孫明珊，覃 華，蘇一丹

(廣西大學計算機與電子信息學院，廣西 南寧 530004)

1 引言

模糊聚類是一類建立在模糊數(shù)學基礎上的數(shù)據(jù)挖掘方法[1]，其中較為經(jīng)典的是模糊C均值聚類算法FCM(Fuzzy C-means)[2]，它把聚類問題轉化為對一個最優(yōu)化問題的求解從而實現(xiàn)對數(shù)據(jù)集的模糊劃分，目前FCM已被廣泛應用于電力系統(tǒng)[3]、環(huán)境科學[4]、空間圖像處理[5]、醫(yī)療[6]、電子與信息工程[7,8]等領域。FCM聚類前需要先確定簇的數(shù)目，但很多實際工程問題中，聚類前并不知道數(shù)據(jù)集中簇的個數(shù)，為解決此問題，文獻[9,10]用粒子群PSO(Particle Swarm Optimization)產生初始聚類中心，獲取簇的數(shù)目，最后再用FCM進行聚類，但PSO本質上屬于隨機搜索算法，每次運算得到的簇數(shù)目不盡相同，影響了FCM聚類的可靠性和準確性。為了解決FCM在自動模糊聚類上遇到的難題，Nasibov等人[11 - 15]另辟蹊徑，提出一種新的自動模糊聚類算法—模糊連接點FJP(Fuzzy Joint Points)聚類算法，它的基本思想是：對于給定的數(shù)據(jù)集X，先用距離公式計算X的模糊相似度矩陣T，再用最大-最小合成法為T構造一個傳遞閉包(Transitive Closure)矩陣T*，最后在T*上用alpha掃描子算法(alpha-scan)進行聚類劃分。FJP算法在聚類時之所以不需要事先知道簇的數(shù)目，是因為傳遞閉包T*具有傳遞性，描述樣本數(shù)據(jù)間是否存在關聯(lián)，存在關聯(lián)的樣本數(shù)據(jù)在FJP算法中稱為模糊連接點，F(xiàn)JP算法利用T*的傳遞性判斷兩個樣本數(shù)據(jù)是否屬于同一簇。FJP算法有兩個問題：首先，因其采用循環(huán)遍歷相似度矩陣計算傳遞閉包，時間復雜度是O(n3),所以處理大數(shù)據(jù)集時計算時間較長；其次，它的相似度矩陣由歐氏距離獲得，在此基礎上獲得的傳遞閉包會存在數(shù)據(jù)間關聯(lián)、依賴失真的問題，從而影響FJP算法簇數(shù)目的正確性和聚類的精度[16]。

文獻[17]研究了一種最優(yōu)傳遞閉包生成算法，它采用基于核函數(shù)的橋元素填充法生成傳遞閉包，傳遞閉包失真度小，且時間復雜度只有O(n2)。本文提出用該理論為FJP算法生成傳遞閉包，改進FJP算法的計算效率和聚類精度，從而形成一種改進的模糊連接點聚類IFJP(Improved Fuzzy Joint Point)算法，所提算法的基本思想是：先用組合核函數(shù)生成數(shù)據(jù)集的模糊相似度矩陣，并用大頂堆存儲，初始時傳遞閉包矩陣為空；然后遍歷傳遞閉包矩陣的空元素，取出堆頂中的橋元素填充到傳遞閉包相應的空元素位置上，直至傳遞閉包中所有空元素被橋元素填充完畢。用此方法生成傳遞閉包的計算時間復雜度是O(n2)，優(yōu)于傳統(tǒng)FJP算法的O(n3)。測試數(shù)據(jù)集上的實驗結果表明，本文所提算法在平均聚類準確度上較FJP-2008算法[14]提高26.7%，較FJP-2016算法[15]提高25.1%；在平均計算效率上，本文算法較FJP-2008算法提高44.5%，較FJP-2016算法提高35.5%，說明了本文用基于核函數(shù)的橋元素填充法改進FJP算法的思路是可行的、有效的。

