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(鎮(zhèn)海中學(xué),浙江 寧波 315200)

在二輪復(fù)習(xí)的課堂中，提高習(xí)題教學(xué)的質(zhì)量非常重要.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》指明了構(gòu)建高效課堂的方式：把握數(shù)學(xué)本質(zhì)、啟發(fā)思考、改進(jìn)教學(xué).

美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾說過：?jiǎn)栴}是數(shù)學(xué)的心臟.因此，在習(xí)題教學(xué)中應(yīng)注重選擇合適的問題，引領(lǐng)復(fù)習(xí)方向，承載復(fù)習(xí)內(nèi)容，通過抓住問題的本質(zhì)，建立知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，達(dá)到加強(qiáng)學(xué)生的解題能力、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力之目標(biāo).習(xí)題教學(xué)的效率某種程度上決定著高考復(fù)習(xí)質(zhì)量的高低，影響著高考的成敗.但在習(xí)題教學(xué)的具體實(shí)踐中，還是有不少教師信奉“題海戰(zhàn)術(shù)”兼灌輸式講授，這樣非但不能提升學(xué)生的解題能力，久而久之還會(huì)挫傷學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使學(xué)生產(chǎn)生厭學(xué)情緒，出現(xiàn)簡(jiǎn)單題不肯做、難題又不會(huì)做的情況.

筆者一直在探尋高效的習(xí)題教學(xué)之路，讓學(xué)生能在潛移默化中提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本文以二輪復(fù)習(xí)中”圓錐曲線復(fù)習(xí)課“為例，談?wù)勅绾螡B透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提升學(xué)生的思維能力，杜絕學(xué)生在解題中出現(xiàn)“只會(huì)埋頭拉車，卻不抬頭看路”的糟糕現(xiàn)象.

1 教學(xué)過程

1.1 復(fù)習(xí)回顧

師：同學(xué)們經(jīng)歷了圓錐曲線的一輪復(fù)習(xí)，也做了不少題目，大家到底學(xué)了哪些知識(shí)？

(學(xué)生各抒己見，教師進(jìn)行總結(jié).)

師：我們學(xué)到的知識(shí)有：1)曲線分類;2)曲線的性質(zhì);3)性質(zhì)應(yīng)用.基本的研究思想是用代數(shù)研究幾何，而最常用的方法是設(shè)點(diǎn)法和設(shè)線法，并借助韋達(dá)定理解決問題.我們不僅可以從定義上區(qū)分曲線，還可以從曲線的性質(zhì)上加以區(qū)分.比如教材中提到的光學(xué)性質(zhì)，該性質(zhì)有怎樣的幾何特征？

設(shè)計(jì)說明在復(fù)習(xí)回顧中，與學(xué)生一起梳理圓錐曲線的知識(shí)結(jié)構(gòu)與體系，厘清基本思想與常用方法，掌握概念的內(nèi)涵和外延，使知識(shí)的展開不再是無源之水、無本之木，提高習(xí)題教學(xué)的效率，同時(shí)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)，引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

生1:從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線經(jīng)反射后聚焦于另一個(gè)焦點(diǎn)，而雙曲線反射后發(fā)散，其反向延長線過另一個(gè)焦點(diǎn)，經(jīng)拋物線反射后平行射出.

師：這些性質(zhì)均與焦點(diǎn)有關(guān)，體現(xiàn)了圓錐曲線的統(tǒng)一美，但它們也有差異性，分別為聚焦、發(fā)散、平行.再看它們的這些反射面，表現(xiàn)為圓錐曲線的切線，那么這些切線又有怎樣的性質(zhì)呢？

生2:由曲線外的某定直線(準(zhǔn)線)上一點(diǎn)出發(fā)引曲線的兩條切線，則切點(diǎn)弦必過定點(diǎn)(對(duì)應(yīng)焦點(diǎn))，反之亦成立.

師：這個(gè)性質(zhì)在圖形中的體現(xiàn)非常優(yōu)美，因此同學(xué)們留下了較深的印象.我們對(duì)這類性質(zhì)的理解越深、對(duì)圖形的分析越透，對(duì)我們的解題就越有幫助.

1.2 引例示范

例1已知拋物線C的方程為x2=4y，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，過不在拋物線上的一點(diǎn)P作此拋物線的切線PA，PB，點(diǎn)A，B為切點(diǎn)，且PA⊥PB.

1)求證：直線AB過定點(diǎn)；

(2018年浙江省寧波市高三數(shù)學(xué)期末試題第21題)

生3:可以先求出點(diǎn)R的坐標(biāo)，然后進(jìn)行表示.

