徐 華,程 冰

(江南大學(xué) 物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院,江蘇 無錫 214122)

1 引 言

車間調(diào)度問題一直以來都是科學(xué)研究的一個(gè)熱點(diǎn).柔性作業(yè)車間問題(FJSP)是在作業(yè)車間調(diào)度的基礎(chǔ)上擴(kuò)展的更加靈活復(fù)雜的調(diào)度問題.相比于經(jīng)典的作業(yè)車間調(diào)度,FJSP考慮了同一個(gè)工藝可以在不同的機(jī)器上加工的問題,不同機(jī)器上的加工時(shí)間也有所不同.FJSP減少了對機(jī)器的約束,擴(kuò)大了可行解的搜索范圍,增加了求解難度,使得調(diào)度問題更加復(fù)雜、更加靈活.柔性作業(yè)車間更加貼近實(shí)際生產(chǎn)中的制造環(huán)境,更符合現(xiàn)代柔性制造的理念.

首次提出FJSP的是Bucker P.和Schlie R.[1],此后便引起了廣大學(xué)者的關(guān)注研究.FJSP已經(jīng)被證明是一個(gè)NP-hard問題[2].目前,求解FJSP的方法大多集中在智能算法以及多種智能算法結(jié)合的混合算法上,如遺傳算法(Genetic Algorithm,GA)[3-5]、蟻群算法(Ant Colony Optimization,ACO)[6,7]、粒子群算法(Particle Swarm Optimization,PSO)[8,9],還有一些其他的算法[10-13].蝙蝠算法(Bat Algorithm,BA)是一種模擬蝙蝠回聲定位機(jī)理得出的算法,是Yang在2010年提出的一種新興啟發(fā)式智能算法[14].發(fā)展至今,蝙蝠算法已經(jīng)應(yīng)用到很多領(lǐng)域,如函數(shù)優(yōu)化[15]、無線傳感網(wǎng)絡(luò)[16,17]、電網(wǎng)系統(tǒng)[18,19]等.在生產(chǎn)調(diào)度領(lǐng)域,許多專家學(xué)者應(yīng)用蝙蝠算法及其改進(jìn)算法求解調(diào)度優(yōu)化問題.夏晶晶等人提出一種改進(jìn)型蝙蝠算法來優(yōu)化車間內(nèi)工件的最大完工時(shí)間[20].韓忠華等人提出基于漢明距離精英個(gè)體集的自適應(yīng)蝙蝠算法求解柔性流水車間調(diào)度問題[21].Luo等人針對置換流水車間問題,將NEH算法與蝙蝠算法相結(jié)合,并將調(diào)度問題劃分為若干個(gè)子問題[22].Dao等人受并行處理的啟發(fā),提出基于通信策略的并行蝙蝠算法來求解作業(yè)車間調(diào)度問題[23].

從上述內(nèi)容中可以看出,蝙蝠算法成功的應(yīng)用于車間調(diào)度領(lǐng)域,但是其相關(guān)性的研究尚不成熟,蝙蝠算法自身也有易陷入局部最優(yōu)的缺點(diǎn).本文結(jié)合遺傳算法的變異交叉操作,提出一種混合遺傳蝙蝠算法(HGBA)來求解單目標(biāo)柔性作業(yè)車間問題.同時(shí)采用三種方式對種群進(jìn)行初始化,在保證解的多樣性的同時(shí)也保證了解的質(zhì)量;引用動態(tài)遞減的權(quán)重來均衡局部搜索與全局搜索;針對蝙蝠算法易陷入局部最優(yōu)解的問題,提出一種基于變異操作的鄰域搜索;結(jié)合于本文采用的基于機(jī)器編碼方式,提出混合列交叉的策略來進(jìn)行位置更新,避免產(chǎn)生無效解.最后通過實(shí)例測試,實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了HGBA算法的有效性.

2 柔性作業(yè)車間調(diào)度模型

2.1 問題描述

柔性作業(yè)車間與經(jīng)典作業(yè)車間的區(qū)別就是工序可在多臺機(jī)器上加工.根據(jù)工序可選加工機(jī)器集的大小,可將柔性作業(yè)車間調(diào)度分為兩類:一類是完全柔性作業(yè)車間調(diào)度(T-FJSP),即每個(gè)工序可以在所有的機(jī)器上加工;一類是部分柔性作業(yè)車間調(diào)度(P-FJSP),即至少有一個(gè)工序不能在所有的機(jī)器上加工.T-FJSP是P-FJSP的一種特殊情況,在實(shí)際情況中,P-FJSP中機(jī)器的選擇一般都存在約束,所以P-FJSP更具有實(shí)際意義,而且P-FJSP是比T-FJSP更復(fù)雜的調(diào)度問題.

