半群Q(F，k)的極大正則子半帶

阮海燈，游泰杰，趙 平

(貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550001)

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)S是半群且a∈S.若a2=a，則稱a是冪等元；若存在b∈S，使a=aba，則稱a是正則元；若半群S的每個(gè)元是正則元，則稱半群S是正則半群.設(shè)A是半群S的非空子集，若S中的每個(gè)元都可以表示成A中有限個(gè)元的乘積，則稱A是S的生成集，記作S=〈A〉.若S由冪等元生成，則稱S為一個(gè)半帶.若半帶S是正則半群，則稱S為正則半帶.

設(shè)S是正則半帶.T是S的正則子半帶(T?S)，且對(duì)S的任意正則子半帶U，T?U?U=S，則稱T為S的極大正則子半帶.

設(shè)T(X)是X上的全變換半群且Y是X的非空子集.令T(X，Y)={α∈T(X)|Xα?Y}，則T(X，Y)是T(X)的子半群.1975年，Symon[1]研究了半群T(X，Y)的自同構(gòu).2009年，Sanwong和Sommane[2]證明了F(X，Y)={α∈T(X)|Xα?Yα?Y}是T(X，Y)的最大正則子半群，并且確定了T(X，Y)中的格林關(guān)系.2009年，Sanwong等[3]刻畫(huà)了T(X，Y)中的極大、極小同余.2011年，Sanwong[4]研究了F(X，Y)的格林關(guān)系，并且得到了F(X，Y)的極大正則子半群的完全分類.文獻(xiàn)[4]指出，對(duì)任意α，β∈F(X，Y)，

αLβ?im(α)=im(β)，

αRβ?ker(α)=ker(β)，

αJβ?|im(α)|=|im(β)|.

對(duì)任意α∈Q(F，1)，則顯然Q(F，1){α}是Q(F，1)的極大正則子半帶.當(dāng)|Y|=n且2≤k≤n-1時(shí)，本文考慮半群Q(F，k)的極大正則子半帶，得到了它的極大正則子半帶的完全分類.

關(guān)于F(X，Y)還有以下基本事實(shí)：F(X，Y)的理想構(gòu)成一個(gè)鏈，即

Q(F，1)?Q(F，2)?…?Q(F，n-1)?Q(F，n)=F(X，Y).

F(X，Y)的每一個(gè)主因子是一個(gè)Rees商半群Q(F，k)Q(F，k-1)，記為Pk.為方便起見(jiàn)，可將Pk視為J(F，k)∪{0}，即Pk=J(F，k)∪{0}，其乘法定義為

Pk對(duì)上述乘法做成一個(gè)完全0-單半群.

設(shè)U是半群S的任意子集，通常用E(U)表示U中的冪等元之集；對(duì)任意x∈S，用V(x)表示x在S中的所有逆元之集；Rx，Lx，Hx是分別表示x所在R-類，L-類，H-類.

設(shè)S是半群.為方便起見(jiàn)，本文用LS，RS，JS，DS分別表示S上的格林L，R，J，D關(guān)系.

關(guān)于完全0-單半群，有下述兩個(gè)事實(shí)：

引理1[6]設(shè)x，y是完全0-單半群中兩個(gè)非零元，則xy≠0，當(dāng)且僅當(dāng)Lx∩Ry中含有冪等元.此時(shí)xy∈Ly∩Rx.

引理2[6]設(shè)S是一個(gè)完全0-單半群，x，y是完全0-單半群中兩個(gè)非零元，則：

設(shè)T(Y)是Y上的全變換半群.令SingY={α∈T(Y)||im(α)|≤n-1}，其中|Y|=n，則由Howie[7]的結(jié)果可知SingY中的格林關(guān)系有如下刻畫(huà)：對(duì)任意α，β∈SingY，有

αLSingYβ?im(α)=im(β)，

αRSingYβ?ker(α)=ker(β)，

αJSingYβ?|im(α)|=|im(β)|.

