馬爾科夫鏈優(yōu)化Richards曲線的沉降預(yù)測(cè)模型

趙亞紅，賀黎明，王金星，郝延錦，牛芩濤(. 華北科技學(xué)院建筑工程學(xué)院，北京 060； . 東北大學(xué)測(cè)繪遙感與數(shù)字礦山研究所，遼寧 沈陽(yáng) 089； . 北京帝測(cè)科技股份有限公司，北京 000)

國(guó)家經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展帶動(dòng)各種建筑工程不斷涌現(xiàn)，而建筑物的安全問題不容忽視。沉降監(jiān)測(cè)是衡量建筑物安全與否的一項(xiàng)重要工作。監(jiān)測(cè)分析的最終目的是對(duì)建筑物進(jìn)行移動(dòng)變形預(yù)測(cè)，為防災(zāi)減災(zāi)及工程設(shè)計(jì)提供參考依據(jù)。沉降預(yù)測(cè)主要是根據(jù)一部分實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，選擇合適的模型，進(jìn)行模型參數(shù)求解，從而進(jìn)行沉降預(yù)測(cè)。其沉降趨勢(shì)根據(jù)建筑施工過程經(jīng)歷慢速增長(zhǎng)、快速增長(zhǎng)再慢速增長(zhǎng)直至趨于穩(wěn)定的過程，沉降曲線呈S形?？梢悦枋鲞@種曲線的模型有多種，如泊松曲線、Gompertz曲線、Logistic、Richards曲線等。每種單一模型都具有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，如泊松曲線要求等時(shí)間間隔沉降序列；Gompertz、Logistic模型只能用來描述S曲線的某一特定部分，不能完整模擬建筑物沉降的全過程；Richards模型屬于生長(zhǎng)曲線模型，在某種特定情況下不僅包含了Gompertz、Logistic模型，且不需要序列為等時(shí)間間隔序列，對(duì)S曲線的描述能力很強(qiáng)，其準(zhǔn)確性達(dá)到了很高水平[1-2]，因此被廣泛應(yīng)用。但是每個(gè)工程地質(zhì)與施工荷載情況不同，其建筑物沉降趨勢(shì)也不盡相同，單一方法不能很準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)其沉降趨勢(shì)，因此將多種方法組合進(jìn)行沉降預(yù)測(cè)應(yīng)運(yùn)而生。龍四春等利用平移反冪法的特征值求權(quán)，進(jìn)而對(duì)Logistic與Richards模型進(jìn)行加權(quán)組合[3]，通過實(shí)例驗(yàn)證了加權(quán)組合模型的優(yōu)越性；任云志等利用BP修正Richards模型預(yù)測(cè)殘差[4]，從而提高了預(yù)測(cè)精度；胡曉陽(yáng)等將Logistic及Verhulst進(jìn)行最優(yōu)加權(quán)組合預(yù)測(cè)[5]；劉光秀等將灰色Gompertz進(jìn)行最優(yōu)加權(quán)組合預(yù)測(cè)[6]等。通過多種方法組合可以充分利用原始序列中的有用信息，單一模型的優(yōu)勢(shì)得到互補(bǔ)，從而能更好地預(yù)測(cè)建筑物沉降的發(fā)展趨勢(shì)。由于建筑物沉降受到多方面因素的影響，其變形機(jī)理復(fù)雜且具有一定的隨機(jī)性，而馬爾科夫理論研究對(duì)象為隨機(jī)性動(dòng)態(tài)變化過程[7-9]，可以通過其概率轉(zhuǎn)移矩陣反映數(shù)據(jù)序列隨機(jī)波動(dòng)情況，因此可以用來研究建筑物沉降趨勢(shì)。本文在Richards生長(zhǎng)曲線模型及馬爾科夫理論基礎(chǔ)上，建立馬爾科夫鏈修正Richards曲線的沉降預(yù)測(cè)模型，并結(jié)合安陽(yáng)市某高層建筑物沉降變形的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，對(duì)馬爾科夫鏈優(yōu)化后的Richards模型進(jìn)行驗(yàn)證和分析。

1 馬爾科夫鏈優(yōu)化Richards曲線建模原理

1.1 Richards曲線模型

Richards增長(zhǎng)模型是描述生物經(jīng)歷慢速增長(zhǎng)、快速增長(zhǎng)、減速增長(zhǎng)直至趨于穩(wěn)定的生長(zhǎng)規(guī)律，其曲線呈S形，這也與建筑物沉降變形的時(shí)間-沉降量曲線一致，因此被廣泛應(yīng)用于地基沉降及巖土力學(xué)[10]。其函數(shù)模型為

S(t)=S0(1-αe-βt)1/1-γ

(1)

