對一個征解問題的辨析與思考

安徽省阜陽市第三中學 (236000) 毛曉娜

在文[1]中，給出了一道解析幾何題以及學生的一種解法，并詢問學生的解法對嗎？題目和解法如下：

筆者認為學生的解法是錯誤的，并且解法中出現(xiàn)的幾處錯誤還非常典型，下面筆者就學生解法的錯誤之處以及導致這種錯誤的原因談一下自己的思考，與同行們交流.

1.設(shè)點A坐標時可以加限制條件y1>0嗎?

片斷1：為了加強學生對雙曲線定義的理解，給出了下面一道試題：

圖1

|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|.

片刻以后，教師請一位同學回答

學生1：老師此題是錯的，我認為|AF2|+|BF2|<|AF1|+|BF1|.

教師：你能給出解釋嗎？

學生1：在直角坐標系內(nèi)作出圖形(如圖1)，通過圖形可以發(fā)現(xiàn)A,B,F1構(gòu)成三角形，利用三角形兩邊之和大于第三邊得到|AF2|+|BF2|<|AF1|+|BF1|.

學生產(chǎn)生錯誤的根本原因在于作圖的隨意性，并沒有將雙曲線漸近線的傾斜角與直線l的傾斜角進行大小比較，來判斷A,B兩點是在y軸同側(cè)還是兩側(cè).

片斷2：為了強調(diào)幾何法在處理解析幾何問題中的重要性，給出了下面一道試題：

已知拋物線的方程為x2=4y，焦點為E，直線l過點E與拋物線交于A,B兩點，使得|AE|=

教師通過巡查發(fā)現(xiàn)，部分學生采取的是代數(shù)法，也有一部分同學利用的是幾何法，所以特意選擇一位利用幾何法處理的學生回答.

圖2

學生2：如圖2，設(shè)|AE|=m，則|AA1|=m，|BE|=|BB1|=2m,于是|BC|=m，在直角三角形ABC中，利用勾股定理可得|AC|=

學生2的解法非常簡潔，充分體現(xiàn)了幾何法在解決解析幾何問題中的作用，但是顯然學生2漏掉斜率為負的情況，作為填空題，仍然不得分,在2012年高考數(shù)學新課標全國卷理科第20題中也是考查了這一點.

不妨先看看最值的定義，在人教A版教材中，“函數(shù)的最大值”的定義為(最小值的定義類似):

3.引發(fā)的思考

在處理數(shù)學問題時，經(jīng)常會出現(xiàn)多個字母參數(shù)，有的字母是常數(shù)，有的字母是變量，有的字母看似變量，其實是常數(shù)，由于對字母參數(shù)理解錯誤導致出現(xiàn)爭議或問題處理錯誤的情形經(jīng)常出現(xiàn)，下面以兩個案例加以說明.

案例1 我們都知道，所有偶數(shù)組成的集合可以表示為A={x|x=2n,n∈Z}，其中x為元素，n為參數(shù)，并且n每取一個整數(shù)得到集合中的一個元素，所以集合A表示無限集，在北師大版高中數(shù)學必修1第一章第一節(jié)習題B組給出下面一道題目：當a,b滿足什么條件時，集合B={x|ax+b=0}分別為有限集、無限集、空集？

案例2 筆者所在學校高三年級的一次檢測試卷中有下面一道試題：

已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)-x.

(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

閱卷后發(fā)現(xiàn)部分學生的解法如下：

此解法認為字母參數(shù)a和x是兩個沒有依賴關(guān)系的變量，所以可以先選定a為主元，再令x為主元進行處理，那么學生的解法是否正確呢？

記φ(x)=x2+2x+2-2ex，x∈(0,+∞)，則φ′(x)=2(x+1-ex)，因為ex>x+1，所以φ′(x)<0，即φ(x)在x∈(0,+∞)單調(diào)遞減，φ(x)<φ(0)=0，于是g′(x)<0，則g(x)是在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減的連續(xù)函數(shù),且g(x)>0.

通過案例2的分析，給一類常見問題的解法提出了質(zhì)疑，問題如下：

“y=f(x)與y=g(x)的定義域分別為I和D，對于任意x1∈I，總存在x2∈D，使f(x1)f(x)max，如果函數(shù)y=f(x)與y=g(x)都有最大值，這種解法固然沒有問題，但是還應(yīng)該有以下幾種情況：

(1)如果y=f(x)的值域有上界，y=g(x)的值域無上界，一定滿足要求;

(2)如果y=f(x)的值域無上界，y=g(x)的值域無上界，也滿足要求;

由上面兩個案例不難發(fā)現(xiàn)，無論是對題意的理解上，還是問題的解決上，弄清字母參數(shù)的真實含義是非常重要的，字母之間是相互獨立還是存在依賴關(guān)系？哪些字母是變量？哪些字母是常數(shù)？這是解決問題之前必須認真思考的.

教學的主體是學生，明確學生所需與所惑是提高教學有效性的基本途徑，學生的困惑是什么，導致困惑的原因是什么，如何解決困惑是進行教學之前必須解決的三個問題，在教學中對學生可能會產(chǎn)生的錯誤要做到有的放矢，敢于讓學生犯錯，在犯錯中糾錯，從而培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，真正意義上的實現(xiàn)新課程標準提出的高中數(shù)學課程總目標.

[1]王申旺.問題243[J].數(shù)學通訊(下半月)，2016(2)：37.

[2]耿合眾.有限集還是無限集-兼談字母參數(shù)的表達理解[J].中小學數(shù)學,2016(1-2):122-123.

[3]歐陽光中，朱學炎，金福臨，陳傳璋.數(shù)學分析(第三版)上冊[M].北京：高等教育出版社，2007.