、易受干擾，飛機掛載數(shù)量少。火箭彈成本低、重量輕，可以大量裝備用于齊射和連射，在短時間內(nèi)大量發(fā)射以壓制目標(biāo)，并且不易受干擾，但是火箭彈射程近、彈著點散布大［2］、殺傷力低。同時，在現(xiàn)代作戰(zhàn)條件下，武裝直升機對地攻擊行動一般并不是由單架執(zhí)行，而是由多架飛機組成編隊，協(xié)同對多個地面目標(biāo)進行［3］，所以合理可行的火力分配方法便成為武裝直升機編隊對地攻擊研究的一個方面。編隊對地攻擊火力分配的目的［4］是確定對各個攻擊目標(biāo)實施何種強度的火力打擊，使火力分配結(jié)果在滿足各種約束的條件下，整個編隊的作戰(zhàn)效能最高或在滿足作戰(zhàn)任務(wù)要求的前提下作戰(zhàn)代價最小。由于一些目標(biāo)有厚重的裝甲或堅固的掩體保護，攻擊時需要多枚同類或不同種類彈藥共同積累疊加以達到任務(wù)要求的毀傷效果，所以在考慮武裝直升機編隊對目標(biāo)的毀傷效能時應(yīng)當(dāng)考慮到對不同目標(biāo)的不同毀傷積累效果。涉及目標(biāo)毀傷積累的武裝直升機編隊對地攻擊火力分配是一個純整數(shù)非線性規(guī)劃問題（PINLP），本文使用分支定界方法求解。

1 直升機編隊對地攻擊火力分配模型

1.1 有毀傷積累的毀傷概率模型

毀傷概率，是衡量武器系統(tǒng)在給定投射條件下戰(zhàn)斗部毀傷目標(biāo)可能性大小的量度，表示目標(biāo)被毀傷的可能性與發(fā)射彈藥數(shù)量之間的函數(shù)關(guān)系。

式中，P為目標(biāo)毀傷概率，x為向目標(biāo)發(fā)射的彈藥數(shù)量。對于不同目標(biāo)，毀傷概率函數(shù)不盡相同，但在彈藥確定的情況下，主要取決于目標(biāo)的性質(zhì)，目標(biāo)“硬度”越低，彈藥命中后對目標(biāo)的毀傷就越大，反之亦然。如果一枚導(dǎo)彈或火箭彈命中目標(biāo)，目標(biāo)便被摧毀，如果未命中，目標(biāo)則完好，即每一枚彈藥擊毀目標(biāo)的事件均是相互獨立的，此類毀傷概率屬于無積累毀傷概率，例如空地導(dǎo)彈對地面非裝甲車輛的毀傷。無積累毀傷概率的表達式為：

但在實際作戰(zhàn)中，被攻擊的地面目標(biāo)都有一定“硬度”，如裝甲目標(biāo)、堅固掩體等，一枚彈命中只能造成目標(biāo)某種程度的損壞，而達不到判定目標(biāo)被毀傷的程度，或在攻擊集群目標(biāo)時，命中的彈藥只能對集群目標(biāo)的一部分造成毀傷，卻達不到使集群目標(biāo)整體毀傷的效果。同時，命中同一目標(biāo)的多發(fā)彈藥之間的關(guān)系也不是相互獨立的。每發(fā)命中的彈藥都會對目標(biāo)造成損傷，從而使后續(xù)發(fā)射彈藥的毀傷概率值不減。即

在這種情況下，目標(biāo)的毀傷概率屬于有毀傷積累的毀傷概率。

典型的有毀傷積累的目標(biāo)毀傷概率模型［5］有突變型積累模型、線性積累模型、指數(shù)型積累模型、正態(tài)型積累模型、反轉(zhuǎn)正態(tài)型積累模型等。其中，突變型積累模型更適合描述道路、橋梁等的毀傷情況；反轉(zhuǎn)正態(tài)型積累模型只適合反映堅固目標(biāo)的毀傷情況，不適合描述非裝甲類目標(biāo)和有生力量；指數(shù)型積累模型可以通過適當(dāng)改變積累強度系數(shù)，反映廣泛類型的目標(biāo)積累毀傷，也可以近似描述線性積累模型和正態(tài)型積累模型所反映的目標(biāo)毀傷情況。因此，本文采用指數(shù)型積累模型。

