等距離大圓航線設(shè)計方法

朱銀兵， 李 豹， 曹可勁

(海軍工程大學(xué) 電氣工程學(xué)院，武漢 430033)

在航海上，航線設(shè)計通常有恒向線、大圓航線和混合航線等3種方法，其中恒向線較為常用，但當(dāng)船舶所經(jīng)過區(qū)域的緯度較高、橫跨經(jīng)度差較大時，采用大圓航線設(shè)計的航程往往更經(jīng)濟(jì)。當(dāng)前對大圓航線的研究比較多，但主要集中在等經(jīng)差大圓航線[1-9]設(shè)計方法上，該方法已在航海上得到廣泛應(yīng)用。此外，文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[10]涉及等距離的大圓航線設(shè)計方法，但文獻(xiàn)[7]并未對該方法進(jìn)行具體描述，而文獻(xiàn)[10]只給出一種近似計算方法，在實際應(yīng)用中存在一定的局限性。研究分析結(jié)果表明，現(xiàn)有等距離大圓航線設(shè)計方法在高緯度地區(qū)、起始點與到達(dá)點的緯度接近等情況下的設(shè)計結(jié)果不可信，且在某些特殊情況下求解最后一段航向時起始航向角計算可能出現(xiàn)奇異現(xiàn)象。為解決上述問題，本文從球面三角形基本原理出發(fā)，推導(dǎo)等距離大圓航線的設(shè)計過程，從根本上解決上述問題，使算法具有普遍意義上的廣泛適用性，從而具備推廣應(yīng)用價值。

1 等距離大圓航線設(shè)計算法

文獻(xiàn)[10]給出的方法存在不足的根源是在計算分段之后的各中間點的地理坐標(biāo)時，需依據(jù)經(jīng)度差和緯度差符號確定迭代過程中緯度變化量Δφ的符號；同時，后一級中間點的計算是由前一級中間點計算的結(jié)果推導(dǎo)得到的，導(dǎo)致計算過程中的誤差存在傳導(dǎo)效應(yīng)，使得起始航向角計算可能出現(xiàn)奇異現(xiàn)象。為從根本上解決該問題，本文基于球面三角形特性，從原理上推導(dǎo)等距離大圓航線設(shè)計方法。

圖1為等距離大圓航線設(shè)計算法，假設(shè)航線起始點和目標(biāo)點的地理坐標(biāo)分別為點A(φ1,λ1)和點B(φ2,λ2)，根據(jù)球面三角余弦定理可得A、B兩點間的大圓弧距為

S=arccos(sinφ1sinφ2+cosφ1cosφ2cosΔλ)

(1)

式(1)中：S為大圓總弧距；點A與點B間的經(jīng)度差為Δλ=λ2-λ1。根據(jù)等距離分段基本要求，可將大圓弧距S按一定弧距長度d劃分為n段，有

(2)

根據(jù)球面三角形特性，可得起點A到目標(biāo)點B的起始航向角C滿足

(3)

式(3)中：C可根據(jù)以下規(guī)則確定，即

(4)

根據(jù)上述假設(shè)，以弧長d為基準(zhǔn)進(jìn)行分段，中間點可表示為Di(φi,λi)，其中i=1,2,…，n-1，且Ai為起始點A與中間點Di之間的經(jīng)度差，Si(Si=id)為起始點A至中間點Di的弧距，P為極點，則在球面三角形PDiA中有

sinφi=sinφ1cossi+cosφ1sinsicosC

(5)

因此中間點Di的緯度為

φi=arcsin(sinφ1cossi+cosφ1sinsicosC)

(6)

由于

cossi=sinφ1sinφi+cosφ1cosφicosAi

(7)

因此有

(8)

可得中間點Di的經(jīng)度為

λi=λ1+Ai

(9)

2 算法性能分析

為檢驗本文設(shè)計算法的針對性和廣泛適用性，結(jié)合5個案例與文獻(xiàn)[10]進(jìn)行對比分析。

2.1 一般航線設(shè)計

為分析本文方法對一般航線設(shè)計的適用性，設(shè)定航線起點為(28°50′.00S，32°00′.00E)，目標(biāo)點為(6°30′.00S，105°00′.00E)，采用2種方法所得一般航線設(shè)計結(jié)果見表1。

表1 采用2種方法所得一般航線設(shè)計結(jié)果

在該算例中，根據(jù)式(1)計算大圓航線距離為4 319.80 n mile，采用本文方法所得設(shè)計結(jié)果超出7.33 n mile，采用文獻(xiàn)[10]方法所得設(shè)計結(jié)果超出31.96 n mile，二者差別不大，都實現(xiàn)了航線的正確規(guī)劃，即本文方法同樣適用于一般航線的設(shè)計。

2.2 高緯度區(qū)域航線設(shè)計誤差分析

為檢驗本文方法在高緯度區(qū)域航線設(shè)計的適應(yīng)性，設(shè)定航線起點為(75°30′.00S，030° 05′.00 W)，目標(biāo)點為(56°00′.00S，151°00′.00 W)，采用2種方法所得高串度區(qū)域航線設(shè)計結(jié)果見表2。