2 用橋元素填充法生成傳遞閉包

原FJP算法不斷遍歷掃描相似度矩陣T中的每個元素，并對每個元素進行最大-最小值合成運算，更新相似度矩陣，直至矩陣各個元素不再變化即得其傳遞閉包T*。為避免不斷遍歷導致計算時間長的問題，本文采用橋元素填充法生成傳遞閉包，對于給定數(shù)據(jù)集X的模糊相似度矩陣T，用大頂堆數(shù)據(jù)結構存儲T，依次遍歷堆頂?shù)臉蛟?，并把它填充到T*的空元素位置上，同時也避免了原FJP算法中多次最大-最小值合成運算，提高了計算效率。本文所用的傳遞閉包生成子算法如下：

輸入:數(shù)據(jù)集X={x1,x2,x3,…,xn}，X的模糊相似度矩陣T。

輸出:T的傳遞包T*。

Step1初始化一個n×n的空矩陣T*。

Step2為T構建大頂堆H。

Step3使得T*(i,i)=1,1≤i≤n。

Step4當T*中還存在空元素時，取H中的堆頂元素T(u,v)，1≤u≤n且1≤v≤n。

Step4.1若T*(u,v)為空，則T(u,v)為橋元素，I={j|T*(u,j) ≠null}且I″={i|T*(i,v) ≠null}，使T*(s,t)=T*(t,s)=T(u,v),s∈I且t∈I〃。

Step4.2刪除H的堆頂元素，用文獻[18]的算法重新排序堆H，產生新的堆頂元素。

上述子算法的一些關鍵細節(jié)說明如下。

2.1 橋元素填充傳閉包規(guī)則

令P是一個n1×n1的模糊矩陣,Q是一個n2×n2的模糊矩陣，E是一個(n1+n2)×(n1+n2)的模糊矩陣，讓P和Q成為模糊矩陣E左上角和右下角的子矩陣。如式(1)中，b為橋元素，其中0≤b≤min(min(P),min(Q))。若P和Q均是模糊等價矩陣，則填入橋元素構成的矩陣E,因仍然滿足每個元素均大于或等于與自身同行同列元素對中較小值序列的最大值，故也是模糊等價矩陣。由Step 4知，當前T*中已填充的元素通過行列置換構成對角分塊矩陣，兩個對角分塊矩陣均是模糊等價矩陣。當前堆頂元素小于T*中所有已填充元素，因此可作為T*已填充元素的橋元素。又因為具有最大-最小傳遞性的模糊矩陣即為模糊等價矩陣，則通過橋元素的添加進行模糊等價矩陣擴展，所得矩陣仍然是模糊等價矩陣。

(1)

用橋元素填充傳遞閉包的規(guī)則為：獲得堆頂元素在T的行列數(shù)為u、v，I由T*中與堆頂元素同行元素的列下標組成，I″由T*中與堆頂元素同列元素的行下標組成，若T*中第u行v列不為空，則該堆頂元素不能稱為橋元素，否則依次將I和I″中元素組成行列對在T*相應位置進行填充。

2.2 傳遞閉包生成子算法的計算時間復雜度

Step 4步驟是整個傳遞閉包生成子算法的核心，是一個循環(huán)嵌套結構，它的作用是遍歷T*中的空元素，并從大頂堆H中取出堆頂橋元素填充到T*空元素位置上；如果數(shù)據(jù)集X有n個數(shù)據(jù)樣本，則傳遞閉包T*中元素總數(shù)為n×n個，遍歷T*中空元素的計算時間復雜度為O(n2)。Step 4的內部主要有Step 4.1和Step 4.2計算步驟，其中Step 4.1的計算時間復雜度是一個常量O(1)，而Step 4.2堆排序的計算時間復雜度也是一個常量O(1)[18],故整個傳遞閉包生成子算法的計算時間復雜度為O(n2)，較原FJP算法的傳遞閉包子算法的計算復雜度O(n3)有明顯改善。所以，本文采用橋元素填充法生成傳遞閉包有利于提高整個FJP算法的計算效率，更適用于處理大數(shù)據(jù)集。

3 改進的FJP算法流程

本文所提的IFJP算法流程如下：

輸入:數(shù)據(jù)集X={x1,x2,x3,…,xn}。

輸出:聚類劃分{C1,C2,C3,…,Ck}。

Step1參數(shù)初始化，劃分水平初始值α0=max(T*)。

Step2計算模糊相似度矩陣T。

Step3調用第2節(jié)子算法生成傳遞閉包T*。

Step4用T*計算α劃分水平的間距△α。

(2)