指數(shù)型積累模型的表達式為：

式中，p為彈藥單發(fā)殺傷力；q為彈藥單發(fā)命中概率；u為調(diào)整參數(shù)，一般取略高于編隊可攜帶該種彈藥總量的定值；k為毀傷積累強度系數(shù)，反映目標(biāo)的“硬度”，決定了模型曲線的形狀。

圖1 不同k值下的指數(shù)型毀傷積累概率

如圖1所示，當(dāng)k=1時，曲線接近為一條直線；當(dāng)k＞1并且持續(xù)增大時，積累強度增大，曲線向左上方彎曲呈凸型，這時對目標(biāo)發(fā)射很小數(shù)量的彈藥時，便可以產(chǎn)生很大的毀傷概率，但隨著彈藥發(fā)射數(shù)量的增加，毀傷概率增大的幅度逐漸減小，即P''（x）＜0。例如，當(dāng)k=5，x=1時，P（x）=0.465，當(dāng)x=3時，P（x）便已經(jīng)達到了0.918。這種曲線可以表示如非裝甲車輛、人員、技術(shù)裝備等目標(biāo)，這類目標(biāo)的特點是“硬度”較低，命中目標(biāo)的彈藥與目標(biāo)“硬度”相比，威力巨大，只需發(fā)射少量彈藥就可造成十分可觀的毀傷效果。當(dāng)實際發(fā)射數(shù)量達到一定數(shù)值時（如k=5，x=3），即使發(fā)射彈藥的數(shù)量成倍增長，毀傷概率提升的幅度也很不明顯，因此，攻擊此類目標(biāo)時少分配彈藥即可。當(dāng)k＜1并且持續(xù)減小時，積累強度降低，曲線向右下方彎曲呈凹型，這時當(dāng)發(fā)射的彈藥數(shù)量不大時，毀傷概率很小，隨著發(fā)射數(shù)量的增加，毀傷概率提升的速度逐漸加快，即P''（x）＞0。例如，當(dāng) k=0.1，x=4 時，P（x）只能達到 0.077，當(dāng)x 提高到 7 時，P（x）也只有 0.295，但之后 P（x）隨 x的增大幅度明顯遞增。這種曲線可以表示如堅固掩體、永備工事等目標(biāo)，這類目標(biāo)的特點是外部“硬度”高，易造成毀傷的核心部位被堅硬的“外殼”包裹。為達到較高毀傷效果，需要先發(fā)射足夠的彈藥將“外殼”擊破，目標(biāo)失去“外殼”的保護時，再發(fā)射的彈藥對目標(biāo)的毀傷效果會顯著提升，因此，為達成毀傷此類目標(biāo)的目的，需要分配足夠多的彈藥?？梢姡S著k值的變化，指數(shù)型積累模型能夠表現(xiàn)相當(dāng)廣泛的積累毀傷情況。

當(dāng)對某一目標(biāo)累計發(fā)射x枚導(dǎo)彈和y枚火箭彈時，可以認(rèn)為兩種武器之間的毀傷概率是相互獨立的，若x枚導(dǎo)彈造成的毀傷概率為P1（x），y枚火箭彈造成的毀傷概率為P2（y），則對該目標(biāo)進行攻擊造成的總的毀傷概率 P（x，y）為：

將式（4）帶入式（5）得到目標(biāo)遭受兩種武器攻擊時的毀傷概率為：

1.2 編隊對目標(biāo)群的積累毀傷價值模型

目標(biāo)毀傷價值是指目標(biāo)受到攻擊時所失去的軍事或經(jīng)濟價值。可以表示為目標(biāo)實際價值與毀傷概率的乘積，設(shè)第i個目標(biāo)的實際價值為Ei，則對該目標(biāo)發(fā)射xi枚導(dǎo)彈和yi枚火箭彈的積累毀傷價值Fi為：

