☉江蘇省南京航空航天大學附屬高級中學 吳如光

我們知道，熟知的函數、立幾、解幾等知識板塊經常會用到畫圖的方法.其實，“畫圖”還能用來處理和解決很多其他的數學問題，是一種很有價值的數學方法，但有時很多考生并未給予足夠的重視.本文通過實例，展示“畫圖”這個技能是如何處理與解決除函數、立幾、解幾等知識板塊外的其他各類高考數學問題，正確讓考生熟悉并掌握這個新技能，為高考加分！

一、畫圖解決集合問題

學好集合知識，必須充分理解和掌握好數學語言，特別是數形結合思想.會用簡約、準確的數學圖形語言（表格、韋恩圖、數軸等）來轉換相關的集合問題，是數學的基本能力之一，也是數形結合思想在集合解題中的充分體現.集合中常用的方法是數軸法和Venn圖法.

例1 （2016年蘇州一模）已知集合A＝{x|x＜-1或x≥1}，B＝{x|2a＜x＜a＋1，a＜1}，若B?A，則實數a的取值范圍為______.

分析：根據集合A、B之間的關系B?A，數形結合畫出相應的數軸.解此類題要注意是否包括端點臨界值.

解：因為a＜1，所以2a＜a＋1，所以B≠?，畫出數軸分析，如圖1所示.

圖1

由圖知要使B?A，需2a≥1或a＋1≤-1，即a≥或a≤-2.又因為a＜1，所以實數a的取值范圍是（-∞，-2］∪[，1）.

解題思想：集合問題大都比較抽象，解題時要盡可能借助Venn圖、數軸等工具，利用數形結合思想將抽象問題直觀化、形象化、明朗化，從而使問題獲解.

二、畫圖解決三角函數問題

對于一些含有三角函數背景的填空題，若能以函數作出圖像，以圖像結合性質，以性質反饋問題，則能有效地掌握技巧，快捷地處理相關的三角函數問題，得出正確的答案.數形結合思想體現在三角函數中是利用單位圓中的三角函數線、三角函數圖像求三角函數的定義域、解三角不等式、求單調區(qū)間、討論方程實根的個數、比較大小等問題的解決.

例2（2015年上海卷）已知函數f（x）=sinx，若存在x1，x2，…，xm滿足0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，且|f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f（xm-1）-f（xm）|=12（m≥2，m∈N*），則m的最小值為______.

分析：根據相應的三角函數問題加以轉化，通過數形結合，利用函數的圖像和已知條件加以直觀分析與處理.

解：對任意的xi，xj，|f（xi）-f（xj）|≤f（x）max-f（x）min=2，欲使m取得最小值，盡可能多地讓xi（i=1，2，…，m）取最值點，考慮到0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，|f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f（xm-1）-f（xm）|=12（m≥2，m∈N*），按照圖2所示的取值可以滿足條件，所以m的最小值為8.

圖2

解題思想：涉及三角函數的性質的問題，同時還涉及絕對值及其應用，解決問題的關鍵是通過數形結合思維，直觀來分析與處理，省去不必要的推理、分析及繁雜的運算，有效地解決了有關三角函數的性質問題.

三、畫圖解決平面向量問題

在平面向量中，平面向量的線性運算自身蘊含著豐富深刻的幾何背景，平面向量的坐標表示使平面向量問題代數化成為了可能.平面向量知識成為數形結合中重要的載體，是數形結合對應的高度統(tǒng)一的實例之一.

例3 （2015年北京卷理13）在△ABC中，點M，N滿則x=______，y=______.

分析：通過特殊化，并結合構造平面直角坐標系，作出圖像數形結合，利用向量的坐標運算來求解相應的參數值問題.

解：不妨設AC⊥AB，且AB=4，AC=3，以A為坐標原點，AB、AC所在直線分別為x軸、y軸建立直角坐標系A-xy，如圖3，則A（0，0），B（4，0），C（0，3），M（0，2），N（ 2，）.

圖3

解題思想：在解決平面向量問題中，通過巧妙構造坐標系，利用坐標法來求解相應的向量問題，也是高考中比較常見的一類技巧方法.巧妙通過坐標系的建立，把平面向量的線性運算問題轉化為坐標運算問題，數形結合，利用函數、三角函數或不等式來求解最值問題，思路清晰，解法巧妙.

四、畫圖解決算法問題

算法的程序框圖本身就是以流程圖來敘述數學問題，在解決此類問題時要熟練掌握程序框圖中所表示的意義，通過數形結合，利用函數、數列、不等式等相關知識來分析與處理.

例4（2014年四川卷）執(zhí)行如圖4所示的程序框圖，如果輸入的x，y∈R，那么輸出的S的最大值為（ ）.

A.0 B.1

C.2 D.3

分析：結合算法的程序框圖，其求解的是不等式組條件下S＝2x＋y的所有取值與1中的最大值，通過數形結合來分析與求解.

圖4

解：題中程序輸出的是在不等式組S＝2x＋y的最大值與1中較大的數，結合不等式組對應的可行域（如圖5所示），可知當x＝1，y＝0時，S＝2x＋y取得最大值2，而2＞1，故選C.