2 主要結(jié)果及證明

對(duì)任意α∈F(X，Y)，易驗(yàn)證α有如下表示法(稱為α的標(biāo)準(zhǔn)表示)：

其中{a1，a2，…，ak}?Y，Aj∩Y≠?，1≤j≤k.

引理3設(shè)2≤k≤n-1，α∈J(F，k)，則|E(Rα)|≥2且|E(Lα)|≥2.

顯然ε，η∈E(Rα)，因此|E(Rα)|≥2.設(shè)C=X{b2，…，bk}且D=X{b1，b2，…，bk-1}，令

顯然δ，γ∈E(Lα)，因此|E(Lα)|≥2.

引理4設(shè)2≤k≤n-1，α∈J(F，k)，則存在α1，α2∈V(α)∩J(F，k)，使得(α1，α2)?R且(α1，α2)?L.

證明由引理3可知|E(Rα)|≥2，|E(Lα)|≥2.任意取ε1，ε2∈E(Rα)，η1，η2∈E(Lα)，ε1≠ε2，η1≠η2，則(ε1，ε2)?L且(η1，η2)?R(否則，ε1，ε2∈Hα或η1，η2∈Hα，與每一個(gè)H-類至多有一個(gè)冪等元矛盾).由εiRαLηi(i=1，2)及Miller-Clifford定理，Lε1∩Rη1和Lε2∩Rη2包含α的逆元，不妨分別設(shè)為α1和α2，于是αiLεi，αiRηi(i=1，2)，從而(α1，α2)?L且(α1，α2)?R.此外，由αiLεiRα可知αiJα，于是|im(αi)|=|im(α)|=k，從而αi∈J(F，k).

引理5設(shè)2≤k≤n-1，α∈J(F，k)，則J(F，k)Rα?〈E(J(F，k)Rα)〉.

令α*=α|Y，β*=β|Y，則

下面分兩種情形來(lái)討論.

引理6設(shè)2≤k≤n-2，β∈J(F，k)，則J(F，k)Lβ?〈E(J(F，k)Lβ)〉.

證明利用文獻(xiàn)[8]的結(jié)果，類似引理5的證明可得結(jié)論.

引理7設(shè)2≤k≤n-1，則Q(F，k)=〈E(J(F，k))〉且Q(F，k)是正則的.

證明見(jiàn)文獻(xiàn)[5]中引理3.5與4.2以及文獻(xiàn)[4]中引理7.

引理8設(shè)2≤k≤n-1，α∈J(F，k)，則M(α)=Q(F，k-1)∪(J(F，k)Rα)是Q(F，k)的極大正則子半帶.

證明由Q(F，k-1)是Q(F，k)的理想可知要證M(α)是半群，只需證明對(duì)任意β，γ∈J(F，k)Rα，有βγ∈M(α).顯然βγ∈Q(F，k-1)或βγ∈J(F，k).若βγ∈J(F，k)，則根據(jù)引理1可知βγ∈Lγ∩Rβ，于是βγ∈Rβ≠Rα，從而βγ∈J(F，k)Rα.因此M(α)是Q(F，k)的子半群.

由引理7可知Q(F，k-1)是正則的.對(duì)任意β∈J(F，k)Rα，由引理4，存在β1，β2∈V(β)∩J(F，k)，使得(β1，β2)?R，于是β1，β2中必有一個(gè)屬于J(F，k)Rα，即J(F，k)Rα中必存在β的逆元，從而β是正則的，進(jìn)而M(α)是正則半群.再由引理5與引理7可得M(α)是冪等元生成的，因此M(α)是正則半帶.

假設(shè)S是Q(F，k)的正則子半帶，使得M(α)?S.任取β∈SM(α)，則β∈Rα.由引理3知|E(Lβ)|≥2，不妨設(shè)ε，η∈E(Lβ)且ε≠η，則ε，η中必有一個(gè)不屬于Rα(否則，ε，η∈Hα，與每一個(gè)H-類至多有一個(gè)冪等元矛盾).不妨設(shè)ε?Rα，于是Rε?J(F，k)Rα?M(α)?S，進(jìn)而由引理2可得Rα=Rβ=βRε?S.從而S=Q(F，k)，M(α)是Q(F，k)的極大正則子半帶.

