周 鑫，湯建鋼

(伊犁師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆 伊寧 835000)

0 引言

1963年，Gerstenhaber[1]在研究結(jié)合代數(shù)的形變和上同調(diào)理論時(shí)提出了預(yù)李代數(shù)的概念.所謂預(yù)李代數(shù)是指域F上的一個(gè)線性空間A及A上的一個(gè)雙線性的映射

(x，y)→xy，?x，y∈A，

滿足

(xy)z-x(yz)=(yx)z-y(xz)，?x，y，z∈A.

預(yù)李代數(shù)也稱為左對稱代數(shù)[2]、Vinberg代數(shù)[2]、Koszul代數(shù)[3]、擬結(jié)合代數(shù)[4]，它與李群、李代數(shù)和Yang-Baxter方程等有密切的關(guān)系.

如果在預(yù)李代數(shù)A中定義擴(kuò)積

[x，y]=xy-yx，?x，y∈A，

則A構(gòu)成一個(gè)李代數(shù)，稱為A的鄰接李代數(shù).

Novikov代數(shù)[5]是指域F上的一個(gè)預(yù)代數(shù)A，滿足

(xy)z=(xz)y，?x，y，z∈A.

Novikov代數(shù)是一類重要的預(yù)李代數(shù)結(jié)構(gòu)，它與流體力學(xué)的密切關(guān)系逐漸成為研究的熱門.

1977年，Katsaras與Liu[6]給出了模糊向量空間的概念.1996年，Yehia[7-8]定義了模糊李子代數(shù)及其模糊理想，并討論了可解模糊理想和冪零模糊理想.本文在上述研究的基礎(chǔ)上，引入模糊預(yù)李子代數(shù)、模糊Novikov子代數(shù)和模糊鄰接李子代數(shù)的概念，討論了它們的一些性質(zhì)，分別對權(quán)為0和1的Rote-Baxter算子誘導(dǎo)出的預(yù)李代數(shù)、一類可以誘導(dǎo)出Burgers方程的預(yù)李代數(shù)與Gelfand[9]、Filipov[10]、徐曉平[11]給出的Novikov代數(shù)的模糊子代數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了探析，指出：可以誘導(dǎo)出Burgers方程的預(yù)李代數(shù)的模糊子代數(shù)不是模糊預(yù)李子代數(shù)，徐曉平給出的Novikov代數(shù)的模糊子代數(shù)不是模糊Novikov子代數(shù).最后給出了它們的模糊子代數(shù)可以構(gòu)成相應(yīng)模糊Novikov子代數(shù)結(jié)構(gòu)的條件.

1 預(yù)備知識

本文中L表示為域F上的一個(gè)李代數(shù)，I=[0，1].

定義1[6]域F上向量空間V的一個(gè)模糊子集μ稱為V的一個(gè)模糊子空間，如果其滿足：

(SV1)μ(x+y)≥μ(x)∧μ(y)；

(SV2)μ(kx)≥μ(x)；

(SV3)μ(0)=1(?k∈F，x，y∈A).

定義2[6]域F上代數(shù)A的一個(gè)模糊子集μ稱為A的一個(gè)模糊子代數(shù)，如果其滿足：

(SA1)μ是A的一個(gè)模糊子空間；

(SA2)μ(xy)≥μ(x)∧μ(y)(?x，y∈A).

定義3[7]域F上李代數(shù)L的一個(gè)模糊子集μ稱為L的一個(gè)模糊李子代數(shù)，如果其滿足：

(SL1)μ是A的一個(gè)模糊子空間；

(SL2)μ([x，y])≥μ(x)∧μ(y)，?x，y∈L.

命題1[6]設(shè)μ是域F上李代數(shù)L的一個(gè)模糊李子代數(shù)，則：

(1) 當(dāng)k≠0時(shí)，μ(ky)=μ(x)；

(2) 當(dāng)μ(x)≠μ(y)時(shí)，μ(x+y)≥μ(x)∧μ(y)；

(3)μ([x，y])=μ(-[y，x])=μ([y，x])，?k∈F，x，y∈L.