Step5當α0>0時，α0=α0-△α:

Step5.1S=X;k=1。

Step5.2對任意元素xi∈S，依次取S中其余所有元素xj,形成數(shù)據(jù)集Ck={xj∈S|T*(i,j)≥α0},S=SCk。

Step5.3若S非空，則k=k+1并轉至Step 5.2；否則，轉至Step 5.4。

Step5.4得劃分數(shù)據(jù)集{C1,C2,C3,…,Ck}和劃分簇數(shù)目k。

Step6出現(xiàn)次數(shù)最多且劃分水平最小的k為劃分簇數(shù)，返回結果{C1,C2,C3,…,Ck}。

上述子算法的一些關鍵細節(jié)說明如下。

3.1 數(shù)據(jù)樣本劃分水平的設置

模糊聚類理論中，已知相似度矩陣T的傳遞閉包T*，對給定的α劃分水平，若T*(i,j)≥α，則認為樣本xi和xj可劃分在同一簇內。當α=1時，表示所有數(shù)據(jù)樣本各自獨立成一簇；而當α=0時，表示所有數(shù)據(jù)樣本只分為一類。為避免遍歷過多的劃分水平，本文把劃分水平從值域[min(T*),max(T*)]，每間隔△α制作一個分割點，得到一組劃分水平{α1,α2,…,αi,…,αz}。將T*在z個不同的劃分水平下分別聚類，根據(jù)z個聚類結果找出出現(xiàn)次數(shù)最多的簇數(shù)目并記為v，將v所對應的劃分水平的最小值記為αmin。T*在αmin劃分水平下的聚類結果即為最佳聚類結果，所獲得的簇記為{C1,C2,C3,…,Ck}。

3.2 模糊相似度矩陣的計算

數(shù)據(jù)樣本集X記為X={x1,x2,x3,…,xn}，其中n為數(shù)據(jù)樣本的總數(shù)；xi∈Rm，m為樣本的維度。

數(shù)據(jù)集X的模糊相似度矩陣T是一個n×n的矩陣，矩陣中的元素T(i,j)表示樣本xi和xj的相似程度，常用歐氏距離函數(shù)來計算T(i,j)。為提高對復雜特征數(shù)據(jù)相似性的判別能力，本文采用文獻[19]支持向量機高斯核、線性核的組合核函數(shù)來計算T(i,j)，得到數(shù)據(jù)樣本集X的模糊相似度矩陣T。所用的高斯核函數(shù)為：

(3)

所用的線性核函數(shù)為:

(4)

其中,d(xi,xj)為xi和xj的歐氏距離，dmax為各數(shù)據(jù)樣本間歐氏距離的最大值。由此構建X的模糊相似度矩陣T為：

T(i,j)=(1-γ)·K1(xi,xj)+γ·K2(xi,xj)

(5)

其中,γ為核函數(shù)組合系數(shù)，用文獻[19]的半定規(guī)劃法計算。采用核函數(shù)計算模糊相似度矩陣，有利于提高FJP算法對非線性數(shù)據(jù)特征的辨識能力，從而有利于減少傳遞閉包失真[16]。

4 數(shù)值實驗

實驗環(huán)境：CPU為Intel(R) Core(TM) i5-4200M，主頻2.50 GHz，內存4 GB；操作系統(tǒng)Windows 8.1-64 bit，用Matlab (R2016a)實現(xiàn)算法。表1是測試數(shù)據(jù)集列表，前兩個是UCI數(shù)據(jù)集，后三個是人工數(shù)據(jù)集。

Table 1 Datasets in experiments表1 測試數(shù)據(jù)集列表

五個測試數(shù)據(jù)集所用的核函數(shù)參數(shù)如表2示，其中σ是高斯核函數(shù)的寬度，γ是高斯核與線性核的組合系數(shù)。參數(shù)σ和γ用文獻[19]的方法確定。