FJSP可以簡單描述為:n個(gè)工件在m臺機(jī)器上加工,工件集J={J1,J2,…,Jn},機(jī)器集M={M1,M2,…,Mm}.每個(gè)工件Ji(i∈{1,2,…,n})有λi(λi≥1)道工序,并且每道工序可在一臺或者多臺機(jī)器上加工.每道工序可以任意選擇一臺機(jī)器加工,不同機(jī)器加工的時(shí)間長短也不同.調(diào)度問題的目標(biāo)就是在滿足約束條件的基礎(chǔ)上,合理的安排工件的加工次序、加工時(shí)間以及加工機(jī)器.FJSP問題中的相關(guān)符號定義如下:

Oij表示工件Ji的第j(j∈{1,2,…,λi})道工序;

Wijk表示工序Oij在機(jī)器k上加工狀態(tài),并且有:

(1)

Tijk表示工序Oij在機(jī)器k上的加工時(shí)間;

Bijk表示工序Oij在機(jī)器k上的開始加工時(shí)間;

Eijk表示工序Oij在機(jī)器k上的完工時(shí)間;

Ci表示工件Ji的完工時(shí)間.

本文的目標(biāo)是使得最大完工時(shí)間Cmax最小,最大完工時(shí)間是指最后一個(gè)工件被加工完成的時(shí)間,代表著整個(gè)調(diào)度的生產(chǎn)周期.目標(biāo)函數(shù)如下所示:

func=min(max(Ci)),1≤i≤n

(2)

2.2 約束條件

1)每個(gè)工序在加工過程中不允許被中斷,假設(shè)機(jī)器無故障:

Eijk=Bijk+Tijk

(3)

2)每個(gè)工件必須按照工序的順序加工,不可亂序,即Oij完成之后才可加工Oi(j+1):

(4)

也可表示為:

(5)

3)不同工件的工序之間不存在先后約束.

4)同一個(gè)機(jī)器在某時(shí)刻只允許加工一道工序;即當(dāng)工序Oij在時(shí)刻t(t>0),若有Wijk=1,則當(dāng)i≠p且j≠q時(shí),必不存在Opq使得Wpqk=1.

5)每臺機(jī)器相互獨(dú)立,任何一臺機(jī)器是否工作、是否故障都不影響其他設(shè)備,并且所有機(jī)器在開始時(shí)刻(t=0)均可以開始工作.

表1給出3個(gè)工件、5個(gè)機(jī)器(3×5)的P-FJSP調(diào)度例子,表中的數(shù)據(jù)表示工序在對應(yīng)的機(jī)器上的加工時(shí)間,其中“—”表示工件不能在該機(jī)器上加工.

表1 3×5調(diào)度實(shí)例Table 1 3×5 Scheduling example

3 蝙蝠算法

蝙蝠算法是根據(jù)蝙蝠回聲定位的原理得出的啟發(fā)式算法.蝙蝠以速度vi在位置xi處隨機(jī)飛行,以頻率fi和響度A搜尋獵物.根據(jù)自身與獵物之間的距離來調(diào)節(jié)發(fā)射的脈沖頻率,調(diào)整發(fā)射的脈沖速率r0∈[0,1].在d維空間里,x=(x1,x2,…,xd)T,初始種群規(guī)模為pop_size,單個(gè)蝙蝠表示為xi(i=1,2,…,pop_size).蝙蝠算法相應(yīng)變量更新如下:

1)速度與位置更新:

fi=fmin+(fmax-fmin)β

(6)

vi(t+1)=vi(t)+(xi(t)-x*)fi

(7)

xi(t+1)=xi(t)+vi(t+1)

(8)

其中,fi是發(fā)射頻率,取值范圍為[fmin,fmax];β為隨機(jī)變量,β∈[0,1];vi(t)、xi(t)為第t代蝙蝠的速度與位置,vi(t+1)、xi(t+1)為第t+1代蝙蝠的速度與位置,均為d維向量;x*表示當(dāng)前的最優(yōu)解;

2)局部搜索,對當(dāng)前最優(yōu)解按照如下規(guī)則進(jìn)行搜索:

xnew=xold+εAt

(9)

xold表示選擇的一個(gè)解,xnew表示進(jìn)行擾動后的新解;ε∈[-1,1],At表示第t代蝙蝠的平均響度.

