王 杰

(武漢理工大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院，武漢 430070)

利用結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)來識別荷載是研究地震加速度的一種常用的反分析方法。對于一般的多層建筑，Toki K[1]提出了一種基于卡爾曼濾波理論識別地震波的方法，通過對三層框架的數(shù)值計(jì)算，根據(jù)三個樓層的動力響應(yīng)，結(jié)合卡爾曼濾波理論，識別出了各層的地震加速度。尚久銓[2]提出了三種基于卡爾曼濾波理論的地震波反演及參數(shù)識別的方法，分別是利用最小二乘獲得最優(yōu)解的卡爾曼濾波、利用最小方差準(zhǔn)則下的一系列線性濾波方法擴(kuò)展卡爾曼濾波、通過縮減狀態(tài)向量中的位移和速度的縮減變量卡爾曼濾波。李杰和陳雋[3]提出將地震作用的力學(xué)性質(zhì)經(jīng)過統(tǒng)計(jì)平均后作為估計(jì)的修正條件，解決了由于參數(shù)未知識別出各層地震波不等的問題，實(shí)現(xiàn)了地震波和結(jié)構(gòu)參數(shù)的復(fù)合反演。上述反分析方法都是建立在輸入完整的樓層響應(yīng)基礎(chǔ)上，而對于超高層建筑來說，一般很難得到全部的輸入信息，因此在不完整輸入下的反演成為了識別超高層建筑地震加速度的一類關(guān)鍵問題。對于輸入不完整的研究，李杰和陳雋[4]提出了一種基于統(tǒng)計(jì)平均和最小二乘法得到在部分輸入下子結(jié)構(gòu)地震加速度的方法。王曉燕[5]等人在李杰等人提出的統(tǒng)計(jì)平均基礎(chǔ)上，結(jié)合擴(kuò)展的卡爾曼濾波理論，利用部分樓層測量信息識別出了結(jié)構(gòu)參數(shù)以及未測量層的地震加速度。

該文基于卡爾曼濾波理論及統(tǒng)計(jì)平均方法提出一種超高層建筑地震加速度的反分析方法。并結(jié)合數(shù)值計(jì)算以及現(xiàn)場實(shí)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證該方法的準(zhǔn)確性和適用性。

1 地震加速度識別方法

n個自由度的結(jié)構(gòu)地震作用下動力微分方程

(1)

(2)

(3)

(4)

由于結(jié)構(gòu)的特征向量滿足正交條件，將振型矩陣Φn×n按質(zhì)量規(guī)準(zhǔn)化，得到

(5)

式中,Φi、ωi、mi、ki、ξi分別為第i階按質(zhì)量規(guī)準(zhǔn)化的振型向量、自振頻率、模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度、模態(tài)阻尼比。則式(1)可解耦為

(6)

將式(6)轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間形式：令

(7)

(8)

觀測值為加速度時

(9)

觀測值為速度時

(10)

觀測值為位移時

Zi(t)=h(Xi,fi)=Ui=HiXi(t)+εi

(11)

Zi(t)是對連續(xù)時間系統(tǒng)的觀測向量，εi為測量噪聲矩陣，系統(tǒng)矩陣Hi和Di的確定因觀測向量的類型而不同，其值如表1所示。

表1 系統(tǒng)矩陣

對方程(8)、(9)進(jìn)行離散化，時間步長取為Δt，同時考慮過程噪聲和觀測噪聲對系統(tǒng)方程的影響，則方程可改寫為

Xi(k+1)=ΨiXi(k)+Γifi(k)

(12)

Zi(k)=HiXi(k)+Difi(k)+εi(k)

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(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

Pi(k)=[I-Gi(k)Hi]Pi(k/(k-1))

(19)

式中,Gi(k)是卡爾曼濾波增益矩陣，Pi(k)是濾波誤差協(xié)方差矩陣，Ji(k)是基于基本的卡爾曼濾波推導(dǎo)過程中產(chǎn)生的系數(shù)矩陣。

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

因此、為了得到最優(yōu)的結(jié)果，選擇合適的樓層進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均，該文選取15th層到76th層的反演結(jié)果。式(23)給出了各層地震波的估計(jì)值，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均后的地震加速度如下

(25)

2 數(shù)值算例

2.1 工程簡介

該文根據(jù)臺北101大樓的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)圖建立了三維有限元數(shù)學(xué)模型，目的是通過構(gòu)造結(jié)構(gòu)模型得到結(jié)構(gòu)的參數(shù)。該模型采用了梁板建模方式，對結(jié)構(gòu)主體采用十二節(jié)點(diǎn)的空間梁單元和四節(jié)點(diǎn)彈性板單元，局部鋼支撐采用三維桿單元，對樓層集中質(zhì)量點(diǎn)則采用三維質(zhì)量單元進(jìn)行模擬。結(jié)構(gòu)阻尼矩陣采用瑞雷阻尼模型。由于大樓頂部裝有1個660 t大型TMD(調(diào)質(zhì)阻尼器)和2個小型TMD(塔尖部分)，因此將前兩階阻尼比均取為5%。