Table 2 Parameters chosen in kernel functions表2 核函數(shù)的參數(shù)列表

將本文IFJP算法與FJP-2008算法、FJP-2016算法作比較，其中FJP-2008算法采用固定的alpha值作為劃分水平，F(xiàn)JP-2016算法采用動態(tài)的alpha值作為劃分水平。用純度(Purity)和標準化互信息NMI(Normalized Mutual Information)兩個指標評價各算法的聚類效果[20]。純度(Purity)指標的定義：令X的正確聚類簇為Ω={W1,W2,…,Wk}，純度計算公式如下：

(6)

純度值越高，表示算法的聚類準確率越高。NMI指標的計算方法如下：

(7)

(8)

(9)

NMI值在[0,1]，值越大表明算法的聚類效果越好。

表3是五個測試數(shù)據(jù)集上四種算法聚類結果的比較。根據(jù)表3，計算各算法在五個測試數(shù)據(jù)集上Purity指標的平均值，IFJP算法是82.3%，F(xiàn)JP-2008算法是55.6%，F(xiàn)JP-2016算法是57.2%。因此，在Purity指標平均值上，IFJP算法比FJP-2008算法高出26.7%，比FJP-2016算法高出25.1%；而FJP-2016算法僅比FJP-2008算法高出1.6%，兩者的聚類準確度相差不大。Purity指標上的實驗結果表明：傳統(tǒng)FJP算法因傳遞閉包失真，包含了較多錯誤的關聯(lián)信息，造成聚類準確度不高，F(xiàn)JP-2016算法雖然采用了動態(tài)alpha值劃分水平但對改進聚類效果不明顯，而本文采用基于核函數(shù)的橋元素填充法計算傳遞閉包，聚類準確度均明顯優(yōu)于FJP-2008算法和FJP-2016算法。所以，基于核函數(shù)的橋元素填充法生成傳遞閉包有效地降低了傳遞閉包的失真度。根據(jù)表3，計算各算法在五個測試數(shù)據(jù)集上NMI指標的平均值，IFJP算法是82.5%，F(xiàn)JP-2008算法是21.1%，F(xiàn)JP-2016算法是25.1%，由此可知，IFJP的聚類效果比FJP-2008算法和FJP-2016算法高出1倍以上，本文提出的算法使得聚類效果顯著提升。同理，計算FCM算法Purity指標的平均值是79.9%，NMI指標的平均值是48.3%，兩指標平均值均優(yōu)于FJP-2008算法和FJP-2016算法的。這說明傳統(tǒng)的FJP算法雖然引入傳遞閉包實現(xiàn)了自動模糊聚類，但因傳統(tǒng)FJP算法的傳遞閉包計算方式存在缺陷，導致FJP聚類效果差于FCM，而本文采用基于核函數(shù)的橋元素傳遞閉包計算方法后，傳遞閉包中的關聯(lián)信息更準確，聚類精度提高，故Purity、NMI指標均優(yōu)于FCM的。綜合上述實驗結果分析，本文采用基于核函數(shù)的橋元素填充法計算傳遞閉包，有效地提高了FJP算法的聚類準確度，本文改進FJP算法聚類效果的思路是有效的、可行的。

Table 3 Comparison of clustering results among the four algorithms表3 四種算法聚類結果的比較

在表1的五個測試數(shù)據(jù)集中，Lineblobs是一個二維的數(shù)據(jù)集，并且其平面圖形的輪廓較其它測試集規(guī)整，容易從其聚類圖中觀察聚類效果的好壞，故本文選擇Lineblobs數(shù)據(jù)集制作聚類效果平面圖，如圖1示。從圖1可看出，三種FJP算法引入傳遞閉包后，利用傳遞閉包中的數(shù)據(jù)關聯(lián)信息較好識別出扭轉型曲線，但FJP-2008算法和FJP-2016算法因存在傳遞閉包失真問題，造成此數(shù)據(jù)集的三個簇僅識別出兩個，而本文改進傳遞閉包計算方式后，有效降低了傳遞閉包失真，提高了傳遞閉包中數(shù)據(jù)關聯(lián)信息的準確度，本文算法準確地識別出數(shù)據(jù)集的三個簇，取得了較好的自動聚類效果。因此，本文用橋元素填充法改進FJP算法聚類效果是有效的。

