向 旻 帕爾哈提 張峰瑋

(新疆工程學院采礦工程系，新疆烏魯木齊 830001)

1 引言

聲波測井是聲學原理在地球物理測井中的重要應用，其核心是運用聲波在巖層中的各種傳播規(guī)律，測量所鉆地層的地質和巖石物理參數(shù)，從而獲取地層的油、氣藏的存在與巖性等特征。早期的聲波測井只能測量沿著井壁傳播的首波(即縱波)到達的時間或幅度。隨著技術的進步，陣列聲波測井方法在近十幾年得到了不斷發(fā)展。陣列聲波測井儀具有多個接收探頭，以不同的組合方式接受聲波信號。相比于早期的聲波測井，其探測深度更大，并且可以接收多種不同類型的波[1-7]。在進行聲波測井信號分析時，時間域方法與頻率域方法是兩類主要的方法[8，9]。但是，由于聲波信號是一種非平穩(wěn)信號，其中任意一種方法都無法避免時間域與頻率域的局部化問題[10]，也就是說，如果想要研究信號的時間域信息，就無法同時得到其頻率域信息；而如果想要研究信號的頻率域信息，就無法同時得到其時間域信息。為了解決這些問題，可以采用時頻分析方法對其進行處理。時頻分析方法在地學領域已經有了廣泛的應用，其種類繁多，主要分為線性與非線性兩類。其中，線性方法包括Gabor變換[11]、小波變換[12]、Hilbert-Huang變換[13]、分數(shù)階Fourier變換[14]等；非線性方法又稱時頻分布，主要包括Cohen類雙線性時頻分布[15]和Affine類雙線性時頻分布[16]等。時頻分析可以給出信號的時間、頻率和幅度三者之間的關系，但是，陣列聲波測井信號往往由多種成分組成，且各成分幅度相差很大，這使時頻分布圖很難將信號所有的成分展現(xiàn)出來，這就應該考慮通過濾波將各組分波分別進行提取。傳統(tǒng)的濾波方式主要在頻率域進行，而陣列聲波測井信號的各組分波之間頻率比較接近，所以，頻率域濾波往往難以取得良好的效果。

在這些時頻分析方法中，結合時頻分析的相關數(shù)學理論以及筆者近年來的研究[17-19]，本文對時頻分析方法進行了改進，利用分數(shù)階Fourier變換的旋轉特性對陣列聲波測井信號的Born-Jordan分布進行時頻域濾波，分別得到縱波和橫波的時頻分布，改變了傳統(tǒng)的頻率域濾波對相同頻率的不同成分無能為力的缺點，以及過去只能研究整體信號時頻特征的劣勢。再將縱波和橫波的時頻分布與原始信號中斯通利波的時頻分布相結合，可以探索出一種利用陣列聲波測井信號時頻特征識別裂縫的新方法。

2 分數(shù)階Fourier變換簡介

分數(shù)階Fourier變換是一種新興的且發(fā)展很快的時頻分析方法，由Condon于1937年提出。在隨后的數(shù)十年中，Namias[20]、McBride等[21]、 Loh-mann[22]、Almeida[23]以及Shih[24]陸續(xù)發(fā)展了其數(shù)學理論。1995年Shih提出了一種分數(shù)階Fourier變換的定義形式——態(tài)函數(shù)疊加的方法。他利用經典Fourier變換整數(shù)冪運算的4周期性質將分數(shù)階Fourier變換定義成4個態(tài)函數(shù)的線性組合，其組合系數(shù)是分數(shù)階Fourier變換冪次的函數(shù)。

(1)連續(xù)性公理，即分數(shù)階Fourier變換是連續(xù)性的變換；

(2)邊界性公理，即當α是整數(shù)時，分數(shù)階Fourier變換等價于經典Fourier變換；

(3)交換可加性公理，即對于任意的α和β，分數(shù)階Fourier變換的階數(shù)具有可加性，即

(1)

則該信號α階分數(shù)階Fourier變換可寫成

(2)

式中：g0(t)=g(t)，g1(t)=F[g0(t)]，g2(t)=F[g1(t)]，g3(t)=F[g2(t)]；t為時間；j表示第j個分量。

分數(shù)階Fourier變換具有一種獨特的旋轉特性，利用這一性質，可以獲得某一信號在不同階數(shù)下的時頻分布。

3 Born-Jordan分布簡介

1966年，Cohen提出了具有雙線性形式時頻分布的一般表達式[25]。對于信號g(t)，其Cohen類時頻分布表達式可以寫為

(3)