2 主要結(jié)果

首先給出模糊預(yù)李子代數(shù)、模糊Novikov子代數(shù)和模糊鄰接李子代數(shù)的概念.

定義5設(shè)μ是域F上預(yù)李代數(shù)A的一個(gè)模糊子集.如果μ是A的一個(gè)模糊子代數(shù)，則稱μ為A的一個(gè)模糊預(yù)李子代數(shù).

命題2設(shè)μ是域F上預(yù)李代數(shù)A的一個(gè)模糊預(yù)李子代數(shù)，(x，y，z)為A的一個(gè)結(jié)合子，則

μ((x，y，z))≥μ(x)∧μ(y)∧μ(z).

證明

μ((x，y，z))=μ((xy)z-x(yz))≥
μ((xy)z)∧μ(x(yz))≥μ(xy)∧μ(z)∧μ(x)∧μ(yz)≥
μ(x)∧μ(y)∧μ(z)∧μ(x)∧μ(y)∧μ(z)≥μ(x)∧μ(y)∧μ(z).

命題3設(shè)μ是域F上預(yù)李代數(shù)A的一個(gè)模糊預(yù)李子代數(shù).A中定義換位運(yùn)算[x，y]=xy-yx(?x，y∈A)使A構(gòu)成鄰接李代數(shù)，則μ是A的模糊李子代數(shù).此時(shí)μ稱為A的模糊鄰接李子代數(shù).

證明只需證定義3中的條件(SL2)即可.事實(shí)上，?x，y∈A，

μ([x，y])=μ(xy-yx)≥μ(xy)∧μ(yx)≥
μ(x)∧μ(y)∧μ(y)∧μ(x)=μ(x)∧μ(y).

定義6設(shè)μ是域F上Novikov代數(shù)A的一個(gè)模糊子集.如果μ是A的一個(gè)模糊子代數(shù)， 則稱μ為A的一個(gè)模糊Novikov子代數(shù).

注1設(shè)μ是域F上Novikov代數(shù)A的一個(gè)模糊Novikov子代數(shù)，一般并不能得到μ((xy)z)=μ((xz)y).

下面討論幾類常見預(yù)李代數(shù)、Novikov代數(shù)的模糊代數(shù)結(jié)構(gòu).

引理1[13]設(shè)(L，[，])是李代數(shù)，線性映射f：L→L是經(jīng)典Yang-Baxter算子，即滿足

[f(x)，f(y)]=f([f(x)，y]+[x，f(y)])，?x，y∈L.

定義

x°1y=[f(x)，y]，?x，y∈L，

則(L，°1)是預(yù)李代數(shù).

定理1設(shè)(L，°1)是引理1定義的預(yù)李代數(shù).若μ是(L，[，])的一個(gè)模糊李子代數(shù)，則μ是(L，°1)的一個(gè)模糊預(yù)李子代數(shù).

證明只需證定義2中的條件(SA2).

設(shè)f(x)=z，?x，y∈L，

μ(x°1y)=μ([f(x)，y])≥sup{μ(t)|t∈f-1(z)}∧μ(y)≥μ(x)∧μ(y).

結(jié)論得證.

引理2[14]設(shè)(A，·)是結(jié)合代數(shù)，線性映射f：A→A是權(quán)為0的Rota-Baxter算子，即滿足

f(x)·f(y)=f(f(x)·y+x·f(y))，?x，y∈A.

定義

x°2y=f(x)·y-y·f(x)，?x，y∈A，

則(A，°2)是預(yù)李代數(shù).

定理2設(shè)(A，°2)是引理2定義的預(yù)李代數(shù).若μ是(A，·)的一個(gè)模糊子代數(shù)，則μ是(A，°2)的一個(gè)模糊預(yù)李子代數(shù).