在一波武裝直升機編隊作戰(zhàn)中，對N個目標(biāo)進行攻擊的積累毀傷價值F為：

在編隊規(guī)模一定的前提下達到最大的毀傷價值即最大效能，需要合理地制定掛彈方案并且優(yōu)化分配對不同目標(biāo)的導(dǎo)彈和火箭彈發(fā)射量。這是一個純整數(shù)非線性規(guī)劃問題（PINLP），這類規(guī)劃中的全部自變量限制為整數(shù)，而目標(biāo)函數(shù)或約束條件中包含非線性函數(shù)。一般來說，非線性整數(shù)規(guī)劃要比線性整數(shù)規(guī)劃問題困難得多，目前所流行的求解整數(shù)規(guī)劃的方法主要包括分枝定界法、割平面法、隱枚舉法、匈牙利法和蒙特卡洛法［6］。隱枚舉法和匈牙利法主要用于求解“0-1”整數(shù)規(guī)劃，蒙特卡羅法引入隨機數(shù)，每次計算的結(jié)果都是不一樣的，精度不易保證。分枝定界法和割平面法的核心思想基本相同，在Lingo軟件中前者有算法模塊［7］，所以本文采用分枝定界法求解火力分配模型。

2 編隊火力分配模型的解算

2.1 問題描述

武裝直升機編隊對地攻擊火力分配模型的表述形式如下：由n架直升機組成的編隊對N個地面目標(biāo)實施攻擊，每架直升機可以選擇掛載導(dǎo)彈或火箭彈。模型的分配目的是確定對每個目標(biāo)發(fā)射的導(dǎo)彈和火箭彈數(shù)量，使目標(biāo)分配結(jié)果和掛彈方案在滿足約束的前提下達到毀傷價值最高。

該模型的決策變量為對各目標(biāo)發(fā)射的導(dǎo)彈和火箭彈數(shù)量，可分別用向量、向量表示。目標(biāo)函數(shù)是編隊對目標(biāo)群的毀傷價值，將式（6）帶入式（8）得：

式（9）說明了在目標(biāo)性質(zhì)一定的情況下，毀傷價值只是彈藥分配方式的函數(shù)。編隊能攜帶的彈藥總量和掛彈方案構(gòu)成約束條件，即在保證每架飛機的掛彈符合要求的前提下，發(fā)射彈藥的總量不能超過n架直升機可掛載的最大值，同時X、Y中的元素只能取0或正整數(shù)。設(shè)每架直升機上有g(shù)個掛點，每個掛點允許掛載m1枚導(dǎo)彈或m2枚火箭彈，則約束條件表示為：

式中，ceil（a）表示向不小于a的最接近整數(shù)取整。

綜上，武裝直升機編隊火力分配問題優(yōu)化模型就是在約束（10）下使目標(biāo)函數(shù)（9）達到最大。

2.2 求解步驟

先將約束（10）中的整數(shù)約束去掉，與目標(biāo)函數(shù)（9）合并，得到原模型的松弛模型。

用連續(xù)優(yōu)化方法求解式（11），得到解xi'（i=1，2，…，N）T和yi'（i=1，2，…，N）T。所得解若全為整數(shù)，則所得解為最優(yōu)解。否則在非整數(shù)解xi'或yi'的周圍沿著目標(biāo)函數(shù)值上升的方向構(gòu)建約束條件xi≤xi'和xi'≤xi+1或 yi≤yi'和 yi'≤yi+1 與式（11）組成新的問題，求解新問題。檢查新問題的目標(biāo)函數(shù)值，找出最大的那一個，檢查該整數(shù)解是否為可行解，保留可行解，舍棄非可行解，以此類推。直至全部檢查完畢，得到最優(yōu)整數(shù)解，求解流程如下頁圖2所示。

3 應(yīng)用實例

由3架武裝直升機組成的編隊對15個地面目標(biāo)實施攻擊，其中前9個目標(biāo)為價值大、防護好的目標(biāo)，如指揮所、碉堡、坦克。后6個目標(biāo)為價值小、防護差的目標(biāo)，如非裝甲車輛、技術(shù)裝備。目標(biāo)基本屬性如表1所示。

圖2 優(yōu)化模型求解流程

表1 目標(biāo)基本屬性

設(shè)直升機可攜帶的空地導(dǎo)彈單發(fā)威力p1=40，單發(fā)命中率q1=0.9，火箭彈單發(fā)威力p2=10，單發(fā)命中率q2=0.65。每架飛機有4個武器掛點，每個武器掛點允許掛載1枚空地導(dǎo)彈，或者使用兩個掛點掛載1個火箭發(fā)射器，內(nèi)裝7枚火箭彈，因此，編隊可最多攜帶空地導(dǎo)彈12枚，最多攜帶火箭彈42枚，可取u1=13、u2=43。由式（7）得對不同目標(biāo)進行不同數(shù)量武器攻擊所產(chǎn)生的積累毀傷價值如表3所示，根據(jù)表2制成圖3。

