致廣大而盡精微

范佳樂 李剛

在現(xiàn)代科學(xué)中，很難想象有什么問題能簡潔而清晰地提出，但解答過程卻漫長而久遠(yuǎn)，在浩如煙海的知識進(jìn)攻下巋然不動。如果要揪出一二，那么或許該將矛頭指向現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展史，指向令世間智者困擾358年的費馬大定理，以及首個獲解決的千禧年大獎問題——龐加萊猜想……

數(shù)學(xué)是一種最純粹的思維形式，對局外人而言，它似乎總和枯燥、乏味脫不開干系。但在宋春偉的認(rèn)知中，人們普遍的誤解似乎只不過予以數(shù)學(xué)一層神秘的面紗，“無論是專業(yè)的數(shù)學(xué)工作者，還是初踏入研究生院抑或跨入大學(xué)殿堂不久的年輕學(xué)生，乃至對數(shù)學(xué)產(chǎn)生懵懂興趣的幼童，只要‘開了竅，大抵都能感受到數(shù)學(xué)的美和純凈?！?/p>

在組合數(shù)學(xué)這一現(xiàn)代研究領(lǐng)域，宋春偉盡可能開墾出一片天地，他說因為興趣所在所以甘之若飴。研究過程中面對不可預(yù)期結(jié)果與進(jìn)程的困難，焦慮感與沮喪感也會存在，但并不會成為他享受突破重圍那一刻狂喜的絆腳石。不為名利所困，不掛焦躁之態(tài)，宋春偉秉持學(xué)者為己的信念而行，致廣大視界于數(shù)學(xué)問題研究的精微之地。

幼稟天賦，選擇與堅持

“和人們想象不同，數(shù)學(xué)的成分并不主要是計算，它更需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明來確立結(jié)論，也需要對數(shù)學(xué)理論和現(xiàn)象的深刻理解。”數(shù)學(xué)更貼近于哲學(xué)，因反映客觀真理、不以人的意志轉(zhuǎn)移而獨具魅力。

在四五歲的年齡，宋春偉已經(jīng)表現(xiàn)出特殊的天賦。他酷愛數(shù)學(xué)，能夠心算比較復(fù)雜的乘除法，成為遠(yuǎn)近聞名的神童，“那個年代很多小孩子都立志做‘科學(xué)家，數(shù)學(xué)好的則特別指明要做數(shù)學(xué)家，我也不例外。不過我屬于比較有根據(jù)并且一直堅持下來的?！苯?jīng)過選拔，宋春偉從小學(xué)到中學(xué)參加了各類奧數(shù)競賽，每個周末都參加全市統(tǒng)一組織的奧校，不斷獲得免試或保送資格，直至作為奧數(shù)比賽優(yōu)勝者進(jìn)入吉林大學(xué)數(shù)學(xué)系的國家數(shù)學(xué)基地班。稍早時候，他的一位中學(xué)學(xué)長，東北第一位IMO金牌得主俞楊也選擇了來吉林大學(xué)數(shù)學(xué)系求學(xué)。但當(dāng)時吉林大學(xué)數(shù)學(xué)系最具優(yōu)勢的學(xué)科為偏微分方程和計算數(shù)學(xué)，宋春偉了解后發(fā)現(xiàn)自己志不在此，于是決定在研究生階段赴海外去看看。

憑借優(yōu)異的成績，他獲得全額獎學(xué)金前往美國賓夕法尼亞大學(xué)數(shù)學(xué)系攻讀直博。賓夕法尼亞大學(xué)是馮友蘭的講學(xué)之處、梁思成的求學(xué)之所，數(shù)學(xué)系更有著Calabi、Kadison、Kirillov等多位名家大師。在那里，宋春偉感受到濃郁、活躍的學(xué)術(shù)氛圍。賓夕法尼亞大學(xué)數(shù)學(xué)系教授Herbert S.Wilf曾獲得美國數(shù)學(xué)會Steele杰出研究獎，其學(xué)術(shù)淵深而富有智慧，給予他很多啟發(fā)和幫助。在讀書的那些年，著名組合學(xué)家Persi Diaconis、Noga Alon、George Andrews等都來做過報告，會后賓主共進(jìn)晚餐，宋春偉遂得以增廣見聞。而后Wilf退休，他師從James Haglund教授，并以組合數(shù)學(xué)為自己終生從事的志業(yè)。

