閻群 李擎 崔家瑞 郭榮慶 顏貽宏

摘 要： 深入研究多重反饋二階有源低通濾波器典型電路，提出一種參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)的新方法。設(shè)計(jì)多重反饋二階巴特沃斯有源低通濾波器，并用Multisim 13電路仿真軟件對其進(jìn)行仿真分析。仿真結(jié)果表明，采用該優(yōu)化設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)的有源濾波器幅頻特性良好、系統(tǒng)穩(wěn)定可靠、易實(shí)現(xiàn)。另外，不同元器件的精度對濾波器特性的影響是不同的，實(shí)際應(yīng)用中可合理選擇各元器件精度，在保證質(zhì)量的前提下降低成本。

關(guān)鍵詞： 多重反饋； 低通有源濾波器； 巴特沃斯； 優(yōu)化設(shè)計(jì)； 電路仿真； 仿真分析

中圖分類號： TN713+.8?34 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號： 1004?373X（2018）14?0014?05

Optimization design and simulation of second?order active low?pass

filter with multiple feedbacks

YAN Qun1， LI Qing1， CUI Jiarui1， GUO Rongqing2， YAN Yihong2

（1. School of Automation， University of Science and Technology Beijing， Beijing 100083， China；

2. East Lake Technology （Beijing） Co.， Ltd.， Beijing 100096， China）

Abstract： A new method of parameter optimization design is proposed by means of the in?depth study of the typical circuit of second?order active low?pass filter with multiple feedbacks. The second?order Butterworth active low?pass filter with multiple feedbacks was designed. The simulation analysis is performed for the filter by using the Multisim 13 circuit simulation software. The simulation results show that the active filter designed by the optimization design method has a good amplitude?frequency characteristic， and the system is stable， reliable and easy to implement. The precision of different components has different effects on filter features， so in practical application， it is advisable to rationally select the precision of various components， so as to reduce the cost on the premise of guaranteeing the quality.

Keywords： multi?feedback； low?pass active filter； Butterworth； optimization design； circuit simulation； simulation analysis

0 引 言

濾波器是一種從被噪聲畸變或污染了的信號中提取有用原始信號的電路[1?2]。由運(yùn)算放大器和電阻、電容構(gòu)成的有源濾波器具有輸入阻抗高、輸出阻抗低、可提供一定增益、截止頻率可調(diào)等特點(diǎn)，在通信、信號處理、儀器儀表和自動(dòng)控制等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1，3]。濾波器的設(shè)計(jì)任務(wù)是根據(jù)給定的截止頻率、通帶增益、品質(zhì)因數(shù)等性能指標(biāo)選定電路拓?fù)?、濾波特性并確定元器件參數(shù)[4]。如何快速有效設(shè)計(jì)出性能優(yōu)良或元器件參數(shù)易選的通用有源濾波電路，是電路設(shè)計(jì)者感興趣的課題，也是制約有源濾波器的瓶頸。因此，開展有源濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì)具有十分重要的理論意義和現(xiàn)實(shí)價(jià)值。

有源濾波器簡單有效的設(shè)計(jì)方法是查表法 [1?3]，但表格的覆蓋范圍有限，不能滿足普遍情況的需要，沒有給出必要的理論根據(jù)，設(shè)計(jì)者不明白其取值的根據(jù)。常見的有源濾波器電路拓?fù)溆袎嚎仉妷涸葱停╒CVS）和無限增益多路反饋型（MFB）兩種。文獻(xiàn)中對VCVS濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)行了大量研究，但有關(guān)MFB濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)的文獻(xiàn)較少。文獻(xiàn)[5]對兩種拓?fù)涞屯V波器的傳遞函數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)和分析，利用德州儀器公司有源濾波器設(shè)計(jì)軟件FilterPro輔助完成設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[6]簡單給出了一階和二階MFB低通濾波器的傳遞函數(shù)及電路參數(shù)計(jì)算方法，但未給出必要的理論根據(jù)和具體的計(jì)算通式。文獻(xiàn)[7]對MFB低通濾波電路的傳遞函數(shù)進(jìn)行了理論推導(dǎo)，利用PSpice軟件仿真確定元件參數(shù)的范圍，然后通過實(shí)驗(yàn)細(xì)化參數(shù)，直至滿足設(shè)計(jì)要求指標(biāo)。