2.2 地震加速度反演

利用有限元模型，結(jié)合已知的地震波，根據(jù)結(jié)構(gòu)動力學(xué)的正分析方法，即可求得地震作用下結(jié)構(gòu)的位移、速度及加速度響應(yīng)，這些結(jié)果將作為地震波反演分析時的輸入響應(yīng)。其中，結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣通過有限元計(jì)算確定。根據(jù)高層結(jié)構(gòu)規(guī)范[7]，采用瑞雷阻尼模型，即可求得阻尼矩陣。論文研究的超高層建筑在EL-Centro波作用下以前9階模態(tài)為主。通過增加實(shí)測樓層的數(shù)目，使其大于或等于結(jié)構(gòu)的主要控制模態(tài)數(shù)，可以減少估計(jì)模態(tài)響應(yīng)與準(zhǔn)確模態(tài)響應(yīng)之間的誤差。因此，該文選取實(shí)測響應(yīng)的樓層數(shù)目為9個，選取20，30，39，53，60，69，78，89，101層為實(shí)測響應(yīng)樓層。

圖1為結(jié)構(gòu)X向反演EL-Centro波時程、功率譜和相關(guān)圖。由時程圖可知：反演地震波與準(zhǔn)確地震波吻合的非常好。尤其是經(jīng)過統(tǒng)計(jì)平均后的地震波，二者幾乎完全重合。由功率譜圖可知：加速度反演地震波的功率譜與準(zhǔn)確譜不管是高頻段還是低頻段，二者吻合得相當(dāng)好，且譜的變化趨勢也基本相同，反演結(jié)果相對可靠。位移反演地震波功率譜與準(zhǔn)確譜在低頻段和中高頻段吻合非常好，在較高頻段位移反演地震波的功率譜偏低，但譜的變化趨勢基本相同，反演結(jié)果比較可靠。由相關(guān)圖可知，準(zhǔn)確值與經(jīng)過統(tǒng)計(jì)平均后的反演值相關(guān)性極高，位移反演值和加速度反演值都超過了0.98。

表1 DKF反演EL-Centro波的根方差誤差

樓層準(zhǔn)確值/(m·s-2)位移反演反演值/(m·s-2)誤差/%加速度反演 反演值/(m·s-2)誤差/%100.0610.037-39.30.037 7-38.4200.0610.06811.90.069 714.2500.0610.065 87.90.067 911.2800.0610.835>1000.820>100900.0614.2>1004.24>100統(tǒng)計(jì)平均0.0610.057 7-5.30.058 6-3.8

由表1可知：輸入位移響應(yīng)的反演值和輸入加速度響應(yīng)的反演值與準(zhǔn)確值的根方差誤差在各代表層各不相同，且頂部代表層根方差誤差較大。但進(jìn)過統(tǒng)計(jì)平均后，輸入位移響應(yīng)的反演值根方差誤差為5.3%，輸入加速度響應(yīng)的反演值根方差誤差不到4%，反演結(jié)果相對準(zhǔn)確。

綜上所述，輸入位移響應(yīng)和輸入加速度響應(yīng)都能準(zhǔn)確的識別出地震加速度，輸入加速度反演的結(jié)果略優(yōu)于輸入位移反演的結(jié)果，統(tǒng)計(jì)平均法在一定程度上提高了反演精度。

3 結(jié) 語

該文基于卡爾曼濾波理論及統(tǒng)計(jì)平均法提出一種超高層建筑地震加速度反分析方法，該方法利用部分樓層的地震響應(yīng)實(shí)時識別地震加速度。利用臺北101大樓數(shù)值分析驗(yàn)證該方法的準(zhǔn)確性，利用部分樓層統(tǒng)計(jì)平均來提高反演精度。

[1] Toki K,Sato T,Kiyono J.Identification of Structural Parameters and input Ground Motion from Response Time Histories[J].Doboku Gakkai Ronbunshu,1989(410):243-251.

[2] 尚久銓.卡爾曼濾波法在結(jié)構(gòu)動態(tài)參數(shù)估計(jì)中的應(yīng)用[J].地震工程與工程振動,1991,11(2):62-72.

[3] 李 杰,陳 雋.未知輸入條件下的結(jié)構(gòu)物理參數(shù)識別研究[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào),1999,16(1):32-40.

[4] 李 杰,陳 雋.子結(jié)構(gòu)物理參數(shù)識別與輸入地震動的復(fù)合反演研究[J].振動與沖擊,1998(1):58-62.

[5] 王曉燕,黃維平,李華軍.地震動反演及結(jié)構(gòu)參數(shù)識別的EKF算法[J].工程力學(xué),2005,22(4):20-23.

[6] 付夢印,鄧志紅,張繼偉.Kalman 濾波理論及其在導(dǎo)航系統(tǒng)中的應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社,2003.

[7] 中華人民共和國住房和城鄉(xiāng)建設(shè)部.JGJ 3—2010.高層建筑混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程[S].北京：中國建筑工業(yè)出版，2010.