3)響度與脈沖發(fā)射速度更新:

(10)

(11)

4 求解FJSP的遺傳蝙蝠算法

4.1 編碼方式

表2 可選機(jī)器集Table 2 Optional machine set

下面按照表一中給出的實(shí)例數(shù)據(jù)進(jìn)行說明.從表中數(shù)據(jù)可知,工序O11可在M1、M2、M4這3個(gè)機(jī)器上加工,則有S1={1,2,4},可選機(jī)器個(gè)數(shù)SN1=3,對應(yīng)的基因g1取值在[1,SN1]之間,假設(shè)此時(shí)取g1=3.同理,O12可以在M1、M3、M4、M5這4個(gè)機(jī)器上加工,則有S2={1,3,4,5},可選機(jī)器個(gè)數(shù)SN2=4,對應(yīng)的基因g2取值在[1,SN2]之間,假設(shè)此時(shí)取g2=1.依照此方式可對基因序列進(jìn)行完整的編碼.表2列出了工序的可選機(jī)器集.隨機(jī)給出一個(gè)完整的編碼序列為[3 1 3 3 4 2 1 2],通過編碼方式可以反向進(jìn)行解碼,得出對應(yīng)的工序的加工機(jī)器序列,因此上述編碼對應(yīng)的工序加工機(jī)器為[4 1 4 5 5 3 2 3].圖1為解碼示意圖.

圖1 解碼示意圖Fig.1 Decoding diagram

4.2 種群初始化

許多智能算法如粒子群算法、遺傳算法等在某種程度上其性能易受初始種群的影響.在初始化種群的過程中既需要保證種群的多樣性,也需要保證種群的質(zhì)量.因此,初始種群需要達(dá)到兩個(gè)基本要求:一是多樣性,多樣性好的初始解覆蓋的解空間大,搜索范圍廣,尋找到全局最優(yōu)解的機(jī)率也更大;二是初始解的質(zhì)量,解的質(zhì)量影響著收斂速度.為了滿足這兩點(diǎn),本文按照以下方案進(jìn)行初始化.

1)隨機(jī)生成法:根據(jù)每個(gè)工序可選擇的加工機(jī)器,隨機(jī)選擇一臺機(jī)器.

2)最小時(shí)間選擇法:根據(jù)工序在可選機(jī)器上的加工時(shí)間選擇用時(shí)短的機(jī)器.當(dāng)不同機(jī)器上的加工時(shí)間相同時(shí),則比較機(jī)器上的現(xiàn)有的工作量(即機(jī)器上的處理時(shí)間),選取工作量小的機(jī)器.

3)第二小時(shí)間選擇法:選擇工序在可選機(jī)器上加工時(shí)間第二小的機(jī)器.

在初始化種群時(shí),采用輪盤賭的形式.對于某一個(gè)解,其基因位上的值由如下方式?jīng)Q定:當(dāng)rand<0.4的時(shí)候采用方案(1);當(dāng)rand≥0.4,采用方案(2)選擇機(jī)器的,同時(shí)當(dāng)工序可選的最小時(shí)間機(jī)器只有一個(gè),為避免解的多樣性變差,則隨機(jī)選擇采用方案(2)與方案(3)來生成.

4.3 慣性權(quán)重重定義

為了平衡局部搜索與全局搜索,針對公式(7)引入權(quán)重變量變?yōu)?

vi(t+1)=w*vi(t)+(xi(t)-x*)fi

(12)

并且采用慣性權(quán)重動態(tài)遞減的方式變換權(quán)重值,改進(jìn)的權(quán)重w重定義為:

(13)

其中,wmax與wmin分別表示為w可取的最大值與最小值.t為當(dāng)前迭代次數(shù),tmax為總迭代次數(shù).其動態(tài)變化如圖2所示.

圖2 w變化曲線Fig.2 Change curve of weight

4.4 混合列交叉更新策略

標(biāo)準(zhǔn)蝙蝠算法的位置更新公式為xi(t+1)=xi(t)+vi(t+1),由于本文采用的是基于機(jī)器的編碼,直接利用上式更新蝙蝠位置會導(dǎo)致無效解的產(chǎn)生,一是由于出現(xiàn)小數(shù)產(chǎn)生無效解;二是由于超出編碼范圍產(chǎn)生無效解.通過4.1節(jié)的編碼方式可知,z位上的編碼基因最大值為SNz,一般的更新方式易產(chǎn)生無效解.因此本文提出混合列交叉更新策略,由于此策略是同一工序的加工機(jī)器交換,所以產(chǎn)生的必為可行解.將上式(8)更新為

xi(t+1)=xi(t)?vi(t+1)

(14)

在該式中將vi(t+1)看作索引,指向與xi(t+1)交叉的序列,交換其對應(yīng)位置的元素.給出一組數(shù)據(jù)進(jìn)行說明.