有源低通濾波器是濾波器中應(yīng)用最為廣泛的一種。本文從典型的二階低通濾波電路傳遞函數(shù)分析著手，深入研究了多重反饋低通濾波器參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，給出了優(yōu)化設(shè)計(jì)通式，在保證良好的幅頻特性基礎(chǔ)上，首先根據(jù)濾波器的性能指標(biāo)及經(jīng)驗(yàn)公式確定電路中電容值，然后精確匹配電阻值。詳細(xì)設(shè)計(jì)了多重反饋單位增益二階巴特沃斯有源低通濾波器，并用Multisim 13軟件對其進(jìn)行了頻率特性分析和參數(shù)掃描分析。仿真結(jié)果表明，采用該優(yōu)化設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)出的濾波器交流特性符合理論設(shè)計(jì)，具有幅頻特性良好、系統(tǒng)穩(wěn)定可靠等優(yōu)點(diǎn)。不同元器件的精度對濾波器特性的影響是不同的，實(shí)際應(yīng)用中合理選擇各元器件的精度，在保證質(zhì)量的前提下可降低成本。

1 多重反饋二階有源低通濾波器分析

多重反饋二階有源低通濾波器電路如圖1所示。信號由運(yùn)放的反向端輸入，輸出端通過[R3]和[C3]構(gòu)成兩個(gè)反饋支路，反饋強(qiáng)弱與信號頻率有關(guān)。由于理想運(yùn)算放大器的增益為無窮大，因此稱為無限增益多路反饋濾波器。在該濾波器中[R1]和[C1]構(gòu)成低通級，[R2]和[C2]構(gòu)成積分環(huán)節(jié)，這兩級電路同時(shí)表現(xiàn)為低通特性。

根據(jù)理想運(yùn)算放大器兩個(gè)輸入端的電位近似相等、兩個(gè)輸入端可視為等效開路，即運(yùn)放的“虛短”“虛斷”特性有：

[V2=0] （1）

[V1-V2R2=sC2（V2-Vo）] （2）

由基爾霍夫電流定律，并結(jié)合歐姆定律則有：[Vi-V1R1=sC1V1+V1-V2R2+V1-VoR3] （3）

聯(lián)立求解式（1）～式（3）可得該多重反饋二階低通濾波器的傳遞函數(shù)為：

[Hs=Vo（s）Vi（s） =-R3R1×1R2R3C1C2s2+1R1+1R2+1R31C1s+1R2R3C1C2] （4）

由以上分析可見多重反饋低通濾波電路具有倒相作用。

2 多重反饋二階低通濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 優(yōu)化設(shè)計(jì)通式

二階低通濾波器歸一化傳遞函數(shù)可表示為：[Hs=Hups2+αs+β] （5）

令[s=sωc]，去歸一化二階低通濾波器的傳遞函數(shù)通式為：

[Hs=Hupω2cs2+αωcs+βω2c] （6）

式中：[Hup]為濾波器的通帶增益；[ωc]為濾波器的截止頻率；濾波器的品質(zhì)因數(shù)[Q=βα]，[α]，[β]為二項(xiàng)式的系數(shù)，當(dāng)[α]，[β]優(yōu)化為不同的值時(shí)，便可設(shè)計(jì)出不同的濾波器類型。對照式（4）和式（6）可得：

[βω2c=1R2R3C1C2Hupω2c=-R3R1×1R2R3C1C2αωc=1R1+1R2+1R31C1] （7）

這里不妨令[R3=AR1]，[C2=mC1]，那么，有：

[Hup=-βR3R1=-βA] （8）

[βmω2cC21R23-αωcC1R3+A+1=0] （9）

式（9）為[R3]的一元二次方程，[R3]一定有實(shí)根，則必然有：

[Δ=（αωcC1）2-4βmω2cA+1C1≥0]

即：

[m≤α24β（A+1）] （10）

求解式（9）可得：

[R3=α±α2-4βm（A+1）2βmωcC1] （11）

將[R3]代入式（7）可求得：

[R2=α?α2-4βm（A+1）2βm（A+1）ωcC1] （12）

至此，只要選定電容[C1]和m的值就可以根據(jù)濾波器的性能指標(biāo)要求設(shè)計(jì)任意特性的多重反饋型二階低通濾波器。

2.2 優(yōu)化設(shè)計(jì)步驟

一般來說，能夠購買到的電容器的容量值只是E6系列或E12系列中所具有的值，特殊容量值的電容器需要特殊訂貨，其價(jià)格高且交貨期長，而且廠家往往不愿意少量制作。而對于電阻器來說，可以購買到E96系列或E24系列的電阻值，價(jià)格低廉、誤差小、溫度特性穩(wěn)定[2]。因此，優(yōu)化設(shè)計(jì)首先選定電容器的值，然后根據(jù)濾波器的性能指標(biāo)精確匹配電阻值，優(yōu)化設(shè)計(jì)可按下列步驟進(jìn)行。

