龐博 李果 黎康 湯亮

(1 北京控制工程研究所，北京 100190)(2 北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部，北京 100094)

我國(guó)對(duì)地觀測(cè)衛(wèi)星正在向著高軌高分辨率發(fā)展[1]，這就需要姿態(tài)確定系統(tǒng)提供高精度的姿態(tài)信息。目前常用的姿態(tài)確定系統(tǒng)由星敏感器和陀螺組成，星敏感器受空間熱環(huán)境影響產(chǎn)生的低頻誤差，在很大程度上影響了有效載荷的指向以及遙感圖像的處理質(zhì)量。通過(guò)對(duì)星敏感器低頻誤差進(jìn)行在軌校正，就能獲得準(zhǔn)確的衛(wèi)星姿態(tài)信息，實(shí)時(shí)響應(yīng)并完成用戶的成像任務(wù)。

星敏感器的低頻誤差主要是指星敏感器在太陽(yáng)照射角度變化下，光軸指向發(fā)生運(yùn)動(dòng)，從而產(chǎn)生的周期性誤差，這已經(jīng)在“星上自主項(xiàng)目”(PROBA)衛(wèi)星、先進(jìn)對(duì)地觀測(cè)衛(wèi)星(ALOS)衛(wèi)星和天繪一號(hào)等多個(gè)衛(wèi)星的傳輸數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)[2-4]。哨兵2號(hào)衛(wèi)星[5]將星敏感器低頻誤差建模為一階高斯-馬爾可夫過(guò)程，通過(guò)協(xié)方差調(diào)整對(duì)星敏感器的低頻誤差進(jìn)行濾除，但是模型未能完全體現(xiàn)低頻誤差的變化趨勢(shì)，校正效果有限。文獻(xiàn)[6-7]對(duì)星敏感器的低頻誤差進(jìn)行了功率譜分析和識(shí)別，并將星敏感器的低頻誤差建模為傅里葉級(jí)數(shù)形式，設(shè)計(jì)了擴(kuò)維卡爾曼濾波對(duì)低頻誤差進(jìn)行在軌校準(zhǔn)，這種方法的校準(zhǔn)精度主要受陀螺測(cè)量精度的影響?？臻g技術(shù)實(shí)驗(yàn)和氣候觀測(cè)(STECE)衛(wèi)星上搭載著ASTRO-10星敏感器，文獻(xiàn)[8]根據(jù)星敏感器遙感數(shù)據(jù)，將傅里葉變換和Vondrak濾波方法相結(jié)合，擬合出接近真實(shí)四元數(shù)的參考值，但并未對(duì)低頻誤差參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，只適用于地面事后高精度姿態(tài)處理。文獻(xiàn)[9]分析了低頻誤差與陀螺常值漂移之間的耦合影響，并基于此設(shè)計(jì)了一種兩步雙向平滑事后處理算法，但是處理過(guò)程計(jì)算量較大且僅適用于離線處理形式。由于對(duì)地觀測(cè)衛(wèi)星可以通過(guò)有效載荷獲取角秒級(jí)的地標(biāo)方向矢量數(shù)據(jù)，文獻(xiàn)[10]采用批處理的方式，基于最小二乘算法估計(jì)星敏感器的低頻誤差參數(shù)。

在上述研究的基礎(chǔ)上，本文提出了一種新的星敏感器低頻誤差在軌校正方法，利用有效載荷提供的地標(biāo)信息，同時(shí)對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)、陀螺常值漂移和星敏感器低頻誤差參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。本文首先建立了由陀螺、星敏感器和地標(biāo)信息組成的姿態(tài)確定系統(tǒng)模型，其次根據(jù)系統(tǒng)模型的線性-非線性形式，推導(dǎo)了簡(jiǎn)化的平方根容積卡爾曼濾波(SRCKF)算法，進(jìn)一步減低了算法的計(jì)算時(shí)間，以便適合在軌實(shí)現(xiàn)。最后本文通過(guò)仿真驗(yàn)證了算法的校正效果，為高精度的姿態(tài)確定系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供參考。

