蒲 軍，秦學(xué)杰，茍斐斐，方文超

(1. 中國石化 石油勘探開發(fā)研究院，北京 100083; 2.中國科學(xué)院 滲流流體力學(xué)研究所，河北 廊坊 065007;3.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100190)

在井網(wǎng)壓裂基礎(chǔ)上進(jìn)行注水開發(fā)，可以有效改善流場(chǎng)，增大泄油面積，提高油井產(chǎn)量與采收率，是改善低滲透油藏開發(fā)效果的重要手段[1-8]?？焖贉?zhǔn)確預(yù)測(cè)低滲透油藏壓裂井網(wǎng)注水開發(fā)產(chǎn)量可以為低滲透油藏開發(fā)優(yōu)化設(shè)計(jì)奠定基礎(chǔ)。但低滲透油藏注水開發(fā)呈現(xiàn)非穩(wěn)態(tài)、非線性滲流特征，存在啟動(dòng)壓力梯度[9-15]，油水兩相流動(dòng)阻力大，基于達(dá)西定律形成的油藏工程方法并不適用。

針對(duì)這一問題，國內(nèi)外油藏工程專家開展了大量的研究工作，但主要集中在室內(nèi)實(shí)驗(yàn)及數(shù)值模擬方面，實(shí)驗(yàn)難度大、周期長，數(shù)學(xué)模型復(fù)雜、計(jì)算過程繁瑣[16-23]。而中石化勘探開發(fā)研究院的計(jì)秉玉等人提出了流線積分法，通過分析流場(chǎng)內(nèi)流線分布特征，將流場(chǎng)分解成多根微小流管，推導(dǎo)了低滲透油藏整體壓裂條件下的油井產(chǎn)能解析計(jì)算公式，為低滲透油藏產(chǎn)能預(yù)測(cè)與評(píng)價(jià)提供了手段[24]。但該方法仍不完善，首先僅考慮了單相穩(wěn)態(tài)滲流，無法計(jì)算注水開發(fā)過程中油井產(chǎn)量隨時(shí)間的動(dòng)態(tài)變化；而且只考慮了油水井同時(shí)整體壓裂，不能對(duì)比分析不同壓裂注采方式下油井產(chǎn)量的差異。

本文借鑒前人的研究經(jīng)驗(yàn)，基于流線積分法建立了不同壓裂注采方式下油水兩相滲流的油井非穩(wěn)態(tài)產(chǎn)量計(jì)算方法，計(jì)算并剖析了啟動(dòng)壓力梯度、壓裂注采方式及裂縫長度對(duì)油井生產(chǎn)動(dòng)態(tài)的影響，可以為低滲透油藏壓裂注采方式優(yōu)選及注水開發(fā)對(duì)策制定提供依據(jù)。

1 不同壓裂注采井網(wǎng)物理模型

根據(jù)增注或提產(chǎn)需求，油田現(xiàn)場(chǎng)一般有3種壓裂注采方式：油井壓裂、水井壓裂和油水井同時(shí)壓裂。不同壓裂注采方式對(duì)流場(chǎng)的改造效果不同，油水井間呈現(xiàn)不同的流動(dòng)特征，通過對(duì)壓裂后的流場(chǎng)進(jìn)行分析，油水井間的流動(dòng)區(qū)域可以劃分為不同的等效流動(dòng)單元(圖1)。

通過以上單元?jiǎng)澐?，不難看出不同壓裂注采方式條件下油水井間存在4種流動(dòng)單元類型：點(diǎn)源點(diǎn)匯流動(dòng)單元、點(diǎn)源線匯流動(dòng)單元、線源點(diǎn)匯流動(dòng)單元及線源線匯流動(dòng)單元。分別建立不同類型流動(dòng)單元的產(chǎn)量計(jì)算模型，然后根據(jù)壓裂注采方式將對(duì)應(yīng)的流動(dòng)單元產(chǎn)量相加即可得到不同壓裂注采方式下的油井產(chǎn)量。

圖1 不同壓裂注采方式下流動(dòng)單元?jiǎng)澐諪ig.1 Division of flow units under different fracturing injection and production modesa.油井壓裂流動(dòng)單元；b.水井壓裂流動(dòng)單元；c.油水井同時(shí)壓裂(油井裂縫半長+水井裂縫半長≤井距之半)；d. 油水井同時(shí)壓裂(油井裂縫半長+水井裂縫半長>井距之半)Ⅰ.點(diǎn)源點(diǎn)匯流動(dòng)單元;Ⅱ.點(diǎn)源線匯流動(dòng)單元;Ⅲ.線源點(diǎn)匯流動(dòng)單元;Ⅳ.線源線匯流動(dòng)單元