式中，S(t)為地基t時(shí)刻的沉降量；S0為地基沉降量的極限值；α為地基形變初始值參數(shù)；β為地基形變的增長(zhǎng)速度參數(shù)；γ為地基變形曲線形狀參數(shù)。其中S0、α、β、γ為模型的4個(gè)未知參數(shù)。當(dāng)γ→1，式(1)變換為Gompertz模型；當(dāng)γ=2時(shí)，式(1)變換為L(zhǎng)ogistic模型。由此可以看出Richards模型包含了地基沉降預(yù)測(cè)中常用的Gompertz及Logistic模型。

該模型方程為非線性方程，參數(shù)的解法有四點(diǎn)法、三段法[11]、差分最小二乘[12]、遺傳算法[13]、粒子群算法[14]等。四點(diǎn)法、三段法需要對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行等分，在較短的時(shí)間序列不適用，差分最小二乘需要對(duì)后一項(xiàng)與前一項(xiàng)求差再取對(duì)數(shù)，這就要求沉降序列是單調(diào)遞增序列，然而實(shí)際中沉降序列由于各種原因，可能出現(xiàn)波動(dòng)或“跳變”，這種情況以上 3種算法均不適用。遺傳算法、粒子群算法在非線性模型參數(shù)最優(yōu)解中能取得較理想的效果[14-15]，但是算法較為煩瑣，需要有一定的編程基礎(chǔ)。而Matlab平臺(tái)中自帶的函數(shù)fminsearch可以解決無(wú)約束非線性最優(yōu)解問題。因此本文利用fminsearch函數(shù)，以擬合值與實(shí)測(cè)值誤差平差和最小為原則，求解該模型的4個(gè)參數(shù)，方法簡(jiǎn)單，操作方便。

1.2 馬爾科夫鏈優(yōu)化Richards建模預(yù)測(cè)

馬爾科夫理論描述的是一個(gè)隨機(jī)的動(dòng)態(tài)變化過程，可以把實(shí)測(cè)沉降量序列當(dāng)作隨機(jī)過程，通過研究沉降量的初始概率及轉(zhuǎn)移概率矩陣，來預(yù)測(cè)未來沉降量的所處狀態(tài)，并且未來的狀態(tài)獨(dú)立于以前的狀態(tài)，僅依賴于當(dāng)前的狀態(tài)。通過馬爾科夫鏈修正Richards預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)殘差，二者優(yōu)勢(shì)得到互補(bǔ)。其步驟如下：

首先，依據(jù)實(shí)際情況計(jì)算Richards模型擬合值與實(shí)際沉降觀測(cè)值之間的殘差，按式(2)計(jì)算相對(duì)誤差ξ(t)，并對(duì)相對(duì)誤差進(jìn)行歸類，劃定馬爾科夫鏈狀態(tài)區(qū)間。

(2)

式(3)表示第t時(shí)刻的擬合相對(duì)誤差ξ(t)處于第i種狀態(tài)Ei，狀態(tài)Ei的上下界分別由a1i和a2i表示。因此，總的狀態(tài)集合表示為E=(E1,E2,…,Es)。

ξ(t)∈[a1i,a2i] (i=1,2,3,…,s)

(3)

其次，計(jì)算一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P

(4)

設(shè)當(dāng)前預(yù)測(cè)值的初始狀態(tài)向量為ε0，由狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣可知經(jīng)過k步轉(zhuǎn)移后的狀態(tài)向量為ε0Pk。但是在實(shí)際預(yù)測(cè)中，一般情況下只考慮一步轉(zhuǎn)移概率矩陣[9]。若預(yù)測(cè)對(duì)象的狀態(tài)處于Ek，僅需考慮第k行到下一行的概率矩陣，若max(Pkj)=Pki，那么就可以把k狀態(tài)轉(zhuǎn)向i狀態(tài)為最大概率，即預(yù)測(cè)對(duì)象出現(xiàn)在第i狀態(tài)。若出現(xiàn)轉(zhuǎn)移矩陣P中k行有兩個(gè)或兩個(gè)以上概率相同或相近時(shí)，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方向不確定，此時(shí)考慮兩步或n步轉(zhuǎn)移，然后再按照上述方法進(jìn)行狀態(tài)預(yù)測(cè)。

最后，確定預(yù)測(cè)沉降量所在的狀態(tài)區(qū)間后，取均值可得預(yù)測(cè)值方程

(5)

2 精度評(píng)定方法

馬爾科夫鏈優(yōu)化Richards模型預(yù)測(cè)精度，首先計(jì)算實(shí)測(cè)值與預(yù)測(cè)值的殘差，以及相對(duì)誤差，然后利用均方根誤差(RSME)與平均絕對(duì)百分比誤差(MAPE)進(jìn)行評(píng)定，具體計(jì)算方法為