1 姿態(tài)估計(jì)模型

1.1 姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

采用陀螺和星敏感器進(jìn)行組合定姿，需要根據(jù)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)建立系統(tǒng)方程，通過(guò)濾波算法進(jìn)行姿態(tài)確定，得到衛(wèi)星實(shí)時(shí)的姿態(tài)信息。陀螺是星體姿態(tài)基準(zhǔn)，僅考慮常值漂移和測(cè)量噪聲時(shí)，其角速度測(cè)量模型為

(1)

當(dāng)衛(wèi)星的姿態(tài)誤差足夠小且忽略二階小量時(shí)，誤差四元數(shù)矢量部分的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可寫(xiě)為

(2)

1.2 星敏感器測(cè)量模型

星敏感器可以通過(guò)測(cè)量視場(chǎng)內(nèi)恒星相對(duì)于衛(wèi)星本體坐標(biāo)系的方位，確定星體相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的姿態(tài)。星敏感器的測(cè)量模型具有多種形式，分別具有不同的測(cè)量誤差特性。本文根據(jù)星敏感器的光軸矢量形式，建立的測(cè)量模型為

li=AT(q)lb+vST

(3)

對(duì)地觀測(cè)衛(wèi)星繞地球旋轉(zhuǎn)，受光照影響，其所在的空間熱環(huán)境會(huì)呈現(xiàn)周期性的變化，如圖1所示。而星敏感器的低頻誤差主要由空間熱環(huán)境的變化引起，表現(xiàn)為周期與軌道周期相近的周期性信號(hào)。通過(guò)星敏感器的安裝矩陣，星敏感器低頻誤差可從星敏感器測(cè)量坐標(biāo)系下轉(zhuǎn)換為衛(wèi)星本體坐標(biāo)系下，表現(xiàn)為歐拉角的周期性擾動(dòng)信號(hào)。

圖1 空間熱環(huán)境變化示意圖

(4)

式中：ω0=2π/T是軌道角速率；T是軌道周期；t為時(shí)間；αxj、βxj、αyj、βyj、αzj和βzj(j=1,…,M)是低頻誤差的傅立葉系數(shù)；M為低頻誤差傅立葉級(jí)數(shù)的階數(shù)。實(shí)際的低頻誤差校正過(guò)程中，可根據(jù)低頻誤差輪廓擬和的精度要求，對(duì)M進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。

式(4)可寫(xiě)為

p=Φ·δp

(5)

式中：Φ為傅里葉函數(shù)矩陣；δp為傅里葉系數(shù)矩陣。

(6)

(7)

式中：c1=cos (1×ω0t)；s1=sin (1×ω0t)。

1.3 地標(biāo)信息模型

地標(biāo)是具有顯著結(jié)構(gòu)特征的地物，如海岸線、島嶼和湖泊等。通過(guò)對(duì)地遙感衛(wèi)星上的有效載荷，可以得到包含地標(biāo)信息的標(biāo)準(zhǔn)圖像，在與地標(biāo)模板圖像進(jìn)行匹配后，由地標(biāo)的地理坐標(biāo)數(shù)據(jù)和衛(wèi)星質(zhì)心的軌道數(shù)據(jù)可以計(jì)算得到衛(wèi)星質(zhì)心到地標(biāo)的方向矢量在慣性坐標(biāo)系下的表示ri。利用有效載荷的成像幾何模型和安裝矩陣，可以觀測(cè)到衛(wèi)星質(zhì)心到地標(biāo)的方向矢量在星體坐標(biāo)系下的表示rb。具體如圖2所示。

圖2 地標(biāo)幾何模型

ri和rb均為單位向量，考慮測(cè)量誤差的存在，地標(biāo)信息可以建模為

(8)

2 低頻誤差在軌校正方法

2.1 在軌校正系統(tǒng)模型

傳統(tǒng)的姿態(tài)確定系統(tǒng)模型選取衛(wèi)星姿態(tài)和陀螺常值漂移作為狀態(tài)量，利用高精度的星敏感測(cè)量值，對(duì)陀螺漂移進(jìn)行校正。而這種姿態(tài)確定方法沒(méi)有考慮星敏感器的低頻誤差，本文利用狀態(tài)擴(kuò)維的方法，將低頻誤差的傅里葉系數(shù)矩陣擴(kuò)充為狀態(tài)，同時(shí)對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)、陀螺常值漂移和低頻誤差的傅里葉系數(shù)進(jìn)行估計(jì)，以削弱星敏感器低頻誤差的影響。借助有效載荷，引入地標(biāo)信息作為測(cè)量值，加快低頻誤差系數(shù)的收斂，提高姿態(tài)確定的精度。