根據(jù)式(1)計算大圓航線距離為2 583.32 n mile，采用本文方法所得航線設(shè)計結(jié)果超出44.4 n mile，屬正常現(xiàn)象；采用文獻(xiàn)[10]方法所得航線設(shè)計結(jié)果的倒數(shù)第2個點與目標(biāo)點之間的距離明顯異常，導(dǎo)致航線累計距離超出1 323.5 n mile，這是由于在高緯度地區(qū)，起始點和目標(biāo)點緯度均較高，且緯度相差不大，使得大圓航線中間航點的緯度按照先增大后減小的趨勢變化。文獻(xiàn)[10]根據(jù)起始點和目標(biāo)點的緯度大小變化來確定迭代過程中的緯度變化量Δφi+1=dcosCi(其中：Δφi+1為第i+1個中間點的緯度迭代變化量；Ci為由第i個中間點計算得到的起始航向角)；該算例采用該近似計算必然導(dǎo)致中間航點的緯度逐漸減小到56°，設(shè)計的過程必將逐步偏離大圓航線，從而導(dǎo)致設(shè)計的結(jié)果不可信，設(shè)計的總距離產(chǎn)生突變。

表2 采用2種方法所得高緯度區(qū)域航線設(shè)計結(jié)果

2.3 起點和目標(biāo)點緯度相近誤差分析

為檢驗本文方法在緯度差較小情況下的適用性，設(shè)定航線起點坐標(biāo)為(25°30′.00N，121°05′.00E)，目標(biāo)點坐標(biāo)為(22°00′.00N，151°00′.00W)，采用2種方法所得緯度相近航線設(shè)計結(jié)果見表3。

表3 采用2種方法所得緯度相近航線設(shè)計結(jié)果

根據(jù)式(1)計算大圓距離為4 736.90 n mile，采用本文提出的方法得到的航線設(shè)計結(jié)果超出12.7 n mile，正常；采用文獻(xiàn)[10]中的方法得到的距離超出1 113.6 n mile，且在到達(dá)目標(biāo)點時需大角度轉(zhuǎn)向，明顯異常。設(shè)計結(jié)果不可信的原因是該算例中起始點和目標(biāo)點的緯度接近，大圓航線中間航點的緯度會按照先增大后減小的趨勢變化，而文獻(xiàn)[10]的近似處理會導(dǎo)致中間點緯度一直減小，從而偏離正確航線。

2.4 航向奇異現(xiàn)象分析

為檢驗本文方法的優(yōu)越性，設(shè)定航線起點坐標(biāo)為(34°40′.00N，140°00′.00E)，目標(biāo)點坐標(biāo)為(44°40′.00N，163°40′.00E)，采用2種方法所得航線設(shè)計結(jié)果見表4。

表4 采用2種方法所得航線設(shè)計結(jié)果

在該算例中，根據(jù)式(1)計算大圓總距離為1 240.37 n mile，采用本文提出的方法得到的航線設(shè)計結(jié)果超出約3 n mile，而采用文獻(xiàn)[10]中的方法得到的距離也僅超出4.8 n mile。從距離上看，二者差別不大：文獻(xiàn)[10]中的方法由于采用了近似計算，中間點的位置計算誤差對后續(xù)中間點的計算存在誤差積累效應(yīng)，當(dāng)積累到足夠大時，將導(dǎo)致其中某個中間點在計算其起始航向時，起始航向的正弦絕對值>1，即|sinCi|>1，從而導(dǎo)致中間點的起始航向產(chǎn)生奇異值；而本文方法則以已知的起始點為基準(zhǔn)進(jìn)行計算，從源頭上避免了中間點計算過程中的誤差積累問題，從而有效避免了航向計算的奇異值問題出現(xiàn)。

2.5 極區(qū)附近航線設(shè)計

為檢驗本文方法在極區(qū)附近的適用性，設(shè)定航線起點為(57°30′.00N，000° 00′.00E)，目標(biāo)點為(78° 00′.00N，170°00′.00E)，采用本文方法所得等距離大圓航線設(shè)計結(jié)果見表5。

表5 采用本文方法所得航線設(shè)計結(jié)果

在該算例中，根據(jù)式(1)計算大圓距離為2 661.67 n mile，采用本文方法得到的設(shè)計結(jié)果超出72.2 n mile，主要原因在于第7個點與第8個點之間原本是按照300 n mile左右距離劃分的，但因極區(qū)附近經(jīng)度跨度較大，在采用恒向線計算時，距離偏差增大，進(jìn)一步對該段作分段處理，增加中間點，會使總距離進(jìn)一步減小。由于起始點到目標(biāo)點的緯度是增大的，在采用文獻(xiàn)[10]中的方法設(shè)計時，緯度變化量Δφ取正值，使得設(shè)計結(jié)果的緯度值持續(xù)增大，到第8個點時完全偏離大圓航線，從而導(dǎo)致設(shè)計結(jié)果不可信。

綜上所述，本文方法可有效彌補(bǔ)文獻(xiàn)[10]中的方法在航線設(shè)計中存在的不足，在極區(qū)附近、高緯度地區(qū)及航線起始點與目標(biāo)點緯度接近等情況下都能實現(xiàn)等距離大圓航線的準(zhǔn)確設(shè)計，設(shè)計過程中不存在航向奇異現(xiàn)象，且能適用于一般情況下的航線設(shè)計，充分證明了本文方法的優(yōu)越性和廣泛適用性。

3 結(jié)束語

大圓航線可采用等經(jīng)差和等距離2種方法進(jìn)行設(shè)計，本文從等距離設(shè)計理念出發(fā)，針對當(dāng)前設(shè)計方法存在的不足，基于球面三角形特性推導(dǎo)等距離大圓航線的設(shè)計實現(xiàn)過程，通過對比分析說明了文獻(xiàn)[10]近似方法的使用局限性和產(chǎn)生偏差的根源，驗證了本文方法在高緯度地區(qū)、極區(qū)附近及航線起始點與目標(biāo)點緯度接近等情況下的準(zhǔn)確性和有效性，驗證了設(shè)計過程中不存在航向奇異現(xiàn)象及對一般航線設(shè)計的適用性，充分說明了本文方法的優(yōu)越性和廣泛適用性，為該方法的推廣應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。

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