引理9設(shè)2≤k≤n-2，β∈J(F，k)，則N(β)=Q(F，k-1)∪(J(F，k)Lβ)是Q(F，k)的極大正則子半帶.

證明利用引理6，類似引理8的證明，可得結(jié)論.

對(duì)任意a∈Y，定義Sa={α∈J(F，n-1)|aα=a}，Aa=Q(F，n-2)∪Sa.

引理10設(shè)a∈Y，Na={α∈J(F，n-1)|im(α)=Y{a}}，則Aa=Q(F，n-2)∪〈E(J(F，n-1)Na)〉.

易驗(yàn)證E(J(F，n-1)Na)?Sa，于是〈E(J(F，n-1)Na)〉?〈Sa〉，從而Q(F，n-2)∪〈E(J(F，n-1)Na)〉?Q(F，n-2)∪〈Sa〉=Q(F，n-2)∪Sa=Aa.因此Aa=Q(F，n-2)∪〈E(J(F，n-1)Na)〉.

引理11設(shè)a∈Y，則Aa是Q(F，n-1)的極大正則子半帶.

證明首先證明Aa是Q(F，n-1)的子半群.只需證明對(duì)任意α，β∈Sa且αβ∈J(F，n-1)，αβ∈Sa.由α，β∈Sa可知a(αβ)=(aα)β=aβ=a，從而αβ∈Sa.因此Aa是Q(F，n-1)的子半群.

最后，證明Aa是Q(F，n-1)的極大正則子半帶.假設(shè)S是Q(F，n-1)的正則子半帶，滿足Aa?S=〈E(S)〉?Q(F，n-1)=〈E(J(F，n-1))〉，由引理10知Aa=Q(F，n-2)∪〈E(J(F，n-1)Na)〉，從而E(Na)∩E(S)≠?.不妨設(shè)ε∈E(Na)∩E(S)，注意到Na是J(F，n-1)的一個(gè)L-類，任取η∈E(Na)∩E(S)，則由引理3可得存在γ∈E(Rε)且γ?Na(γ∈Aa?S)，于是由η∈E(Lε∩Rγ)及引理1可知εη∈Rε∩Lγ∩S.注意到ε，η∈E(S)且εRεγLγ，再由Miller-Clifford定理可得存在δ∈V(εη)∩S，使得δ∈Lε∩Rη=Lη∩Rη=Hη，于是δ是群Hη中的元，從而存在m∈N，使得η=δm∈S，故η∈E(S).由η的任意性可知E(Na)?E(S)，于是E(J(F，n-1))?E(S)，再由引理7可得S=Q(F，n-1).

定理1設(shè)2≤k≤n-2，則半群Q(F，k)的極大正則子半帶有且僅有如下兩類：

(ⅰ)M(α)=Q(F，k-1)∪(J(F，k)Rα)，α∈J(F，k)；

(ⅱ)N(β)=Q(F，k-1)∪(J(F，k)Lβ)，β∈J(F，k).

證明由引理8—9可知M(α)，N(β)是Q(F，k)的極大正則子半帶.

假設(shè)T是Q(F，k)的極大正則子半帶，但不是定理1中的形式，則對(duì)任意α∈J(F，k)，有E(T)∩E(Rα)≠?且E(T)∩E(Lα)≠?.否則，存在α∈J(F，k)，使得E(T)∩E(Rα)=?或E(T)∩E(Lα)=?，于是E(Rα)?E(J(F，k)T)或E(Lα)?E(J(F，k)T)，從而E(T)?M(α)?Q(F，k)或E(T)?N(α)?Q(F，k)，進(jìn)而T=〈E(T)〉?M(α)?Q(F，k)或T=〈E(T)〉?N(α)?Q(F，k).由T是Q(F，k)的極大子半帶可得T=M(α)或T=N(α)，矛盾.