當(dāng)x1?v1時(shí),v1中的第一個(gè)元素為3,即指向x3的第一個(gè)元素,互換x1與x3的第一個(gè)元素;v1中的第二個(gè)元素為2,即指向x2的第二個(gè)元素,互換x1與x2的第二個(gè)元素,依此類推,對x1元素進(jìn)行更新.當(dāng)所有的都更新完之后,得到的新位置如下:

在算法初期,經(jīng)過列交叉之后,種群多樣性會增加.到算法后期,所有蝙蝠都飛向最優(yōu)蝙蝠,位置之間的相似度增強(qiáng),更新過后算法逐漸收斂.

4.5 基于變異操作的鄰域搜索策略

算法中個(gè)體可以通過對自身以及對鄰域解進(jìn)行搜查以獲取更優(yōu)有解.鄰域結(jié)構(gòu)的合理性體現(xiàn)著求解策略對問題本身特征信息的利用,影響著最終求解的效率和質(zhì)量[24].因此,需要合理的設(shè)置鄰域結(jié)構(gòu).本文采取兩種基于變異操作的鄰域搜索策略.

1)基于最優(yōu)排列的變異:在調(diào)度解的編碼中隨機(jī)選擇兩個(gè)位置,根據(jù)上文敘述可知每個(gè)位置上的基因有幾種,生成其所有排列,產(chǎn)生相應(yīng)的鄰域解,選擇其中適應(yīng)度值最好的個(gè)體.

2)基于機(jī)器工作量的變異:在調(diào)度解的編碼中隨機(jī)選擇兩個(gè)位置,分別對所選位置可加工的機(jī)器進(jìn)行工作量的分析,選擇工作量小的機(jī)器取代原位置.

鄰域搜索的偽代碼如下:

while(ct

b←rand()

if(b≥0.5)

根據(jù)方案(1)進(jìn)行變異生成新的個(gè)體

else

根據(jù)方案(2)進(jìn)行變異生成新的個(gè)體

endif

if新解的適應(yīng)度值比舊解的適應(yīng)度值好

接受新解

end if

ct←ct+1

end while

4.6 HGBA算法流程

HGBA算法具體步驟如下:

步驟1.設(shè)置參數(shù),并且根據(jù)本文采用的編碼方式,按照4.2的初始化方法產(chǎn)生初始種群

步驟2.通過設(shè)定的目標(biāo)函數(shù)求解每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值,得出當(dāng)前最優(yōu)解

步驟3.根據(jù)式(6)、(12)、(14)更新個(gè)體的速度與位置

步驟4.對于每個(gè)個(gè)體,當(dāng)rand1>ri,則通過4.5的鄰域搜索算法對當(dāng)前最優(yōu)解進(jìn)行擾動,產(chǎn)生一個(gè)新解

步驟5.若新解優(yōu)于當(dāng)前最優(yōu)解且rand2

步驟6.更新當(dāng)前最優(yōu)解,并對其進(jìn)行鄰域搜索

步驟7.滿足設(shè)定的最優(yōu)解條件或者達(dá)到最大迭代次數(shù),則終止程序;否則就轉(zhuǎn)到步驟3

步驟8.輸出最優(yōu)解和最優(yōu)值

5 實(shí)驗(yàn)仿真與結(jié)果

本文實(shí)驗(yàn)采用MATLAB編程,程序在Windows 10系統(tǒng)下內(nèi)存6G的計(jì)算機(jī)上運(yùn)行.算法中的參數(shù)設(shè)置如下:

表中pop_size表示初始種群規(guī)模,tmax表示總迭代次數(shù),ctmax表示鄰域搜索的總迭代次數(shù),fmin與fmax分別表示頻率的最小值與最大值,wmin與wmax表示權(quán)重的最小值與最大值.

為了驗(yàn)證本文算法的性能,分別采用三種實(shí)例進(jìn)行測試,經(jīng)典10×10實(shí)例以及文獻(xiàn)[25]、文獻(xiàn)[26]中的實(shí)例.同時(shí)采用BA算法與改進(jìn)算法HGBA進(jìn)行比較,為了讓BA算法與HGBA相比具有可信度,BA中的相應(yīng)參數(shù)設(shè)置均與HGBA相同.

表3 參數(shù)值列表Table 3 List of parameter values

實(shí)例1是經(jīng)典10×10實(shí)例,它是10個(gè)工件在10臺機(jī)器上加工的完全柔性作業(yè)車間調(diào)度問題,利用本文算法求解該問題可以得到當(dāng)前所知的最優(yōu)解7,圖3為對應(yīng)甘特圖.