博士畢業(yè)后，宋春偉先后赴美國波士頓學(xué)院、日本東京工業(yè)大學(xué)任教。其中，他在東京工業(yè)大學(xué)是作為該校每年全球選聘兩人的“先端特別數(shù)學(xué)講座”主講教授，也是當(dāng)時東京工業(yè)大學(xué)眾多中國學(xué)生學(xué)者里唯一的一位獨立教員。他說，因為回國工作是自始至終的夙愿，所以一直都在找機會，于2006年入職北京大學(xué)實在是莫大的幸運。“北大數(shù)學(xué)系是中國現(xiàn)代第一個大學(xué)數(shù)學(xué)科系，從1913年算起已百年有余。這里云集了國內(nèi)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)人才，有著深厚的學(xué)術(shù)積淀和純凈的研究氛圍，這是最吸引我的地方，也讓我最有歸屬感?！痹诒本┐髮W(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院優(yōu)越寬容的環(huán)境下，宋春偉得以潛心治學(xué)，“探組合之謎，究天人之道”。不標(biāo)榜成績，常存敬畏之心，他繼往而彌新，在前人研究的精髓之上突破、創(chuàng)造。

匠心獨具，做優(yōu)美的數(shù)學(xué)

現(xiàn)代數(shù)學(xué)可以分為兩大類：一類是研究連續(xù)對象的，如分析、方程等；另一類就是研究離散對象的組合數(shù)學(xué)。

提出問題，從特殊現(xiàn)象出發(fā)，歸納成為抽象理論且加以推廣，或簡化原理、加深理解，或理論統(tǒng)一、付諸應(yīng)用領(lǐng)域，數(shù)學(xué)發(fā)展如此，組合數(shù)學(xué)發(fā)展亦如此。從宋春偉的介紹中，記者了解到，組合數(shù)學(xué)是一門研究滿足一定條件的組態(tài)存在性、計數(shù)、構(gòu)造及獲得極值等方面問題的學(xué)問。大部分組態(tài)呈現(xiàn)高度的規(guī)律性，“比方說，在極值圖論中有一個以匈牙利數(shù)學(xué)家Turán命名的定理：在所有n個頂點而不含k-團的圖中，邊數(shù)最多的圖是一種盡量均勻?qū)ΨQ的（k-1）-部圖，并且這種圖是唯一的‘極圖”。

宋春偉說，數(shù)學(xué)有些東西不深入了解便無法窺得其中奧妙，由于現(xiàn)代工業(yè)文明的高度分工，很多研究看不出直接應(yīng)用在哪里，但實際上其正在為科學(xué)發(fā)展和技術(shù)突破提供支撐、相互推動。

作為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)古老而又新興的分支，組合數(shù)學(xué)受計算機發(fā)明產(chǎn)生的連帶效應(yīng)影響發(fā)展迅速?！半x散對象的處理是計算機科學(xué)的核心，研究離散對象的組合數(shù)學(xué)因此得到迅猛發(fā)展。理論計算機領(lǐng)域特別是算法分析相當(dāng)依賴組合數(shù)學(xué)。反過來，計算機科學(xué)中的問題成為組合數(shù)學(xué)發(fā)展的一個重要源泉。另一方面，我們的研究工作雖然很大程度上仍依靠人的創(chuàng)造力和靈感，但日漸強大的計算機也為解決難題提供了便利。”宋春偉解釋道。

將計數(shù)組合學(xué)與圖論作為主要研究領(lǐng)域，宋春偉表示，格路徑、組合統(tǒng)計量、置換、集合劃分等是他研究的主要對象，同時也會涉及到圖論中的重要參數(shù)、有關(guān)極值的研究以及圖的計數(shù)等?！敖M合數(shù)學(xué)的要旨之一是‘不計而計，強調(diào)有意義的雙射和組合闡釋?！痹谶h(yuǎn)古時代，人們便有著計數(shù)的行為，利用樹枝、石子等進(jìn)行簡單計數(shù)。隨著文明的進(jìn)步發(fā)展，簡單計數(shù)已經(jīng)無法滿足需求，用現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具武裝起來的計數(shù)組合逐漸發(fā)展成一門公理化、體系化的學(xué)問，日益受到數(shù)學(xué)家們的重視?！坝袝r候我們可能得不到準(zhǔn)確的結(jié)果，但可以獲得一個近似的結(jié)果。我所關(guān)注較多的是圖中有重要意義的參數(shù)和一些極值的性質(zhì)。這些和計數(shù)始終有著關(guān)聯(lián)?！彼未簜フf?；貒?，受到原“973”項目、國家自然科學(xué)基金的資助，獲首屆“黃廷方/信和青年杰出學(xué)者獎”等，他坦言心存感激。