式中:f為頻率；h(θ,τ)為核函數(shù);θ為核函數(shù)中的頻率變量；μ為過渡時間變量；τ為核函數(shù)中的時間變量。

(4)

式中a是常數(shù)。

BJDg(t,f)

(5)

4 不同性質地層的陣列聲波測井信號時頻特征

本文涉及的所有數(shù)據(jù)均來自中國大陸科學鉆探(CCSD)，儀器采用阿特拉斯公司制造的多極子陣列聲波測井儀(MAC)。 圖1包括了某地層陣列聲波測井原始信號及其Born-Jordan分布。由于幅度與能量呈正相關的關系，所以信號的幅度特征可以用來衡量能量的分布情況。利用陣列聲波測井原始信號只能得到信號的時間域信息，不能同時得到信號的頻率域信息，而利用該信號的Born-Jordan分布，可以同時得到信號的時間域和頻率域信息，但是信號中的斯通利波幅度遠高于其他各組分波，以至于其他各組分波難以在圖中顯示，無法有效識別。

圖1 陣列聲波測井原始信號(a)及其Born-Jordan分布(b)

分數(shù)階Fourier變換具有一種獨特的時頻域旋轉特性，而不同的旋轉角度則代表不同的域。對于分數(shù)階Fourier變換，當階數(shù)α=0時，相當于信號沒有進行變換，反映信號的時間域信息；當階數(shù)α=1時，相當于對信號進行了傳統(tǒng)Fourier變換，反映信號的頻率域信息；而當階數(shù)在0～1之間時，則反映信號在時間域和頻率域之間的某一過渡域的信息。將不同階數(shù)的分數(shù)階Fourier變換與Born-Jordan分布相結合，可以得到處于不同域的信號的時頻分布。不同域的信號在時頻分布圖中具有不同的時間和頻率特征，因此，利用這一特點可以在時頻域進行濾波，以獲取各組分波的時頻特征。

本文所介紹的方法具體步驟如下。

首先，提取橫波的時頻分布。對圖1中的陣列聲波測井信號做高通濾波，截止頻率f1=5kHz，濾去幅度較高的低頻斯通利波，結果如圖2所示(為了直觀，處理的過程采用二維影像圖)。

可以看出，傳統(tǒng)的頻率域濾波并不能濾除頻率與橫波接近的斯通利波及偽瑞利波。這時，對圖2做0.5階分數(shù)階Fourier變換，結果如圖3所示。

由于信號所處的域發(fā)生了變化，所以信號的時間與頻率也發(fā)生了變化。這樣可以選取截止頻率f2=13kHz，對信號進行高通濾波。之后，再做-0.5階分數(shù)階Fourier變換，對信號所處的域進行還原，結果如圖4所示。

圖4中橫波已基本提取完畢，但之前的兩次濾波主要針對頻率與橫波相近或者低于橫波的斯通利波和偽瑞利波，頻率略高于橫波的成分也會有所殘留，所以可以對圖4數(shù)據(jù)做-0.3階分數(shù)階Fourier變換，結果如圖5所示。

圖2 濾除低頻斯通利波后信號的Born-Jordan分布

圖3 對圖2做0.5階分數(shù)階Fourier變換后的

選取截止頻率f3=4kHz，對信號進行低通濾波。之后，再做0.3階分數(shù)階Fourier變換，將信號所處的域進行還原。這樣就得到了橫波的時頻分布(圖6)。

圖4 第二次高通濾波后信號的Born-Jordan分布

圖5 對圖4數(shù)據(jù)做-0.3階分數(shù)階Fourier變換后的

圖6 橫波的Born-Jordan分布

然后，提取縱波的時頻分布。提取縱波的步驟與提取橫波基本一致，只需把上述3個截止頻率分別設為f1=10kHz、f2=16kHz以及f3=3kHz即可。圖7為縱波的時頻分布。