證明只需證定義2中的條件(SA2).

設(shè)f(x)=z，?x，y∈A，

μ(x°2y)=μ(f(x)·y-y·f(x))≥μ(f(x)·y)∧μ(y·f(x))≥
sup{μ(t)|t∈f-1(z)}∧μ(y)∧μ(y)∧sup{μ(t)|t∈f-1(z)}≥μ(x)∧μ(y).

結(jié)論得證.

引理3[14]設(shè)(A，·)是結(jié)合代數(shù)，線性映射f：A→A是權(quán)為1的Rota-Baxter算子，即滿足

f(x)·f(y)+f(x·y)=f(f(x)·y+x·f(y))，?x，y∈A.

定義

x°3y=f(x)·y-y·f(x)-x·y，?x，y∈A，

則(A，°2)是預(yù)李代數(shù).

定理3設(shè)(A，°3)是引理3定義的預(yù)李代數(shù).若μ是(A，·)的一個(gè)模糊子代數(shù)，則μ是(A，°3)的一個(gè)模糊預(yù)李子代數(shù).

證明只需證定義2中的條件(SA2).

設(shè)f(x)=z，?x，y∈A，

μ(x°3y)=μ(f(x)·y-y·f(x))≥μ(f(x)·y)∧μ(y·f(x))∧μ(x·y)≥
sup{μ(t)|t∈f-1(z)}∧μ(y)∧μ(y)∧sup{μ(t)|t∈f-1(z)}∧μ(x)∧μ(y)=μ(x)∧μ(y).

注2由Svinolupov等[15]給出的一類可以誘導(dǎo)出Burgers方程的預(yù)李代數(shù)，即設(shè)V是復(fù)數(shù)域C上的一個(gè)向量空間，內(nèi)積運(yùn)算〈，〉，a∈V，定義

x◇y=〈x，y〉a+〈x，a〉y，?x，y∈V，

則(V，◇)是預(yù)李代數(shù).若μ是V的一個(gè)模糊子空間，不能得到μ是(V，◇)的模糊預(yù)李子代數(shù).因?yàn)?/p>

μ(x◇y)=μ(〈x，y〉a+〈x，a〉y)≥μ(〈x，y〉a)∧μ(〈x，a〉y)≥μ(a)∧μ(y)，

此時(shí)不滿足定義5.

下面給出它可以構(gòu)成相應(yīng)模糊代數(shù)結(jié)構(gòu)的一個(gè)結(jié)論：

定理4設(shè)(V，◇)是注2中定義的預(yù)李代數(shù).若μ是V的一個(gè)模糊子空間且μ(a)=1，則μ是(V，◇)的模糊預(yù)李子代數(shù).

證明?x，y∈V，μ(x◇y)=μ(〈x，y〉a+〈x，a〉y)≥μ(〈x，y〉a)∧μ(〈x，a〉y)≥μ(a)∧μ(y)≥μ(x)∧μ(y).

注3若μ=1a，這里1x是指μ在x處的隸屬度為1，μ在其他元素的隸屬度為0.此時(shí)，作為定理4的特殊情況，對于Svinolupov等給出的相應(yīng)預(yù)李代數(shù)，若μ是V的一個(gè)模糊子空間，則μ是(V，◇)的一個(gè)模糊預(yù)李子代數(shù).

引理4[9，16]設(shè)(A，·)是域F上的交換結(jié)合代數(shù)，D是A上的導(dǎo)子，定義

x*1y=x·D(y)，?x，y∈A，

則(A，*1)是Novikov代數(shù).

定理5設(shè)(A，*1)是引理4定義的Novikov代數(shù).若μ是(A，·)的一個(gè)模糊子代數(shù)，則μ是(A，*1)的一個(gè)模糊Novikov子代數(shù).

證明只需證定義2中的(SA2).