宋春偉提出并發(fā)展了一些優(yōu)美的數(shù)學(xué)定理，他的研究成果往往有獨得之妙。著眼于廣為關(guān)注的卡特蘭數(shù)研究，他早期就曾引入一種稱為“置換路”的相當(dāng)直觀的格路徑，并找到其與n階置換群之間的一種保組合統(tǒng)計量的雙射，這個映射當(dāng)限制在Dyck路上時恰好成為保組合統(tǒng)計量的312-禁模式置換與Dyck路之間的對應(yīng)。與特殊計數(shù)序列相關(guān)的關(guān)于組合統(tǒng)計量的研究牽涉到組合學(xué)的核心，在近年的研究中方興未艾。他得到的關(guān)于m-Schr？der路徑的計數(shù)結(jié)果被數(shù)學(xué)家Sloane的整數(shù)序列大百科網(wǎng)站OEIS收錄為新的數(shù)列。

在n階置換群上關(guān)于兩個組合統(tǒng)計量des和inv的聯(lián)合分布多項式可以看作歐拉多項式的關(guān)于逆序數(shù)的q-模擬。著名組合數(shù)學(xué)家Stanley等給出過它的生成函數(shù)表達(dá)式。由于可以在n乘n格板上表示置換，宋春偉和合作者考察的更一般的限制在Ferrers板上的那些置換的聯(lián)合分布多項式就成為一種推廣。他們找到一個通過關(guān)于Ferrers板內(nèi)格路徑面積多項式的“正行列式”來表示該聯(lián)合分布多項式，如果限制在截角方板上還有更明確的表達(dá)式，可以從另一個角度解釋金芳蓉教授等獲得的一個結(jié)果。因為以上這些工作，美國斯普林格出版社邀請他撰寫一部關(guān)于格路徑和特殊計數(shù)序列的專著。

在標(biāo)記樹的計數(shù)方面，宋春偉證明了n+2個頂點之上、使得0的最小鄰居是葉子的標(biāo)記樹之個數(shù)恰好為nn，并且隨著n的增大，這種樹出現(xiàn)的概率將逼近e-2。這可以稱之為幼子獨身樹的計數(shù)定理。時至今日得到這種形式如此簡單的、前人沒有發(fā)現(xiàn)的結(jié)果確實有些令人驚訝。另外，該形式還可以推廣到具有遺傳性質(zhì)的代代幼子獨身樹，獲得有關(guān)的結(jié)果。

宋春偉的另外一個研究重點是關(guān)于極值圖論、圖的參數(shù)和圖的結(jié)構(gòu)以及與概率有關(guān)的組合數(shù)學(xué)。他近期研究過一個有趣的與概率相關(guān)的問題。假設(shè)女孩投擲的硬幣正面向上的概率為q，而男孩投擲的硬幣正面向上的概率為p，但q

“當(dāng)今，數(shù)學(xué)發(fā)揮著越來越大的作用。它不僅僅是工具，更是一種文化，這種文化體現(xiàn)了一種探索精神。”迎難而上，宋春偉針對現(xiàn)代組合學(xué)先驅(qū)Herbert J. Ryser提出的關(guān)于r-部超圖上匹配數(shù)與覆蓋數(shù)的猜想開展了研究。經(jīng)過一番嘗試、求索，他同合作者轉(zhuǎn)換思考角度，給出了臨界情況下相交超圖最少邊數(shù)的一些構(gòu)造和證明。他們的研究成果獲得國際上領(lǐng)域內(nèi)人員的廣泛引用和認(rèn)可。

建設(shè)中國的組合數(shù)學(xué)