下面證明E(J(F，k))?E(T).假設(shè)E(J(F，k))E(T)≠?，任取ε∈E(J(F，k))E(T)?J(F，k)，則E(T)∩E(Lε)≠?，E(T)∩E(Rε)≠?.取η∈E(T)∩E(Lε)，γ∈E(T)∩E(Rε)，由引理1可得ηγ∈Rη∩Lγ∩T.再由Miller-Clifford定理可知存在δ∈V(ηγ)∩T，使得δ∈Lη∩Rγ=Rε∩Lε=Hε，進(jìn)而δ是群Hε中的元.故存在m∈N，使得ε=δm∈T，這與ε∈E(J(F，k))E(T)矛盾，從而E(J(F，k))?E(T).再由引理7可得Q(F，k)=〈E(J(F，k))〉?〈E(T)〉=T，這與T是Q(F，k)的極大子半帶矛盾.

定理2半群Q(F，n-1)的極大正則子半帶有且僅有如下兩類：

(ⅰ)Aa=Q(F，n-2)∪Sa，a∈Y；

(ⅱ)B(α)=Q(F，n-2)∪(J(F，n-1)Rα)，α∈J(F，n-1).

證明由引理8，11可知Aa，B(α)是Q(F，n-1)的極大正則子半帶.

由引理10可知Aa=Q(F，n-2)∪〈E(J(F，n-1)Na)〉.注意到{Na|a∈Y}是J(F，n-1)所有L-類構(gòu)成的集合.假設(shè)T是Q(F，n-1)的極大正則子半帶，但不是定理2中的形式，則對(duì)任意α∈J(F，n-1)，a∈Y，有E(T)∩E(Na)≠?且E(T)∩E(Rα)≠?.否則，存在α∈J(F，n-1)，使得E(T)∩E(Rα)=?或存在a∈Y，使得E(T)∩E(Na)=?，于是E(T)?B(α)或E(T)?Aa，從而T=〈E(T)〉?B(α) 或T=〈E(T)〉?Aa.再由T是Q(F，n-1)的極大子半帶可得T=B(α)或T=Aa，矛盾.

注意到{Na|a∈Y}是J(F，n-1)所有L-類構(gòu)成的集合.類似定理1的證明可得E(J(F，n-1))?E(T)，從而由引理7可得Q(F，n-1)=〈E(J(F，n-1))〉?〈E(T)〉=T，這與T是Q(F，n-1)的極大子半帶矛盾.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] SYMON J S V.Some results concerning a transformation semigroup[J].J Aust Math Soc，1975，19A(4)：413-425.

[2] SANWONG J，SOMMANEE W.Regularity and Green’s relations on a semigroup of transformations with restricted range[J/OL].Int J Math Sci，2008[2016-11-24].doi：10.1155/2008/794013.

[3] SANWONG J，SINGHA B，SULLIVAN R P.Maximal and minimal congruences on some semigroup[J].Acta Math Sin，2009，25(3)：455-466.

[4] SANWONG J.The regular part of a a semigroup of transformations with restricted range[J].Semigroup Forum，2011，83(1)：134-146.

[5] SANWONG J，SOMMANEE W.Rank and idempotent rank of finite full transformations semigroup with restricted range[J].Semigroup Forum，2013[2016-11-24].doi：10.1007/s00233-013-9467-x.

[6] HOWIE J M.Fundamentals of semigroup theory[M].Oxford：Oxford Press，1995：1-154.

[7] HOWIE J M.The subsemigroup generated by the idempotents of a full transformation semigroup[J].J London Math Soc，1966，41：707-716.

[8] ZHAO PING，HU H B，YOU T J.A note on maximal regular subsemigroups of the finite transformation semigroupsT(n，r)[J].Semigroup Forum，2014，88：324-332.

[9] YANG XIULIANG，YANG H.Maximal regular subsemibands of singn[J].Semigroup Forum，2006，72：75-93.