設(shè)D(y)=z，?x，y∈A，

μ(x*1y)=μ(x·D(y))≥μ(x)∧sup{μ(t)|t∈D-1(z)}≥μ(x)∧y(y).

引理5[10，16]設(shè)(A，·)是域F上的交換結(jié)合代數(shù)，D是A上的導(dǎo)子，a∈F，定義

x*2y=x·D(y)+a·x·y，?x，y∈A，

則(A，*2)是Novikov代數(shù).

定理6設(shè)(A，*2)是引理5定義的Novikov代數(shù).若μ是(A，·)的一個(gè)模糊子代數(shù)，則μ是(A，*2)的一個(gè)模糊Novikov子代數(shù).

證明只需證定義2中的條件(SA2).

設(shè)D(y)=z，?x，y∈A，

μ(x*2y)=μ(x·D(y)+a·x·y)≥
μ(x)∧sup{u(t)|t∈D-1(z)}∧μ(x)∧μ(y)=μ(x)∧μ(y).

注4對于徐曉平[11]給出的相應(yīng)Novikov代數(shù)，即設(shè)(A，·)是域F上的交換結(jié)合代數(shù)，D是A上的導(dǎo)子，a∈A，定義

x*3y=x·D(y)+a·x·y，?x，y∈A，

則(A，*3)是Novikov代數(shù).

若μ是(A，·)的一個(gè)模糊子代數(shù)，不能得到μ是(A，*3)的一個(gè)模糊Novikov子代數(shù).因?yàn)?/p>

(x*3y)=μ(x·D(y)+a·x·y)≥
μ(x)∧sup{μ(t)|t∈D-1(z)}∧μ(a)∧μ(x)∧μ(y)=μ(a)∧μ(x)∧μ(y)，

此時(shí)不滿足定義6.

下面給出它可以構(gòu)成相應(yīng)模糊代數(shù)結(jié)構(gòu)的一個(gè)結(jié)論：

定理7設(shè)(A，*3)是注4中定義的Novikov代數(shù).若μ是(A，·)的一個(gè)模糊子代數(shù)且μ(a)=1，則μ是(A，*3)的一個(gè)模糊Novikov子代數(shù).

證明設(shè)D(y)=z，?x，y∈A，

μ(x*3y)=μ(x·D(y)+a·x·y)≥
μ(x)∧sup{μ(t)|t∈D-1(z)}∧μ(a)∧μ(x)∧μ(y)=
1∧μ(x)∧μ(y)=μ(x)∧μ(y).

注5若μ=1a，作為定理7的特殊情況，對于徐曉平給出的相應(yīng)Novikov代數(shù)，若μ是(A，·)的一個(gè)模糊子代數(shù)，則μ是(A，*3)的一個(gè)模糊Novikov子代數(shù).

定理8設(shè)(A，*3)是注4中定義的Novikov代數(shù).定義

[x，y]=D(x·y)-2y·D(x)，?x，y∈A，

則(A，[，])是(A，*3)的鄰接李代數(shù)，且：

(1) 若μ是(A，·)的一個(gè)模糊子代數(shù)且μ(a)=1，則μ是(A，[，])的一個(gè)模糊Novikov子代數(shù)；

(2) 若μ是(A，*3)的一個(gè)模糊Novikov子代數(shù)，則μ是(A，[，])的一個(gè)模糊Novikov子代數(shù).

證明首先由定理4知μ是(A，*3)的一個(gè)模糊李子代數(shù).

設(shè)D(xy)=u，D(x)=v，?x，y∈A，有

μ([x，y])≥sup{μ(s)|s∈D-1(u)}∧μ(y)∧
sup{μ(t)|t∈D-1(v)}≥μ(xy)∧μ(y)∧μ(x)≥
μ(x)∧μ(y)∧μ(y)∧μ(x)=μ(x)∧μ(y).

結(jié)論(2)由定義6和結(jié)論(1)的證明過程可得.

[參 考 文 獻(xiàn)]

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