由于需要傳承和積累，和多數(shù)自然科學(xué)的分支不同，數(shù)學(xué)家天然兼具研究和教學(xué)兩方面的職責(zé)。

在日本東京工業(yè)大學(xué)授課時，宋春偉用英文寫過一部題為“T o p i c s in Advanced Combinatorics： Extremal Combinatorics and Algebraic/ Probabilistic Methods”的講義?；貒笏o有關(guān)專家看過，但沒有正式出版。后來將講義中的一些材料融進(jìn)合作的《組合數(shù)學(xué)》一書中，形成關(guān)于代數(shù)方法和概率方法的兩章，而這兩部分內(nèi)容在國內(nèi)著作中是比較新穎的，起到介紹新知識的作用。書中的很多內(nèi)容體現(xiàn)了他的組合數(shù)學(xué)思想。

宋春偉表示，如今許多青少年未能充分感受到數(shù)學(xué)的美和純凈，他們或是尚未接觸到最優(yōu)雅的數(shù)學(xué)，或是因課業(yè)壓力、缺乏足夠的引導(dǎo)等客觀原因使然。不過他堅信，數(shù)學(xué)研究不會因此而蒙塵，因為只要踏入數(shù)學(xué)花園略窺堂奧即不難欣賞到數(shù)學(xué)之美的動人心魄。他指出，數(shù)學(xué)的強大在于其為自然科學(xué)的基礎(chǔ)，在人才的培養(yǎng)上有著不可替代的作用，于國家而言是長遠(yuǎn)發(fā)展核心競爭力的關(guān)鍵。如同華羅庚在《大哉，數(shù)學(xué)之為用》一文中的精彩論述：數(shù)學(xué)是一切科學(xué)得力的助手和工具。宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁等各個方面，無處不有數(shù)學(xué)的重要貢獻(xiàn)。

“讀史閱世，我認(rèn)為人生該當(dāng)盡到社會責(zé)任，同時亦尊重各種各樣的生活方式。然而做學(xué)術(shù)相較于其他報酬更高的工作，這兩者對我來說，吸引力可說是云泥之別?！彼未簜フf。即使今天，面對國外高校拋來的條件優(yōu)厚的橄欖枝，他不為所動。他欣然看到如今國內(nèi)治學(xué)研究的發(fā)展變化，看到更多優(yōu)秀的年輕人選擇數(shù)學(xué)、在國內(nèi)脫穎而出或者學(xué)成歸國，更多年輕一代從重視物質(zhì)、生存、實用的價值觀中脫離出來，視興趣為人生選擇的重要標(biāo)尺。

在學(xué)術(shù)服務(wù)方面，作為一名“外國專家”，宋春偉應(yīng)邀為美國國家安全局評審基礎(chǔ)數(shù)學(xué)方面的基金項目、為南非評審“國家A級研究者”。他兼任中國數(shù)學(xué)會理事、北京數(shù)學(xué)會常務(wù)理事和秘書長，在中國科協(xié)組織的“中學(xué)生英才計劃”學(xué)生團、全國中學(xué)生“數(shù)學(xué)之星”夏令營面向青少年作科普報告。

致力于學(xué)術(shù)的同時，宋春偉還是一位嚴(yán)格但又開明的老師。他認(rèn)為對博士生來說，應(yīng)以學(xué)術(shù)志業(yè)為主要目標(biāo)，自己新培養(yǎng)的博士生最理想的出路應(yīng)是留在大學(xué)任教、繼續(xù)從事組合數(shù)學(xué)研究。但同時他強調(diào)，希望學(xué)生首先做一個正直、有責(zé)任感和幸福的人，要有風(fēng)骨，人生規(guī)劃應(yīng)切合自身實際。針對學(xué)生的多元化選擇，宋春偉表示尊重，他希望無論是日后投身學(xué)術(shù)研究還是進(jìn)入企業(yè)謀職，每一個人都能在各階段有所收獲，成為有益于社會的人才。

“理想中，學(xué)者所有的時間都屬于學(xué)術(shù)時間”，宋春偉鐘情于純粹的智識學(xué)術(shù)，特別看重智力價值和精神財富。他不是普通意義下的工作狂，然而覺得度假、鍛煉等生活的每一時刻都可以看作學(xué)術(shù)人生的一部分，這是學(xué)者渾然天成的生活方式。帶著這樣的想法，宋春偉對未來有一份希冀：再建立幾個重要的定理，發(fā)展更有影響的理論，培養(yǎng)一批優(yōu)秀的學(xué)生，為北京大學(xué)的組合數(shù)學(xué)建設(shè)、組合數(shù)學(xué)在中國的發(fā)展做出有力貢獻(xiàn)！