1） 選擇濾波函數(shù)。根據(jù)待設(shè)計(jì)濾波器的性能指標(biāo)選擇濾波函數(shù)并查表[4]求得其歸一化二項(xiàng)式系數(shù)[α]，[β]。

2） 確定電容[C1]的值。根據(jù)截止頻率[fc]依靠經(jīng)驗(yàn)確定電容的值[8]，[ωc=2πfc]，[C1=C]具體見表1。

表1 截止頻率與電容取值

Table 1 Values of cut?off frequency and capacitance

[截止頻率[fc] 電容C [≤100 Hz] [1.0～0.1 μF] [100～1 000 Hz] [0.1～0.01 μF] [1～10 kHz] [0.01～0.001 μF] [10～100 kHz] [1 000～100 pF] [≥100 kHz] [100～10 pF] ]

3） 求取[A]。根據(jù)通帶增益[Hup]，確定電阻[R3]，[R1]的比值[A]，[A=Hup]。

4） 選取[m]并求取電容[C2]的值。由式（10）合理選取電容[C2]與[C1]的比值[m]，[C2=mC1]，顯然[m=α24β（A+1）]時(shí)計(jì)算最簡便。

5） 確定[R1]，[R2]，[R3]的值。由式（11）、式（12）求取電阻[R3]，[R2]并取標(biāo)稱值，[R1=R3A]。

6） 確定電阻[R4]的值。匹配電阻[R4=R2+R1?R3]。

7） 選擇集成運(yùn)算放大器。要合理地選擇集成運(yùn)算放大器。為保證所設(shè)計(jì)的濾波器能夠穩(wěn)定的工作，一般要求所選集成運(yùn)放在截止頻率附近的開環(huán)電壓放大倍數(shù)[Av]滿足[Av≥50C1C2]， 一般集成運(yùn)放的開環(huán)電壓放大倍數(shù)都在[105]以上，這個(gè)條件很容易滿足。

3 多重反饋二階巴特沃斯低通濾波器設(shè)計(jì)

理想低通濾波器能夠讓從零頻（即直流）到截止頻率[ωc]之間的所有信號都沒有任何損失和通過，而讓高于截止頻率[ωc]的所有信號完全阻塞。具有理想特性的濾波器是很難實(shí)現(xiàn)的，只能用實(shí)際特性去逼近理想特性[1?2]。常用的濾波器頻率響應(yīng)類型[2]有巴特沃斯（Butterworth）、切比雪夫（Chebychev）和貝塞爾（Bessel）3種。巴特沃斯低通濾波器由于其通頻帶內(nèi)具有最大平坦幅度響應(yīng)，與其他兩種濾波器相比，在衰減特性、相位特性和響應(yīng)特性等方面具有特性均衡的優(yōu)點(diǎn)，在實(shí)際應(yīng)用中己被列入首選[9]。接下來以二階巴特沃斯有源低通濾波器為例來研究多重反饋二階低通濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。

二階巴特沃斯低通濾波器的傳遞函數(shù)為[10]：

[Hs=Hupω2cs2+1.414 2ωcs+ω2c]

對于多重反饋單位增益二階巴特沃斯低通濾波器設(shè)計(jì)來講，[α=1.414 2]，[β=1]，[Hup=-1]，[m]至少存在一個(gè)最方便的選擇，即[m=14]，這時(shí)計(jì)算非常方便，[R3=22ωcC1]，[R2=2ωcC1]。設(shè)計(jì)截止頻率[fc=100 Hz]的多重反饋單位增益二階巴特沃斯低通濾波器，具體設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)見表2。根據(jù)實(shí)際選擇參數(shù)重新計(jì)算得到通帶放大倍數(shù)[Hup=-1]，截止頻率[fc=100.035 1 Hz]。

