《衛(wèi)星通信》教學(xué)中關(guān)于開(kāi)普勒三定律的探討

吳瓊 李正權(quán) 高美鳳 劉洋 張翠

摘 要：本文根據(jù)嫦娥一號(hào)衛(wèi)星圍繞月球運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)的計(jì)算結(jié)果和實(shí)際測(cè)量結(jié)果，驗(yàn)證了衛(wèi)星圍繞月球運(yùn)動(dòng)時(shí)不滿足開(kāi)普勒三定律，并分析了衛(wèi)星圍繞月球（和其他星球）運(yùn)轉(zhuǎn)不滿足開(kāi)普勒三定律的原因，由于開(kāi)普勒三定律由運(yùn)動(dòng)學(xué)理論和衛(wèi)星圍繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)所受地球萬(wàn)有引力推導(dǎo)而得。

關(guān)鍵詞：開(kāi)普勒三定律；運(yùn)動(dòng)學(xué)；萬(wàn)有引力定律；衛(wèi)星通信

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2018.10.221

在《衛(wèi)星通信》教科書(shū)中有以下定理，衛(wèi)星圍繞地球運(yùn)動(dòng)時(shí)由于受重力吸引而滿足開(kāi)普勒三定律[1][2][3][4]。本文首先敘述了開(kāi)普勒三定律，然后計(jì)算結(jié)果表明嫦娥一號(hào)衛(wèi)星圍繞月球運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)不滿足開(kāi)普勒三定律，并根據(jù)萬(wàn)有引力定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)理論分析了原因。

1 開(kāi)普勒三定律

第一定律：衛(wèi)星沿著以地心為一焦點(diǎn)的圓錐曲線的軌道運(yùn)動(dòng)。該軌道的平面極坐標(biāo)表達(dá)式為：

公式（1）中e為偏心率，p為半焦弦，它們均由衛(wèi)星進(jìn)入軌道時(shí)的初始狀態(tài)所決定，e滿足，這時(shí)軌道一般為橢圓形軌道（僅當(dāng)e=0時(shí)為圓形）[1][2][3][4]。

第二定律：衛(wèi)星的位置矢量在單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積一定。也就是說(shuō)，r繞地心轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)所掃過(guò)的面積A對(duì)時(shí)間的變化率保持為常數(shù)，即：

從公式（2）可以看出：r較小時(shí)，衛(wèi)星繞地心飛行的角速度就較高；r較大時(shí)則反之。如衛(wèi)星作等速飛行，則r不變，軌道為圓形[1][2][3][4]。

第三定律：衛(wèi)星運(yùn)轉(zhuǎn)的周期T與軌道的半長(zhǎng)軸a的3/2次方成正比[1][2][3][4]，即：

2 例題解析

例1. 嫦娥一號(hào)衛(wèi)星距月面高度約200km、周期為 127min的圓軌道上運(yùn)行，速度為每秒1.59km。嫦娥一號(hào)衛(wèi)星重量m=2350kg， 月球半徑R=1738km，月球質(zhì)量為M=7.35×1022kg。試驗(yàn)驗(yàn)證衛(wèi)星的運(yùn)行是否滿足開(kāi)普勒三定律，開(kāi)普勒常數(shù)=398613.52km2/s2。

很顯然公式（4）和（5）得到的計(jì)算結(jié)果與地面測(cè)控系統(tǒng)所測(cè)周期為 127min，速度為1.59km/s不相符，故不滿足開(kāi)普勒三定律。

3 原因分析

從上面例1可以看出，當(dāng)衛(wèi)星圍繞月球（或其他星球）時(shí)，不再滿足開(kāi)普勒三定律。下面根據(jù)萬(wàn)有引力定律對(duì)這種現(xiàn)象做出分析。假設(shè)嫦娥一號(hào)衛(wèi)星距離地球表面和距離月球表面高度都為200km的圓軌道上運(yùn)行，根據(jù)萬(wàn)有引力定律有：

根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)理論，由向心力公式F=mv2/R可知，衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)速度與引力和半徑成正比，當(dāng)引力和半徑越大，則速度越大。很顯然上面兩式中F1>F2，h+RE>h+R1，換句話說(shuō)衛(wèi)星在離地面和月面高度相同的圓軌道上運(yùn)行時(shí)，地球?qū)πl(wèi)星的引力要大于月球?qū)πl(wèi)星的引力。而衛(wèi)星距地心的距離要大于衛(wèi)星距月心的距離，所以這種情況下衛(wèi)星圍繞地球的運(yùn)轉(zhuǎn)速度要大于圍繞月球的運(yùn)轉(zhuǎn)速度。由于開(kāi)普勒三定律是由運(yùn)動(dòng)學(xué)理論和衛(wèi)星圍繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)所受地球萬(wàn)有引力推導(dǎo)而得，所以開(kāi)普勒三定律只適用于圍繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的衛(wèi)星，不適用于圍繞月球（和其他星球）的衛(wèi)星，要加上適當(dāng)?shù)男拚禂?shù)才能適用。

4 結(jié)束語(yǔ)

在《衛(wèi)星通信》教學(xué)中，衛(wèi)星圍繞地球運(yùn)動(dòng)時(shí)由于受重力吸引而滿足開(kāi)普勒三定律，而衛(wèi)星圍繞月球運(yùn)動(dòng)時(shí)不滿足開(kāi)普勒三定律。本文根據(jù)嫦娥一號(hào)衛(wèi)星圍繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)和圍繞月球運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)的計(jì)算結(jié)果和實(shí)際測(cè)量結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證，并分析了衛(wèi)星圍繞月球（和其他星球）運(yùn)轉(zhuǎn)是不滿足開(kāi)普勒三定律的原因。

參考文獻(xiàn)：

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[3]呂海寰，蔡劍銘，甘仲民，陳久治.衛(wèi)星通信系統(tǒng)[M].北京：人民郵電出版社，1993.

[4]Dennis Roddy.衛(wèi)星通信[M].Satellite Communications（第三版）（英文影印版），北京：清華大學(xué)出版社，2011.

作者簡(jiǎn)介：吳瓊（1986-），男，江蘇徐州人，博士，講師，研究方向：車(chē)載網(wǎng)絡(luò)。