圖7 縱波的Born-Jordan分布

下面分別選取致密性地層和裂縫性地層通過上述手段進行研究。

圖8為CCSD井660m處典型致密性地層的測井信號及Born-Jordan分布?？v波位于0.3～0.6ms、10～13kHz之間，主頻約為11.5kHz，波峰的幅度大約為20左右；橫波位于0.8～1.1ms、 6～10kHz之間，主頻約為8kHz，波峰的幅度大約為2.5×104；斯通利波位于2～3ms、 0～10kHz之間，以低頻為主，主頻約為3kHz，波峰的幅度大約為4×106；偽瑞利波的時間跨度比較大，波至時間略晚于橫波，一直持續(xù)到波列最后，幅度相對較低，波峰幅度約為5×103。整體來看，由于該處是典型的致密地層，未見明顯的構造現(xiàn)象，各組分波的時間、頻率和幅度不會出現(xiàn)異常變化，所以，可將圖8作為本文的參照標準。

圖9為CCSD井606m處的構造破碎帶的測井信號及Born-Jordan分布?？v波位于0.5～0.8ms、9～12kHz之間，主頻約為10.5kHz，波峰的幅度大約為0.18；橫波位于0.8～1.2ms、4～10kHz之間，主頻約為7kHz，波峰的幅度大約為4×103；斯通利波位于2.1～2.9ms、0～10kHz之間，以低頻為主，主頻約為3kHz，波峰的幅度大約為1.0×104；偽瑞利波有1個比較明顯的波峰，位于3.5ms、3kHz，幅度約為5.0×103。

圖10為CCSD井704m處的構造破碎帶的測井信號及Born-Jordan分布。縱波位于0.5～0.8ms、9～12kHz之間，主頻約為10.5kHz，波峰的幅度大約為1.5；橫波位于0.8～1.2ms、5.0～10kHz之間，主頻約為7kHz，波峰的幅度大約為60；斯通利波位于2.1～2.9ms、0～10kHz之間，以低頻為主，主頻約為3kHz，波峰的幅度大約為4.0×103；偽瑞利波出現(xiàn)了2個波峰，分別位于0.5～0.8ms、9～12kHz之 間，主頻約為10.5kHz，波峰的幅度大約為10；橫波位于0.8～1.2ms、5～10kHz之間，主頻約為7kHz，波峰的幅度大約為700； 斯通利波位于2.5～3.0ms、0～10kHz之間，以低頻為主，主頻約為3kHz，波峰的幅度大約為4×103； 偽瑞利波有一個比較明顯的波峰，位于3ms、3kHz，幅度為4.2×103左右。

圖8 660m處陣列聲波測井信號及其Born-Jordan分布

圖9 606m處陣列聲波測井信號及其Born-Jordan分布

圖10 704m處陣列聲波測井信號及其Born-Jordan分布

圖11 842m處陣列聲波測井信號及其Born-Jordan分布

將圖9、圖10、圖11與圖8進行對比，可以總結出裂縫性地層的時頻特征。

第一，從聲波全波列時頻分布圖來看，對于致密性地層，由于斯通利波的幅度遠高于縱波、橫波和偽瑞利波，所以只會出現(xiàn)一個明顯的波峰，由低頻斯通利波產生；而對于裂縫性地層，波峰的數(shù)量至少為2個，除了斯通利波以外，可能由橫波或者偽瑞利波產生。斯通利波是一種低頻、低速、且能量較高的面波。斯通利波對于滲透性地層十分敏感，其能量會隨著井中流體流入地層而大量衰減。因此，相比于致密性地層，裂縫性地層中的斯通利波幅度要低2個數(shù)量級以上，且所處時間段縮短。由于裂縫性地層中的斯通利波衰減程度遠大于縱波、橫波和偽瑞利波，所以，斯通利波與縱波、橫波和偽瑞利波之間的幅度差距明顯縮小，這使得橫波和偽瑞利波均能夠明顯地出現(xiàn)在聲波全波列時頻分布圖中。

第二，相比于致密性地層，裂縫性地層中縱波的波至時間較晚，主頻較低，而幅度也較低。這其中時間的變化與地層的彈性特征有關。根據(jù)縱波速度公式

(6)

縱波能量的衰減主要與質點振動時摩擦產生熱損耗有關，密度越低，熱損耗越大。由于裂縫性地層的密度小于致密性地層，所以相比于致密性地層，裂縫性地層中的縱波幅度會出現(xiàn)更嚴重的衰減，而衰減程度則由裂縫的角度、密度、尺寸等多方面因素綜合決定，因此并無明顯規(guī)律可循。