圖3 10×10最優(yōu)解甘特圖Fig.3 Gantt chart of optimal solutionfor 10×10

實(shí)例2是6×6實(shí)例,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來源于文獻(xiàn)[25],利用本文的算法求解該問題可得到全局最優(yōu)解為10,該全局最優(yōu)解對應(yīng)的調(diào)度甘特圖如圖4.

圖4 6×6最優(yōu)解甘特圖Fig.4 Gantt chart of optimal solutionfor 6×6

實(shí)例3是6×8實(shí)例,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來自文獻(xiàn)[26],6個(gè)工件共26道工序在8臺機(jī)器上加工.利用本文提出的HGBA對實(shí)例進(jìn)行優(yōu)化,得出全局最優(yōu)值為55,圖5為最優(yōu)解調(diào)度甘特圖.

表4中的數(shù)據(jù)均為獨(dú)立運(yùn)行10次產(chǎn)生的.“best”列表示算法得到的最小完工時(shí)間的全局最優(yōu)解,“avg”列表示10次運(yùn)行得到的最優(yōu)解的平均值.首先,從表中可以看出,對于經(jīng)典10×10實(shí)例,HGBA算法可以得出當(dāng)前最好的結(jié)果7,相對于標(biāo)準(zhǔn)BA算法,改進(jìn)的HGBA算法的精度提高了61.11%.

圖5 6×8最優(yōu)解甘特圖Fig.5 Gantt chart of optimal solutionfor 6×8

對于6×6實(shí)例,HGBA算法得出的全局最優(yōu)值為10,與文獻(xiàn)[25]中的結(jié)果相比,最優(yōu)解精度提高了9.09%;與BA相比,最優(yōu)解精度提高了16.67%.對于6×8實(shí)例,HGBA算法得出的全局最優(yōu)值為55,與文獻(xiàn)[26]中的結(jié)果相比,最優(yōu)解精度提高了8.33%;與BA相比精度提高了6.80%.實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)證明了HGBA算法求解FJSP問題的有效性.

表4 測試結(jié)果Table 4 Test results

圖6 10×10收斂曲線圖Fig.6 Convergence curve for 10×10

圖6、圖7給出了用BA與HGBA分別求解10×10實(shí)例與6×8實(shí)例的全局最優(yōu)解收斂圖,從圖中可以看出,由于對初始化進(jìn)行改進(jìn)的緣故,HGBA在剛開始迭代時(shí)就可以獲得較好的解,BA的初始解明顯較差.對于10×10實(shí)例,在迭代中能夠BA算法在得到全局最優(yōu)解20處陷入局部最優(yōu),而HGBA能夠跳出局部最優(yōu)繼續(xù)進(jìn)化得到全局最優(yōu)解7;同樣的,對于6×8實(shí)例,BA在59處陷入局部最優(yōu),HGBA能夠跳出局部最優(yōu)繼續(xù)進(jìn)化而得到更優(yōu)質(zhì)的解55.這證明了本文算法在初始化與采用的鄰域搜索的有效性.因此,本文提出的HGBA算法在求解柔性作業(yè)車間調(diào)度是有效的,可以得到良好的效果.

圖7 6×8收斂曲線圖Fig.7 Convergence curve for 6×8

6 結(jié) 論

柔性作業(yè)車間由于工序可選擇的加工機(jī)器的多樣性而變得更加的復(fù)雜,解空間更大.本文以最大完工時(shí)間最小化為目標(biāo)進(jìn)行柔性作業(yè)車間的優(yōu)化調(diào)度,提出混合遺傳蝙蝠算法.首先,針對初始解的多樣性與質(zhì)量,采用多種方式相結(jié)合來初始化種群;其次通過重定義w權(quán)重來平衡全局與局部搜索,提出基于變異的鄰域搜索策略避免陷入局部最優(yōu);同時(shí)根據(jù)本文采用的基于機(jī)器的編碼方式與調(diào)度問題的離散性問題,提出了混合列交叉策略來進(jìn)行位置的更新;最后并將標(biāo)準(zhǔn)BA算法與改進(jìn)算法HGBA用于求解3個(gè)實(shí)例,實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比證明了算法的有效性.然而,在實(shí)際的生產(chǎn)過程中,調(diào)度的好壞還受很多其他因素的影響,比如加工質(zhì)量、提前/拖期等,筆者下一步將在本文的基礎(chǔ)上,研究多目標(biāo)柔性作業(yè)車間問題.

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