2 不同生產(chǎn)方式下產(chǎn)量計(jì)算

2.1 流管非穩(wěn)態(tài)水驅(qū)油理論

流場(chǎng)可以看作多根微小流管的集合，計(jì)算流動(dòng)單元的產(chǎn)量首先需要建立單根流管的流量計(jì)算方法。假設(shè)地層等厚均質(zhì)，滲流流體為油相與水相，地層與油水相均不可壓縮。在參考文獻(xiàn)[25]中，筆者已經(jīng)采用流線積分法推導(dǎo)了注水開發(fā)條件下任意形態(tài)流管內(nèi)的非穩(wěn)態(tài)流量計(jì)算公式[公式(1)]。

(1)

式中：qo為流管油流量，m3/d；pe為注水井井底流壓，MPa；pw為采油井井底流壓，MPa；μo為油粘度，mPa·s；μw為水粘度，mPa·s；K為地層滲透率，10-3μm2；Φ為孔隙度,%；λ(2)為單相滲流區(qū)啟動(dòng)壓力梯度，MPa/m；rw為井半徑，m；λ(1)(x)為兩相滲流區(qū)綜合啟動(dòng)壓力梯度，MPa/m；A(x)為流管截面積，m2；t為流動(dòng)時(shí)間，s；L為流管長度，m；ξ為油水前緣位置，m；tf為油井見水時(shí)間，s；a,b,A,B,C為相滲常數(shù)。

對(duì)公式(1)中所有未知參數(shù)進(jìn)行整理和分析，根據(jù)參數(shù)性質(zhì)將未知參數(shù)分為3類(表1)。

2.2 流動(dòng)單元產(chǎn)量計(jì)算

1) 流管特征參數(shù)計(jì)算

不同類型流動(dòng)單元的特征參數(shù)計(jì)算方法推導(dǎo)過程基本相同，因此本文以點(diǎn)源點(diǎn)匯流動(dòng)單元為例進(jìn)行詳細(xì)介紹，其他類型流動(dòng)單元特征參數(shù)計(jì)算公式見表2。

表1 流管非穩(wěn)態(tài)產(chǎn)量計(jì)算公式中未知參數(shù)分類Table 1 Categories of unknown parameters in non-steadyproduction calculation of flow tube

注：測(cè)試參數(shù)是通過油田現(xiàn)場(chǎng)或室內(nèi)實(shí)驗(yàn)測(cè)試獲取的直接參數(shù);衍生參數(shù)是通過計(jì)算才能獲取的間接參數(shù)，筆者已經(jīng)在參考文獻(xiàn)[25]中給出了所有衍生參數(shù)的計(jì)算方法。推導(dǎo)出不同類型流動(dòng)單元內(nèi)流管的特征參數(shù)計(jì)算方法是計(jì)算不同流動(dòng)單元流管流量的關(guān)鍵。

任意形態(tài)點(diǎn)源點(diǎn)匯流動(dòng)單元及流管如圖2所示。

① 流管長度L求解

基于圖2建立三角函數(shù)關(guān)系方程，可以得到流管長度L如下：

(2)

式中：l為油水井距，m；α為流管與油水井連線夾角，(°)；α0和β0為流動(dòng)單元幾何角，(°)。

② 流管截面積A(x)求解

在點(diǎn)源點(diǎn)匯流動(dòng)單元中，流線會(huì)出現(xiàn)轉(zhuǎn)折，流管截面積需要進(jìn)行分段求解。通過幾何分析可以得到點(diǎn)源點(diǎn)匯流動(dòng)單元中流管截面積的計(jì)算公式如下：

(3)

式中：h為地層厚度，m；Δα為流管夾角，(°)。

2) 流動(dòng)區(qū)域計(jì)算

圖2 任意形態(tài)點(diǎn)源點(diǎn)匯流動(dòng)單元示意圖Fig.2 Sketch map showing point source and point sink flow units

圖3 點(diǎn)源點(diǎn)匯流動(dòng)單元啟動(dòng)角示意圖Fig.3 Sketch map showing startup angle of point source and point sink flow unit

由于低滲透油藏普遍存在啟動(dòng)壓力梯度，在一定井距和注采壓差條件下，點(diǎn)源點(diǎn)匯流動(dòng)單元內(nèi)的流體不一定都能參與流動(dòng)，計(jì)算流動(dòng)單元產(chǎn)量時(shí)需要首先確定流動(dòng)區(qū)域。如圖3所示，流動(dòng)區(qū)域由特征參數(shù)-啟動(dòng)角控制，在參考文獻(xiàn)[25]中，筆者已經(jīng)給出了點(diǎn)源點(diǎn)匯流動(dòng)單元啟動(dòng)角的詳細(xì)計(jì)算方法。