表4是四種算法在五個測試數(shù)據(jù)集上計算時間的比較，時間單位為秒(s)。在小型數(shù)據(jù)集上，例如Iris和Glass，三種FJP聚類算法的計算時間相當，但在其它三個大數(shù)據(jù)集上，本文的IFJP算法計算效率均優(yōu)于FJP-2008算法和FJP-2016算法的。傳統(tǒng)的FJP算法計算傳遞閉包時，需要反復掃描模糊相似度矩陣，所以生成傳遞閉包的計算時間較長，而本文采用橋元素填充操作取代原FJP算法的反復矩陣掃描操作，簡單而高效，提高了FJP算法的計算效率，實驗結果說明本文改進FJP算法的思路是有效的。

Table 4 Comparison of computing time of the three algorithms表4 三種算法計算時間的比較

對五個測試數(shù)據(jù)集進行復制，分別產生2倍(2×)、4倍(4×)、8倍(8×)、16倍(16×)的大型數(shù)據(jù)集，IFJP、FJP-2008、FJP-2016三種FJP算法在這些大型數(shù)據(jù)集上的計算時間隨數(shù)據(jù)集規(guī)模變化的趨勢如圖1示。由圖1可知：三種FJP算法的計算復雜度均具有多項式時間特性，前面的理論分析中曾指出：傳統(tǒng)FJP算法的計算復雜度是O(n3)，本文所提IFJP算法的計算復雜度是O(n2)，均為多項式的時間復雜度，理論分析與實驗結果符合。當數(shù)據(jù)集呈指數(shù)級(2n)增長時，本文算法的時間增加幅度明顯小于傳統(tǒng)FJP算法的，并且數(shù)據(jù)集規(guī)模越大，本文算法的計算效率優(yōu)勢越明顯。圖2的實驗結果再次驗證了本文橋元素填充法生成傳遞閉包的計算時間復雜度優(yōu)于傳統(tǒng)FJP算法的循環(huán)遍歷相似度矩陣的最大-最小模糊關系合成閉包法。

Figure 1 Running time vs.data set cardinality of three FJP algorithms圖1 三種FJP算法計算時間隨數(shù)據(jù)集規(guī)模變化的趨勢

綜合上述實驗結果分析可知：本文采用橋元素填充法計算FJP算法的傳遞閉包，有效地提高了FJP算法的計算效率和聚類精度，本文改進FJP算法的思路是有效的、可行的。

圖2是在五個測試數(shù)據(jù)集上，α劃分水平與簇數(shù)目之間的關系，它反映了FJP算法的聚類特性。從圖2可看出，當劃分水平從1逐次減少時，簇的數(shù)目也逐漸減少并趨向穩(wěn)定，從中可找出正確的簇數(shù)目。

以Lineblobs數(shù)據(jù)集為例，當劃分水平α=1時，簇數(shù)目與樣本個數(shù)相當；減少α水平，聚類產生的簇數(shù)目也隨之減少。當α劃分水平小于0.808 3時，簇數(shù)目維持1不變，剔除簇數(shù)為1的結果，出現(xiàn)劃分次數(shù)最多的簇數(shù)為3，再取所有劃分結果為3個簇的α劃分水平中最小值作為αmin，以αmin對應的聚類結果此作為IFJP算法的最終聚類結果。

Figure 2 Relationship between α and the cluster number on datasets圖2 各數(shù)據(jù)集上α劃分水平與簇數(shù)目的關系

5 結束語

傳統(tǒng)FJP算法生成的傳遞閉包存在失真問題，導致傳遞閉包中包含較多錯誤的關聯(lián)信息，造成算法計算時間復雜度較高且聚類效果不理想。本文提出基于核函數(shù)的橋元素填充法計算傳遞閉包，能有效地提高傳遞閉包的計算效率，并且降低傳遞閉包的失真，提高聚類效果。在UCI數(shù)據(jù)集和人工數(shù)據(jù)集的實驗結果表明，本文算法的計算效率和聚類效果均優(yōu)于傳統(tǒng)FJP算法的，本文改進FJP算法的思路是有效的、可行的。

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