(6)

(7)

3 工程實(shí)例應(yīng)用

以文獻(xiàn)[16]中安陽(yáng)市某小區(qū)17層高層住宅為例，采用長(zhǎng)螺旋CFG樁復(fù)合地基，自建筑物出地面開始進(jìn)行定期監(jiān)測(cè)，在主體施工期間每20 d觀測(cè)一次，觀測(cè)9次，此后觀測(cè)間隔變長(zhǎng)，觀測(cè)次數(shù)相對(duì)減少，共觀測(cè)13期。1#樓沉降觀測(cè)點(diǎn)的累計(jì)沉降量見表1 。

表1 實(shí)測(cè)沉降量

S(t)=25.285 5(1+0.605 1e-0.027 7t-6.215

式中，t=1,2,…,10。擬合值及相對(duì)誤差見表2。

表2 Richards模型擬合值與相對(duì)誤差

然后利用馬爾科夫鏈優(yōu)化Richards模型，根據(jù)模型擬合相對(duì)誤差劃分狀態(tài)區(qū)間，可以劃分3個(gè)狀態(tài)區(qū)間[-5，-2]、[-2,1]、[1,5]，各個(gè)擬合值的狀態(tài)分布見表3。

表3 各擬合值所處狀態(tài)

根據(jù)式(4)，可以計(jì)算一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

然后預(yù)測(cè)第11期沉降量，第10期擬合沉降量位于狀態(tài)E2，其初始狀態(tài)向量ε0=[0 1 0]，經(jīng)過一步轉(zhuǎn)移后的狀態(tài)轉(zhuǎn)移向量為

從而可以得出第11期預(yù)測(cè)沉降量出現(xiàn)在E2狀態(tài)。Richards模型預(yù)測(cè)11期沉降量為25.162 6 mm，根據(jù)式(5)求得馬爾科夫修正后新的預(yù)測(cè)值

預(yù)測(cè)值的相對(duì)誤差為-0.946%。

去掉第1期擬合沉降量，以第2期至11期預(yù)測(cè)值來預(yù)測(cè)第12期沉降量，計(jì)算相對(duì)誤差，重新劃分區(qū)間為[-5，-2]、[-2,0.5]、[0.5，2]，限于篇幅，不再詳細(xì)列出狀態(tài)區(qū)間，計(jì)算一步轉(zhuǎn)移矩陣

第11期預(yù)測(cè)值處于E2狀態(tài)，通過計(jì)算可得第12期預(yù)測(cè)值也處于E2狀態(tài)，可以得到馬爾科夫優(yōu)化Richards模型的第12期預(yù)測(cè)值。以此類推，去掉第2期擬合值，利用第3—12期預(yù)測(cè)值，重新劃分狀態(tài)區(qū)間，可以得到第13期預(yù)測(cè)值。具體結(jié)果見表4。

表4 各模型預(yù)測(cè)值及精度

從表4可以看出，經(jīng)過馬爾科夫優(yōu)化后，Richards預(yù)測(cè)結(jié)果精度有了顯著的提高，殘差減小，預(yù)測(cè)均方根誤差達(dá)到0.246 mm，平均絕對(duì)百分誤差MAPE達(dá)到0.991%，兩個(gè)精度指標(biāo)都有了一定程度的提高。圖1后3期預(yù)測(cè)值經(jīng)過馬爾科夫鏈修正后，相對(duì)誤差向0方向靠近，表明經(jīng)過馬爾科夫優(yōu)化后的模型，預(yù)測(cè)精度更高，預(yù)測(cè)結(jié)果更能貼近建筑物沉降趨勢(shì)。

圖1 相對(duì)誤差分布

4 結(jié) 論

(1) 在Richards生長(zhǎng)曲線及馬爾科夫理論基礎(chǔ)上，建立了馬爾科夫鏈優(yōu)化Richards曲線的沉降預(yù)測(cè)組合模型。該模型利用一定的數(shù)據(jù)序列，以擬合值與實(shí)測(cè)值誤差平方和最小為原則，利用Matlab中的fminsearch函數(shù)，獲得Richards曲線參數(shù)最優(yōu)解，再利用馬爾科夫理論修正Richads曲線預(yù)測(cè)殘差。

(2) 利用Matlab自帶函數(shù)fminsearch對(duì)Richards曲線進(jìn)行參數(shù)估計(jì)是可行的，并且不受任何限制條件影響，方法簡(jiǎn)單，操作方便，為Richards模型參數(shù)求解提供了一種新方法。

(3) 實(shí)例表明，該組合預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)均方根誤差及平均絕對(duì)百分誤差有了一定的減小，預(yù)測(cè)精度有了一定的提高，可以應(yīng)用于建筑物沉降預(yù)測(cè)。

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