師：直譯目標(biāo)，但不簡(jiǎn)便，能否簡(jiǎn)化問題？

師：很好！還能進(jìn)一步簡(jiǎn)化嗎？

生5:由PA⊥PB，PF⊥AB，根據(jù)射影定理可轉(zhuǎn)化成|PA|2.

師：非常好！抓住圖形的幾何特征，回歸問題的本質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化成更簡(jiǎn)單的形式：過拋物線x2=4y上一點(diǎn)A作切線與準(zhǔn)線y=-1交于點(diǎn)P，求|PA|2的最小值.有了知識(shí)的沉淀，學(xué)會(huì)欣賞圖形之美，就可以啟發(fā)我們思考，引領(lǐng)解題方向.

設(shè)計(jì)說明以學(xué)生考過且不理想的問題作引例，不僅能拉近與學(xué)生的距離，還能引起學(xué)生的共鳴，從而啟發(fā)解題思考，轉(zhuǎn)化問題，簡(jiǎn)化運(yùn)算，提高解題效率.同時(shí)突出主題，注重幾何圖形對(duì)解題的引領(lǐng)作用，在解題中遇到瓶頸之時(shí)，應(yīng)當(dāng)回歸本質(zhì)，分析圖形，獲取思路，突破瓶頸.

圖1

1.3 例題探究

師：請(qǐng)同學(xué)們梳理下解題思路.

生6:設(shè)直線得參數(shù)關(guān)系→聯(lián)立橢圓方程→表示距離并消元→代入韋達(dá)定理建立目標(biāo)函數(shù),求最值.

師：思路很清晰，但計(jì)算令人崩潰，可否簡(jiǎn)化呢？

生7:根據(jù)圖形猜測(cè)OA⊥OB，可用數(shù)量積驗(yàn)證.

師：以上是間接用k，m表示相切和長度，可否考慮尋找|OA|,|OB|的直接關(guān)系呢？請(qǐng)大家以小組為單位進(jìn)行探究.

設(shè)計(jì)說明數(shù)學(xué)探究是課堂教學(xué)活動(dòng)的重要形式之一，是培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考能力的重要方式，是提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體，也能體現(xiàn)學(xué)生的主體作用.因此，設(shè)計(jì)能使學(xué)生全面參與的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)可激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.在師生互動(dòng)和生生互動(dòng)的過程中，教師適時(shí)地加以點(diǎn)撥，讓學(xué)生切實(shí)參與到知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展中，形成適時(shí)的思維碰撞，有助于學(xué)生理解知識(shí)，同時(shí)可向?qū)W生滲透直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1.4 合作交流

設(shè)計(jì)說明解決數(shù)學(xué)問題需要一定的解題經(jīng)驗(yàn)為依托，這就需要學(xué)生在平時(shí)注重反思內(nèi)化.教師將問題設(shè)計(jì)在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，讓學(xué)生體會(huì)用數(shù)學(xué)的樂趣，感受數(shù)學(xué)知識(shí)各部分之間的聯(lián)系，同時(shí)養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，這不僅符合數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，而且發(fā)展了運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

因此有線索指向可先證OA⊥OB.

證明如圖2，過點(diǎn)O作CD⊥OA，聯(lián)結(jié)AC,AD，并作OH1⊥AC于點(diǎn)H1，OH2⊥AD于點(diǎn)H2.因?yàn)镃D⊥OA，所以

圖2

從而AC,AD為⊙O的兩條切線，點(diǎn)B必與點(diǎn)C或點(diǎn)D重合,因此OA⊥OB.

生9:例2轉(zhuǎn)化成了二元最值問題，可利用函數(shù)思想解決問題.

1.5 總結(jié)提煉

師：在今天的課堂上你有什么收獲呢？

(學(xué)生們闡述自己的課堂收獲.)

設(shè)計(jì)說明層層遞進(jìn)式的設(shè)計(jì)將一個(gè)繁瑣的運(yùn)算問題，通過幾何特征的挖掘，逐步轉(zhuǎn)化為學(xué)生所熟悉的問題模型，這不僅增強(qiáng)了學(xué)生解決問題的信心，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，還讓學(xué)生掌握了圓錐曲線問題的研究方式：代數(shù)研究幾何、幾何輔助代數(shù).學(xué)生通過親身經(jīng)歷，切身體會(huì)了優(yōu)美的圖形對(duì)解題的幫助，對(duì)“欣賞圖形之美，啟發(fā)思考，引領(lǐng)方向”有了更深刻的認(rèn)識(shí)，同時(shí)提高了學(xué)生的解題能力，進(jìn)一步落實(shí)了直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2 教學(xué)反思