(9)

式中：F為線性系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，Γ為系統(tǒng)噪聲驅(qū)動(dòng)陣，wp為零均值高斯白噪聲。

(10)

為了獲得準(zhǔn)確的姿態(tài)信息，根據(jù)雙矢量定姿原理，通常選用兩個(gè)或兩個(gè)以上不平行的光軸矢量作為測(cè)量信息。本文所采用的星敏感器測(cè)量模型和地標(biāo)信息模型具有一定的相似性，但只有星敏感器的測(cè)量信息受低頻誤差的影響。假設(shè)有兩個(gè)星敏感器和兩個(gè)地標(biāo)，則觀測(cè)方程可以寫(xiě)為

(11)

2.2 簡(jiǎn)化SRCKF算法

由于在軌校正的模型是非線性模型，為了提高數(shù)值的穩(wěn)定性和精度，本文引入了SRCKF算法。SRCKF算法是一種采用貝葉斯理論描述后的非線性狀態(tài)估計(jì)方法，直接用協(xié)方差矩陣的平方根形式，其在濾波過(guò)程中進(jìn)行遞推更新，可以降低計(jì)算復(fù)雜度，保證協(xié)方差矩陣的非負(fù)定性，提高濾波的收斂速度和數(shù)值穩(wěn)定性[11]。

考慮如下離散非線性系統(tǒng)

(12)

式中：xk和zk分別為非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)在k時(shí)刻的n維狀態(tài)向量和m維測(cè)量向量；f(·)和h(·)為非線性的狀態(tài)函數(shù)和測(cè)量函數(shù)；wk-1和vk為互不相關(guān)零均值高斯白噪聲，對(duì)應(yīng)的協(xié)方差分別為Qk-1和Rk。

SRCKF算法的核心在于計(jì)算高斯加權(quán)的多維非線性函數(shù)積分，而通過(guò)容積準(zhǔn)則，引入容積點(diǎn)和對(duì)應(yīng)權(quán)值，可將笛卡爾坐標(biāo)系下的積分計(jì)算轉(zhuǎn)換為某個(gè)多維幾何體的容積計(jì)算。

SRCKF算法主要可以分為時(shí)間更新和量測(cè)更新兩個(gè)部分，其中時(shí)間更新的計(jì)算過(guò)程如下。

1)容積點(diǎn)

(13)

2)容積點(diǎn)傳播

(14)

3)狀態(tài)預(yù)測(cè)均值

(15)

式中：wu為基本容積點(diǎn)向量ξu對(duì)應(yīng)的權(quán)值。

4)狀態(tài)預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差矩陣的平方根矩陣

(16)

SRCKF算法適用于如式(12)所示的非線性系統(tǒng)，本文所提的星敏感器低頻誤差在軌校正系統(tǒng)模型由式(9)和式(11)組成，其中狀態(tài)方程為線性形式，測(cè)量方程為非線性形式。為了使SRCKF算法更適應(yīng)在軌校正系統(tǒng)模型，可以利用線性的處理方法對(duì)時(shí)間更新過(guò)程進(jìn)行改進(jìn)。

根據(jù)式(9)，將式(13)和式(14)帶入到式(15)中，有

(17)

(18)

(19)

用式(17)和式(19)代替SRCKF算法中的時(shí)間更新部分，即可得到基于線性-非線性系統(tǒng)模型的簡(jiǎn)化SRCKF算法。

tSR=(4n3+2n2+2n)t1+(4n3+

4n2+2n)t2+9n2t3

(20)

tSSR=(n3+n2)t1+(n3+n2)t2+4n2t3

(21)

對(duì)比式(20)和式(21)可以發(fā)現(xiàn)，簡(jiǎn)化SRCKF算法明顯降低了時(shí)間更新過(guò)程的計(jì)算時(shí)間，有利于算法的實(shí)時(shí)運(yùn)行。對(duì)于線性的狀態(tài)方程，簡(jiǎn)化SRCKF算法與SRCKF算法具有相同的數(shù)值理論估計(jì)精度，并且因?yàn)榻档土薗R分解中矩陣的維數(shù)，使得簡(jiǎn)化SRCKF算法具有更高的數(shù)值穩(wěn)定性。