解題思想：此類問題往往綜合了算法初步知識，以數形結合的形式來展示函數中的分段函數問題，以及基本不等式的應用等，通過多個知識點的交匯與綜合來創(chuàng)新問題，達到考查能力與應用的目的.

圖5

五、畫圖解決概率問題

許多概率問題都可以通過畫樹形圖、建立直角坐標平面等，將數的問題轉化為形的問題，借助于形的優(yōu)勢，使問題得到解決.特別在幾何概型中，數形結合顯得尤為重要.

例5 （2016年全國卷Ⅰ理4）某公司的班車在7：30，8：00，8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是（ ）.

分析：根據題目條件，畫出時間軸，結合時間軸的長度加以數形結合，利用長度的計算來確定幾何概型問題.

解：如圖6所示，畫出時間軸.

圖6

小明到達的時間會隨機地落在圖中的線段AB上，而當他的到達時間落在線段AC或DB時，才能保證他等車的時間不超過10分鐘，根據幾何概型可得所求的概率

解題思想：涉及概率的求解問題，有時可以把古典概型、幾何概型的問題轉化為直觀圖形，通過數形結合來分析顯得更為直觀與快捷.特別地，解決以實際問題為背景的幾何概型時，往往先確定幾何概型中的類型，作出相應的圖像，并結合長度、區(qū)間、面積、體積等的計算來求解相應的概率.

六、畫圖解決不等式問題

在求解一些不等式問題時，特別是絕對值不等式問題，往往可以通過轉化，結合函數的圖像加以數形結合，可以直觀快捷地處理不等式的求解問題.

例6（2016年日照一模）已知不等式|x-2|+|x-5|＜a有解，則實數a的取值范圍為______.

分析：直接求解含有參數的絕對值不等式問題，比較難下手，通過引入函數，結合函數的圖像直觀分析，數形結合就比較簡單易操作.

解：設函數f（x）=|x-2|+|x-5|=a，在同一直角坐標系中畫出兩函數圖像（如圖7），函數f（x）的最小值為3，要使原不等式有解，必須且只須a＞3，故所求實數a的取值范圍為（3，+∞）.

解題思想：運用函數思想與數形結合思想解決不等式問題，而運用數形結合思想來處理不等式問題的關鍵是認識相關知識的本質與函數的關系，同時熟悉相應函數的性質，以及相應函數圖形的應用.

圖7

七、畫圖解決解三角形問題

對于解三角形的問題，往往要與直觀圖形加以數形結合，設法將已知與所求的邊角都湊到或轉移到一個三角形之中，才利于發(fā)現關系與找到求解的辦法.特別地，對于解三角形時所遇到的實際問題中求高的問題較多，且多數題都是需要通過利用一個斜三角形與一個直角三角形才可求出山高、塔高、煙囪高等.

例7 （2016年南通一模）在△ABC中，已知AB=4，AC=7，AD是BC邊上的中線，且AD=，試求邊BC的長.

分析：通過設元，數形結合，綜合利用△ABC與△ABD的公共角B，由余弦定理列出方程，從而得以求解相應的邊長.

解：設BD=x，則在△ABD中，由余弦定理，得

圖8

解題思想：在解決三角形的相應問題中，往往通過三角形直觀圖形加以數形結合，可以利用不同三角形中的公共元素，結合方程思想，往往可以收到意想不到的效果，方便快捷地處理相應問題.

八、畫圖解決邏輯問題

對于充要條件的判定，一判斷充分性，二判斷必要性，要明確題中哪個作條件，哪個作結論，若p?q，則p是q的充分條件，q是p的心要條件.特別地，當涉及集合關系、立體幾何等相關問題時，可以通過數形結合來直觀分析，快捷簡單.

例8（2016年溫州質量檢測）設集合A、B是全集U的兩個子集，則“A?B”是“UA∪B=U”的（ ）.

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

分析：如果直接根據兩個集合之間的關系加以判斷命題之間的對應邏輯關系，往往容易忽視相應集合的一些特殊問題，這也是很多學生容易犯錯誤的地方.而若結合圖形加以直觀分析，更加明了，更加易于掌握.

圖9

圖10

解：如圖9，當A?B時，UA∪B=U成立；如圖10，當A=B時，UA∪B=UB∪B=U也成立，即UA∪B=U成立時，可得A?B.

所以“A?B”是“UA∪B=U”的充分不必要條件，故選A.

解題思想：數形結合的思想是數學重要的思想方法之一，其具有直觀性、靈活性、深刻性，并有跨越各知識點的界線，有較強的綜合性.常用邏輯用語部分主要體現在判斷充要條件時可轉化為集合問題，利用數軸、圖形等進行數形結合分析求解.

巧妙運用“畫圖”這一數形結合的思想方法解決一些抽象的數學問題，可起到事半功倍的效果，數形結合的重點是研究“以形助數”.數形結合是根據數量與圖形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的一種重要思想方法，是中學數學中幾種重要的數學思想之一，尤其在解決選擇題、填空題時發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.F