習(xí)題教學(xué)是數(shù)學(xué)教師必須要面對(duì)的課題，尤其是在高三的二輪復(fù)習(xí)中.如何在枯燥的習(xí)題講評(píng)中讓學(xué)生獲得一點(diǎn)新的感悟，讓學(xué)生在解題中有種豁然開朗的感覺，需要我們教師去精心設(shè)計(jì)課堂環(huán)節(jié)，不斷探索習(xí)題教學(xué)的高效方式，爭(zhēng)取讓學(xué)生在不知不覺中發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.1 發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)重在促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)

俗話說：“授人以魚，不如授人以漁.”教師在教學(xué)過程中不僅要傳授學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，加強(qiáng)學(xué)習(xí)指導(dǎo)，還應(yīng)積極探索多樣化的教學(xué)方式，倡導(dǎo)獨(dú)立思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流等學(xué)習(xí)方式.當(dāng)解題遇阻時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生重新回到圖形，認(rèn)真審視條件，啟發(fā)思考，引領(lǐng)解題方向.當(dāng)遇到美妙的性質(zhì)與圖形關(guān)系時(shí)，點(diǎn)撥學(xué)生及時(shí)地體會(huì)和理解，促進(jìn)學(xué)生提升對(duì)問題的認(rèn)識(shí)高度，而不只是就題論題，限制想象空間，只有會(huì)當(dāng)凌絕頂，才能一覽眾山小.同時(shí)應(yīng)該提高作業(yè)質(zhì)量，提升學(xué)生作業(yè)的時(shí)效性和自主性，及時(shí)解決和整理其中的問題，做學(xué)習(xí)的主人.這樣就能在平時(shí)不斷提升并充實(shí)自我，最終發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.2 發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)重在促進(jìn)學(xué)生獲取思路

數(shù)學(xué)解題的推理和運(yùn)算，實(shí)質(zhì)都是轉(zhuǎn)化與化歸，方向都是化繁為簡(jiǎn)、化抽象為具體、化未知為已知.思路的獲取需要在條件和結(jié)論中架起橋梁，而我們能做的只能是通過分析題目的已知與待求之間的差異，并努力消除這些差異，從中落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).獲取思路具體要經(jīng)歷4個(gè)步驟：理解題意、提取信息、聯(lián)系舊知、重組結(jié)構(gòu).理解題意是解題的基礎(chǔ)，決定著解題方向，決定著能否提取到有效的信息.當(dāng)學(xué)生在解題中遇到瓶頸之際，我們應(yīng)該提醒學(xué)生回歸題設(shè)，包括數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系以及一些隱性的關(guān)系，從中獲取啟發(fā)，進(jìn)而聯(lián)系舊知，實(shí)現(xiàn)重構(gòu)，突破難題.掌握了思考的方式，學(xué)生就能直面問題，不斷探索，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.3 發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)重在促進(jìn)學(xué)生反思內(nèi)化

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，反思是實(shí)現(xiàn)新舊知識(shí)相互交融、互相比較的有效途徑，是學(xué)生提升思維最有效的方法.因此，反思內(nèi)化是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，在課堂教學(xué)中不僅要讓學(xué)生知道問題是怎么解決的，更要知道是怎么想到這個(gè)解決辦法的，以便學(xué)生在反思中對(duì)分析問題、解決問題有更深入的認(rèn)識(shí)，這樣才能逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.經(jīng)常進(jìn)行多層次的反思內(nèi)化，是對(duì)知識(shí)框架的重新架構(gòu)和再次完善，能使所學(xué)知識(shí)由“會(huì)”到“懂”再到“悟”，直到最終的“活”，才能讓學(xué)生知其然，知其所以然，更知何由以知其所以然.

2.4 發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)重在促進(jìn)學(xué)生整體把握

回歸概念和定義，厘清知識(shí)的來龍去脈，是解題的保證，也是提升解題能力的利器.離開了知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)談數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就成了無稽之談.不少學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)是碎片化的，缺少必要的整合，這就需要教師在教學(xué)中分析知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系，給學(xué)生示范知識(shí)的梳理，促進(jìn)學(xué)生理解基本知識(shí)、掌握基本技能、體會(huì)基本思想、積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這樣才能讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)扎根于課堂.因此，在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生厘清各知識(shí)點(diǎn)在整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的地位與作用，與此同時(shí)，挖掘教學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生系統(tǒng)的思維習(xí)慣.

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 王開林.讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)根植于課堂——“指數(shù)函數(shù)”的教學(xué)與思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017(11)：10-13.

[2] 范東暉.入乎其內(nèi)，出乎其外——讓習(xí)題教學(xué)更有效[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018(11)：47-49.

[3] 鄭花青.回歸本質(zhì)：從解題教學(xué)談高考復(fù)習(xí)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017(10)：56-58.

[4] 張彬，於有海.反思：優(yōu)化解題思路，簡(jiǎn)化解題過程[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018(3):57-60.