4 仿真研究

4.1 搭建仿真電路圖

Multisim 是專門用于電子線路仿真的“虛擬電子工作臺(tái)”軟件，它將電路的原理圖、功能測試和仿真結(jié)果匯集到一個(gè)電路窗口，具有界面形象直觀、元器件種類多、儀器儀表齊全、分析方法多樣、操作方便等優(yōu)點(diǎn)[11?12]，既可進(jìn)行電路設(shè)計(jì)，也可對所設(shè)計(jì)的電路進(jìn)行各種功能模擬仿真試驗(yàn)。

按圖2所示在Multisim 13環(huán)境下搭建優(yōu)化設(shè)計(jì)的多重反饋二階單位增益巴特沃斯低通濾波器，集成運(yùn)算放大器選用AD8040AR。信號源XFG1設(shè)置輸入信號（[Vi]），示波器XSC1觀察輸入、輸出信號（[Vo]）波形，頻率特性測試儀XBP1測試電路的頻率特性。

4.2 觀察輸入/輸出波形

雙擊信號源XFG1設(shè)置輸入信號[Vi]頻率為1 Hz、峰值為1.0 V，雙擊示波器XSC1圖標(biāo)，啟動(dòng)仿真，用虛擬示波器測得的輸入/輸出波形如圖3所示。

從虛擬示波器測得的輸入/輸出波形來看，輸入/輸出信號的幅值大致相等，相位相差[180°]。移動(dòng)光標(biāo)T1和T2測量輸入和輸出信號的幅值分別為979.6 mV和-974.058 mV，近似計(jì)算此時(shí)的增益[Hup（1 Hz）=Vo1Vi1=-974.058979.6≈-0.994]，可見，該濾波器的通帶增益[Hup≈-0.994]，滿足設(shè)計(jì)要求。

測試結(jié)果表明，優(yōu)化設(shè)計(jì)的多重反饋單位增益二階巴特沃斯有源低通濾波器的通帶增益[Hup≈1.000 46]，截止頻率[fc≈100 Hz]。輸入信號頻率小于[fc]時(shí)，輸出幅度基本穩(wěn)定；輸入信號頻率大于[fc]后，隨著頻率增大輸出衰減較快，大約為[-40 dB10]倍頻程。該電路完全達(dá)到了設(shè)計(jì)要求。

4.4 參數(shù)掃描分析

為了獲得電路中元器件參數(shù)在一定范圍內(nèi)變化時(shí)對優(yōu)化設(shè)計(jì)的低通濾波器幅頻特性的影響，采用Multisim 13的參數(shù)掃描功能對電路進(jìn)行分析。圖2中電阻[R1]，[R2]，[R3]和電容[C1]，[C2]分別取優(yōu)化設(shè)計(jì)值變化-20%，0，20%三值進(jìn)行參數(shù)線性掃描，仿真結(jié)果如圖6、圖7所示。

每個(gè)元器件同樣是變化[±]20%，但對幅頻特性的影響是不同的。電阻[R1]，[R3]明顯影響通帶增益。電阻[R2]和電容[C1]，[C2]對通帶增益的影響不明顯，但對通帶寬度有影響，[C1]影響最明顯，[C2]次之，[R2]最小。當(dāng)[C1]增加、[C2]和[R2]減小時(shí)，幅頻特性從左向右移動(dòng)，通帶寬度變寬；當(dāng)[C1]減小、[C2]和[R2]增加時(shí)，幅頻特性從右向左移動(dòng)，通帶寬度變窄。優(yōu)化低成本設(shè)計(jì)時(shí)，可以相對放寬對[R2]，[C1]的精度要求，以降低成本，同時(shí)需要保證[C2]和[R1]，[R3]的精度，尤其要保證[R3]與[R1]比值的精度，以保證質(zhì)量。

5 結(jié) 語

本文詳細(xì)推導(dǎo)了多重反饋型有源濾波器的傳遞函數(shù)，給出了一種參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)通式，首先根據(jù)濾波器的性能指標(biāo)選取濾波器的頻率特性，然后根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選取電容[C1]，[C2]，最后根據(jù)靈活選取的電容[C1]，[C2]以及濾波器的性能指標(biāo)計(jì)算匹配的電阻[R1]，[R2]，[R3]，[R4]。該設(shè)計(jì)思路清晰，過程簡便，不僅克服了查表法數(shù)據(jù)受限的問題，而且避免了定制電容耗時(shí)較長、價(jià)格較高、精度較低等問題。Multisim 13仿真結(jié)果表明，該參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法具有較好的實(shí)用價(jià)值。

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