汪敏慶,黃文念,方立婉

(廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣西桂林 541006)

1 引言及主要結(jié)果

考慮以下非線性Schr?dinger-Maxwell方程基態(tài)解的存在性.

這樣的方程又被稱(chēng)為Schr?dinger-Poisson方程.在量子力學(xué)中,該方程可描述帶電粒子與電磁場(chǎng)的相互作用(關(guān)于物理方面的更多的描述可詳見(jiàn)文獻(xiàn)[1]).

過(guò)去的幾十年里,在臨界點(diǎn)理論和變分法的幫助下,類(lèi)似于系統(tǒng)(1.1)的系統(tǒng)的解的存在性、不存在性和多重性得到了廣泛的研究,具體可參考文獻(xiàn)[2–4].進(jìn)一步地,當(dāng)V(x)≡K(x)≡1,f(x,u)=|u|p?1u,1

對(duì)V,K,b,g有以下假設(shè)

(V)V(x)∈C1(R3,R),V(x)≥ a1>0,其中a1>0是一個(gè)常數(shù).對(duì)每一個(gè)M>0,meas{x∈R3,V(x)≤M}<∞.

(K)K ∈L∞(R3,R),對(duì)任意的x∈R3,有K(x)≥0.

(B)b:R3→R+是一個(gè)正連續(xù)函數(shù),并且,其中 0

(g1)g(x,u)∈C(R3×R,R),g在xi(i=1,2,3)中是1-周期的,且|g(x,u)|≤C(1+|u|q?1),其中 2

(g2)當(dāng)u→0時(shí),對(duì)所有的x∈R3,有g(shù)(x,u)=o(u).

(g3)當(dāng)u→∞時(shí),對(duì)所有的x∈R3,有

(g4)對(duì)任意的(x,u)∈(R3,R),有其中G(x,u)

對(duì)于系統(tǒng)(1),主要的結(jié)果如下

定理 1.1 假設(shè)(V),(K),(B),(g1)–(g4)成立,則系統(tǒng)(1.1)存在一個(gè)基態(tài)解,其中C>0表示一系列不同的正常數(shù).

2 預(yù)備知識(shí)及相關(guān)引理

定義下列函數(shù)空間H1(R3)={u∈L2(R3)|?u∈(L2(R3)3}.對(duì)應(yīng)的范數(shù)為

定義函數(shù)空間D1,2(R3):={u∈L2?(R3):?u∈(L2(R3)3}.對(duì)應(yīng)范數(shù)為

令

則E是一個(gè)Hilbert空間,對(duì)應(yīng)的內(nèi)積為

記∥·∥為L(zhǎng)s(R3)下的范數(shù),H=為H(R3)空間中徑向函數(shù)的子空間,則H 可以緊嵌入Ls(R3),其中s∈(2,6)[16].再記

則E是連續(xù)嵌入到Ls(R3)中的,s∈[2,2?],這里的2?=6是在三維空間里Sobolev嵌入的臨界指數(shù).因此,存在一個(gè)常數(shù)C>0,使得

其中

是在Lebesgue空間Ls(R3)下的范數(shù).

因?yàn)镵 ∈L∞(R3,R),故對(duì)每一個(gè)u∈E,由H?lder不等式,有

由Lax-Milgram 定理(詳見(jiàn)文獻(xiàn)[11])可知,對(duì)任意的u∈E,存在唯一的?u∈D1,2(R3),使得

對(duì)于?u,可以寫(xiě)成下列積分形式

故由x∈R3,K(x)≥0可知,?u(x)≥0.結(jié)合(2.1)和(2.2)式,有

因此由H?lder不等式和(2.1)式,有

定義泛函I:E→R

從上面的討論可知I是C1的,并且I的臨界點(diǎn)就是問(wèn)題(1.1)的解.進(jìn)一步地,由(2.3)式有

如果u∈E 是泛函Φ的一個(gè)臨界點(diǎn)(也就是Φ′(u)=0),則(u,?u)是系統(tǒng)(1.1)的一個(gè)解.進(jìn)一步地,對(duì)任意的u,v∈E,有

特別地,

定義對(duì)應(yīng)的 Nehari流形為 N={u ∈ E:?Φ′(u),u?=0}.設(shè) (X,∥·∥)為 Hilbert空間,{ej}為其一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,令

定義2.1設(shè)E是一個(gè)實(shí)Banach空間,Φ∈C1(E,R),c∈R.當(dāng)n→∞,un∈E時(shí),如果對(duì)任意滿足

的序列{un}?X都有收斂的子列,則稱(chēng)Φ滿足(PS)c條件.

為了證明定理1.1,我們將會(huì)利用以下形式的山路定理(詳見(jiàn)文獻(xiàn)[12,13,14]).

定理2.2[12,13,14]設(shè)E是一個(gè)實(shí)Banach空間,Φ∈C1(E,R),Φ(0)=0,對(duì)任意的c>0,Φ滿足滿足(PS)c條件,且

(i) 存在 ρ,α >0,使得 Φ|?Bρ≥ α;

(ii)存在e∈EBρ,使得Φ(e)≤0.則Φ有一個(gè)臨界值c≥α.

引理2.3[15]對(duì)任意的2≤s<2?,有

3 定理1.1的證明

引理3.1 若(V),(K),(B),(g1)–(g4)成立,e∈E{0},則

(i) 存在 ρ,α >0,使得 Φ|?Bρ≥ α.

(ii)當(dāng)|t|→∞,Φ(te)=?∞.

證 (i)由假設(shè)(g1),(g2)可知,對(duì)任意的ε>0,存在C(ε)>0,使得對(duì)所有的x∈R3,u∈R,有

因此,由中值定理,有

由引理2.3及p∈(0,1)可知,存在Re>0,使得當(dāng)∥u∥≥Re時(shí),有

于是,對(duì)于u ∈ Zk,∥u∥≥ Re,有

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(ii)由(g3)可知,對(duì)任意的M>0,存在ξ=ξ(M)>0,使得對(duì)所有的x∈R3,|u|>ξ,有

由(g1),(g2)可知,存在M1=M1(M)>0,使得對(duì)所有的x∈R3,0<|u|≤ξ,有

由(3.6)式和中值定理可知,對(duì)所有的x∈R3,|u|≤ξ,有

引理3.2若(V),(K),(B),(g1)–(g4)成立,則Φ滿足(PS)c條件.

證 設(shè)序列{un}?E

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