相比于致密性地層，裂縫性地層中縱波的主頻也會降低，這是由于高頻部分質點的振動更快，所以摩擦產生的熱損耗也就越多，造成了高頻部分的能量相比低頻部分衰減更劇烈，因此裂縫性地層縱波主頻出現(xiàn)了降低的現(xiàn)象。

第三，橫波的變化主要體現(xiàn)在幅度上，而在速度和主頻上變化不大。橫波能量的衰減也與地層密度成負相關的關系。相比于致密性地層，裂縫性地層中的橫波幅度會出現(xiàn)更嚴重的衰減。

根據(jù)橫波速度公式

(7)

由式(7)可見，橫波速度與剪切模量成正相關的關系，而與密度成負相關的關系。相對于致密性地層，在裂縫性地層中，剪切模量和密度在數(shù)值上的減小程度相當，使得二者的比值無明顯改變，所以造成橫波速度及橫波的波至時間無明顯變化。

除波至時間以外，在致密性地層和裂縫性地層中橫波的主頻也沒有太大的變化。這主要是由于橫波的能量較高，高頻部分較快的質點振動所帶來的能量損耗，并不會顯著降低橫波各頻率成分能量的相對大小，因而使得橫波的主頻未明顯降低。

第四，偽瑞利波時間和頻率跨度較大，二者在致密性地層和裂縫性地層中幾乎沒有區(qū)別。而偽瑞利波的幅度變化規(guī)律性比較差，相比于致密性地層，裂縫性地層中斯通利波之前的偽瑞利波幅度會出現(xiàn)一些不規(guī)則的降低，而斯通利波之后的偽瑞利波的幅度則無明顯變化。

5 結論與討論

利用分數(shù)階Fourier變換對陣列聲波測井信號的Born-Jordan分布進行時頻域濾波，能夠獲取信號各組分波的時頻特征，便于研究聲波信號在不同性質地層中的時頻分布規(guī)律。根據(jù)文中的一系列探索，可以得到如下結論。

(1)在聲波全波列時頻分布圖中，對于致密性地層而言，斯通利波幅度遠高于縱波、橫波和偽瑞利波，因而往往只有斯通利波一個明顯的波峰；而對于裂縫性地層而言，斯通利波能量出現(xiàn)顯著衰減，所以往往會出現(xiàn)2個以上的波峰，由斯通利波及橫波或者偽瑞利波形成。

(2)在縱波時頻分布圖中，相對于致密性地層而言，裂縫性地層中的縱波由于體積模量、剪切模量的減小，熱損耗增加，其波至時間延遲，主頻降低，同時幅度衰減增大。

(3)在橫波時頻分布圖中，相對于致密性地層而言，裂縫性地層中的橫波由于熱損耗的增加，其幅度衰減增大。而該井中的幾處裂縫未明顯改變剪切模量與密度的比值，所以橫波波至時間沒有差異。同時，橫波本身能量較高，裂縫性地層也未改變橫波各頻率成分能量相對大小，因而各地層橫波主頻也未發(fā)生明顯變化。

(4)相對于致密性地層而言，裂縫性地層中的偽瑞利波在時間和頻率特征上未出現(xiàn)明顯變化，而在幅度上，斯通利波之前的偽瑞利波幅度會出現(xiàn)一些不規(guī)則的降低，而斯通利波之后的偽瑞利波的幅度則無明顯變化。

本文所介紹的方法很大程度上利用了分數(shù)階Fourier變換的旋轉特性，通過改變階數(shù)得到需要的圖像，繼而進行時頻域濾波。階數(shù)的選擇并不是一成不變的，其與聲源的激發(fā)頻率有關，可以根據(jù)實際情況靈活選取。而Born-Jordan分布則是一種Cohen類雙線性時頻分布。除此以外，Cohen類時頻分布的成員很多，如Wigner分布、Page分布、Rihaczek分布等，不同的分布具有不同的優(yōu)點。為了獲得不同的效果，上述Cohen類時頻分布大都可以與分數(shù)階Fourier變換相結合。筆者將在這些方面開展進一步的研究。