表2 武器發(fā)射數(shù)量與目標(biāo)毀傷價值（部分）

圖3 武器發(fā)射數(shù)量與目標(biāo)毀傷價值（部分）

圖3中，x軸表示對目標(biāo)實施攻擊的火箭彈數(shù)量，y軸表示對目標(biāo)實施攻擊的導(dǎo)彈數(shù)量，z軸表示目標(biāo)毀傷價值。對同一目標(biāo)，?z/?y＞?z/?x，即毀傷價值沿y軸增加的速度高于沿x軸增加的速度，這是由于導(dǎo)彈的單發(fā)威力和命中率都高于火箭彈。毀傷積累強度系數(shù)決定毀傷概率的增長趨勢，目標(biāo)14的毀傷積累強度系數(shù)為9.25，發(fā)射1枚導(dǎo)彈或2枚火箭彈就可以達到90%以上的毀傷。目標(biāo)3的毀傷積累強度系數(shù)為0.08，發(fā)射1枚導(dǎo)彈或2枚火箭彈只能造成20.7%或2.4%的毀傷。

使用Lingo仿真解算，maxF=106.32，具體彈藥分配結(jié)果如下：

表3 取得最大毀傷價值時的彈藥分配方案

可同樣計算出，若編隊全部攜帶導(dǎo)彈，最大毀傷價值為97.21，全部攜帶火箭彈，最大毀傷價值為59.57。結(jié)合表1可以看出，應(yīng)分配導(dǎo)彈攻擊價值大但不易毀傷的目標(biāo)，如裝甲和工事類目標(biāo)；火箭彈攻擊價值小但容易毀傷的目標(biāo)，如非裝甲類和零散目標(biāo)。在兩種目標(biāo)都存在的前提下，使用導(dǎo)彈和火箭彈配合攻擊比單純使用一種武器效果更好。結(jié)合飛機掛載能力，編隊的掛彈方案為攜帶空地導(dǎo)彈10枚，火箭彈7枚，因此，安排2架飛機各掛載空地導(dǎo)彈4枚，1架飛機掛載空地導(dǎo)彈2枚，火箭發(fā)射器1個，內(nèi)裝火箭彈7枚。

4 結(jié)論

本文提出了有毀傷積累的對地攻擊毀傷概率，通過毀傷積累強度系數(shù)的變化，可建立表示廣泛類型目標(biāo)的指數(shù)型毀傷積累模型，并結(jié)合目標(biāo)實際價值，建立武裝直升機編隊對地面目標(biāo)群火力攻擊的毀傷價值模型。運用非線性分支定界算法，解算出編隊對目標(biāo)群實施火力攻擊的最大毀傷價值，并得出對各目標(biāo)需要分配的彈藥種類及數(shù)量，進而給出編隊出動時的掛彈方案。通過應(yīng)用實例，證實了方法的有效性。同時，也分析了武裝直升機兩種典型對地攻擊武器適合攻擊的目標(biāo)，可以為武裝直升機編隊指揮員在進行毀傷評估分析、彈藥優(yōu)化使用等方面提供幫助。

［1］朱麗華，樊林，劉曉民，等.國外武裝直升機載武器裝備發(fā)展研究［R］.兵器領(lǐng)域高新工程專項情報保障，BQB2011-0659，北京：中國兵器工業(yè)集團第二一〇研究所，2010.

［2］鄒朝霞，張瑞昌，曹林平.武裝直升機火箭彈對地攻擊方式與散布的關(guān)系 ［J］.火力與指揮控制，2000，25（2）：33-36.

［3］金庭，陳璟.協(xié)同空對地攻擊中的目標(biāo)分配方法［J］.計算機仿真，2008，25（11）：40-43.

［4］賀小亮，畢義明.基于模擬退火遺傳算法的編隊對地攻擊火力分配建模與優(yōu)化［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2014，36（5）：900-904.

［5］張延良，陳立新.軍用直升機作戰(zhàn)效能評估與運籌分析方法［M］.北京：國防工業(yè)出版社，2014.

［6］司守奎，孫兆亮.數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用［M］.2版.北京：國防工業(yè)出版社，2016：11-17.

［7］謝金星，薛毅.優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2005：84.