2.3 在軌校正方法實(shí)施

采用地標(biāo)信息對(duì)星敏感低頻誤差進(jìn)行校正時(shí)，需要將地面典型地標(biāo)庫(kù)存儲(chǔ)為模板圖像，后續(xù)與衛(wèi)星載荷拍攝的圖像進(jìn)行識(shí)別和處理均通過(guò)星上計(jì)算機(jī)來(lái)完成。如果星上計(jì)算機(jī)的計(jì)算能力有限，也可以將遙測(cè)數(shù)據(jù)傳往地面站，在地面處理得到星敏感低頻誤差的信息，再上傳到衛(wèi)星上進(jìn)行校正。但由于非在軌實(shí)時(shí)校正，校正精度會(huì)有所下降。

圖3 在軌校正方法Fig.3 On-orbit calibration method

3 仿真分析

以三軸穩(wěn)定對(duì)地觀測(cè)衛(wèi)星作為算例進(jìn)行仿真，假定衛(wèi)星運(yùn)行在軌道周期為100 min的近圓軌道上。陀螺的常值漂移設(shè)為[1.0 1.2 -0.8]T(°)/h，陀螺的角度隨機(jī)游走系數(shù)和角速率隨機(jī)游走系數(shù)分別是1.5×10-4(°)/h1/2和6.5×10-2(°)/h3/2。星敏感器的測(cè)量噪聲由光軸方向的隨機(jī)噪聲和低頻誤差組成，其中隨機(jī)噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差為1″，低頻誤差的輪廓基于在軌遙測(cè)數(shù)據(jù)建立，可采用典型的誤差參數(shù)進(jìn)行擬合，如表1所示[7]。有效載荷的采樣周期為15 min，每次觀測(cè)兩個(gè)地標(biāo)點(diǎn)，獲得兩個(gè)地標(biāo)信息，兩個(gè)地標(biāo)點(diǎn)之間的角距為6°，每個(gè)地標(biāo)信息的測(cè)量誤差標(biāo)準(zhǔn)差為1″。令陀螺和星敏感器的采樣周期為1 s，地標(biāo)點(diǎn)的采樣周期為15 min，濾波周期為1 s，仿真時(shí)長(zhǎng)為5個(gè)軌道周期。在軌校正方法中，狀態(tài)量里包含三個(gè)周期的所有低頻誤差系數(shù)。

表1 典型低頻誤差系數(shù)

首先，不對(duì)星敏感器的低頻誤差進(jìn)行校正，觀察星敏感器低頻誤差對(duì)姿態(tài)精度的影響。即采用傳統(tǒng)的卡爾曼濾波方法，直接利用陀螺的輸出數(shù)據(jù)和含有低頻誤差的星敏感器輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行姿態(tài)確定，獲得的衛(wèi)星姿態(tài)誤差如圖4所示。從圖4中可以看出，三軸都存在明顯的周期信號(hào)，且周期與星敏感器低頻誤差的周期相似，說(shuō)明傳統(tǒng)的姿態(tài)確定方法無(wú)法消除星敏感器低頻誤差的影響。

圖4 無(wú)星敏感器低頻誤差補(bǔ)償?shù)男l(wèi)星姿態(tài)誤差Fig.4 Satellite attitude errors without star sensor LFE compensation

其次，驗(yàn)證在軌校正方法的有效性。本文提出的簡(jiǎn)化SRCKF方法，結(jié)合有效載荷提供的地標(biāo)信息，對(duì)星敏感器的低頻誤差進(jìn)行在軌校正。為了驗(yàn)證校正方法中加入地標(biāo)信息的有效性，采用觀測(cè)量中無(wú)地標(biāo)信息的在軌校正方法進(jìn)行對(duì)比，獲得的三軸姿態(tài)誤差如圖5～7所示。

通過(guò)圖5～7可以看出，分別采用兩種方法得到的衛(wèi)星姿態(tài)誤差在穩(wěn)定后都已無(wú)明顯的周期項(xiàng)，且姿態(tài)確定的精度具有顯著提升。其中采用無(wú)地標(biāo)信息校正方法得到的姿態(tài)誤差約在2個(gè)軌道周期后達(dá)到穩(wěn)定，采用有地標(biāo)信息校正方法下得到的姿態(tài)誤差約在1.3個(gè)軌道周期后達(dá)到穩(wěn)定。相比于未加地標(biāo)信息得到的姿態(tài)誤差，加入地標(biāo)信息后得到的姿態(tài)誤差在滾動(dòng)軸和俯仰軸上波動(dòng)較小、穩(wěn)定度較高，但其在偏航軸上姿態(tài)誤差反而增大。這是由于多個(gè)類似光軸形式的地標(biāo)信息之間無(wú)法具有足夠的角距，來(lái)對(duì)偏航方向的姿態(tài)誤差進(jìn)行有效的幾何約束，才導(dǎo)致偏航軸的姿態(tài)誤差較大。為了更準(zhǔn)確的描述星敏感器低頻誤差補(bǔ)償后姿態(tài)確定的精度，表2中給出了幾種仿真情況下，衛(wèi)星三軸姿態(tài)誤差的均方根?？梢钥闯?，采用有地標(biāo)信息的在軌校正方法會(huì)將姿態(tài)估計(jì)誤差降低40%以上。

最后，分析當(dāng)?shù)貥?biāo)信息的測(cè)量誤差標(biāo)準(zhǔn)差增大時(shí)，對(duì)在軌校正方法的影響。令地標(biāo)信息的測(cè)量誤差標(biāo)準(zhǔn)差由1″增加到2″，三軸姿態(tài)誤差均方根也隨之明顯增大，見(jiàn)表2，可以看出，采用地標(biāo)信息時(shí)，地標(biāo)信息的測(cè)量誤差標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)當(dāng)小于等于星敏感器隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差。

圖5 滾動(dòng)姿態(tài)誤差比較Fig.5 Comparison of roll attitude error

圖6 俯仰姿態(tài)誤差比較Fig.6 Comparison of pitch attitude error

圖7 偏航姿態(tài)誤差比較Fig.7 Comparison of yaw attitude error

類型姿態(tài)誤差均方根/(″)滾動(dòng)角俯仰角偏航角無(wú)低頻誤差校正3.694.002.87無(wú)地標(biāo)在軌校正0.320.270.30有地標(biāo)在軌校正0.130.162.12有地標(biāo)在軌校正(地標(biāo)測(cè)量誤差標(biāo)準(zhǔn)差增大)0.370.271.75

通過(guò)幾次仿真對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，本文所提基于地標(biāo)的低頻誤差在軌校正方法在滾動(dòng)軸和俯仰軸上具有最高的姿態(tài)確定精度。雖然該方法的姿態(tài)確定精度在偏航軸上有所下降，但仍優(yōu)于未進(jìn)行低頻誤差校正方法的姿態(tài)確定精度。校正過(guò)程中，每一次地標(biāo)信息的引入，都會(huì)降低姿態(tài)誤差的大小，因此當(dāng)無(wú)法持續(xù)獲得地標(biāo)信息時(shí)，也可以采用本文所提方法對(duì)星敏感器低頻誤差進(jìn)行在軌校正。另外，該方法的姿態(tài)確定精度受地標(biāo)的測(cè)量精度影響，當(dāng)?shù)貥?biāo)的測(cè)量誤差增大時(shí)，姿態(tài)確定的精度會(huì)相應(yīng)地降低。

4 結(jié)束語(yǔ)

為了削弱星敏感器低頻誤差對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)確定精度的影響，將有效載荷觀測(cè)到的地標(biāo)信息引入到對(duì)低頻誤差的在軌校正方法中?；谠谲壭Ｕ南到y(tǒng)模型，推導(dǎo)了簡(jiǎn)化的SRCKF算法，以保證算法的實(shí)時(shí)運(yùn)行。仿真表明，與無(wú)地標(biāo)信息的在軌校正方法相比，引入地標(biāo)信息的在軌校正方法令姿態(tài)估計(jì)誤差的穩(wěn)定時(shí)間減少了35%，均方根降低40%以上，其改善效果與地標(biāo)信息的測(cè)量精度有關(guān)。

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