根據(jù)圖3，建立三角函數(shù)關(guān)系可以得到：

(4)

且

(5)

將公式(5)代入公式(4)，可以得到關(guān)于啟動(dòng)角α1的三角函數(shù)方程：

(6)

式中：α1,β1為啟動(dòng)區(qū)域夾角，(°)。求解公式(6)，可以得到點(diǎn)源點(diǎn)匯流動(dòng)單元的啟動(dòng)角α1。得到啟動(dòng)角后，可以按照以下方法確定流動(dòng)區(qū)域：

當(dāng)α1≤0時(shí)，點(diǎn)源點(diǎn)匯流動(dòng)單元全部不參與流動(dòng);

當(dāng)0<α1<α0時(shí)，點(diǎn)源點(diǎn)匯流動(dòng)單元部分參與流動(dòng);

當(dāng)α1≥α0時(shí)，點(diǎn)源點(diǎn)匯流動(dòng)單元全部參與流動(dòng)。

按照相同的方法，很容易推導(dǎo)出點(diǎn)源線匯、線源點(diǎn)匯及線源線匯流動(dòng)單元的流管特征參數(shù)及流動(dòng)區(qū)域計(jì)算公式，形成流動(dòng)單元計(jì)算參數(shù)表(表2)。

3) 流動(dòng)單元產(chǎn)量計(jì)算

不同流動(dòng)單元的產(chǎn)量可以通過如下步驟求解：①計(jì)算確定流動(dòng)單元的流動(dòng)區(qū)域；②將流動(dòng)區(qū)域劃分為多根流管；③根據(jù)油田現(xiàn)場(chǎng)及室內(nèi)實(shí)驗(yàn)測(cè)試資料確定測(cè)試參數(shù)；④根據(jù)參考文獻(xiàn)[25]中的方法計(jì)算衍生參數(shù)；⑤根據(jù)表2中的計(jì)算公式得到特征參數(shù)L、A(x)；⑥將測(cè)試參數(shù)、衍生參數(shù)及特征參數(shù)代入式1，得到不同流管的油流量；⑦不同流管的油流量相加得到流動(dòng)單元的產(chǎn)油量。

2.3 油井產(chǎn)量計(jì)算

通過前面的分析可知，不同壓裂注采方式下油水井間的流動(dòng)區(qū)域可以劃分為不同流動(dòng)單元的組合，根據(jù)幾何分析不難得到流動(dòng)單元的形態(tài)參數(shù)(表3)。

令：

(7)

以油水井同時(shí)壓裂方式(lf-in+lf-out>n，且l1>l3)為例介紹油井產(chǎn)量計(jì)算方法，其他壓裂注采方式的油井產(chǎn)量計(jì)算基本相同，不再贅述。

① 當(dāng)l′≤l2時(shí)，Ⅰ，Ⅱ1，Ⅱ2，Ⅱ3和Ⅲ單元均不參與流動(dòng)，油井產(chǎn)量q=0；

② 當(dāng)l2

③ 當(dāng)l3

④ 當(dāng)l′>l1時(shí)，Ⅰ，Ⅱ1，Ⅱ2，Ⅱ3和Ⅲ單元均參與流動(dòng)，油井產(chǎn)量q=4(qⅠ+qⅡ1+qⅡ2+qⅡ3+qⅢ)。

3 驗(yàn)證與計(jì)算

3.1 模型驗(yàn)證

以東部某低滲透區(qū)塊為研究對(duì)象，該區(qū)塊的基本參數(shù)見表4。在該區(qū)塊采集了典型井的柱塞巖心，基于室內(nèi)實(shí)驗(yàn)測(cè)試了該區(qū)塊的油水相滲曲線和啟動(dòng)壓力梯度曲線(圖4)，并開展了平板模型實(shí)驗(yàn)(定注采壓差，Δp=2 MPa)，實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ图皩?shí)驗(yàn)結(jié)果見圖5。

表3 不同壓裂注采方式下流動(dòng)單元組合及形態(tài)參數(shù)Table 3 Flow unit combination and shape parameters under different fracturing injection and production modes

注：Ⅰ，Ⅱ，Ⅱ1，Ⅱ2，Ⅱ3和Ⅲ為流動(dòng)單元編號(hào)，具體流動(dòng)單元類型可以參考前面的分析結(jié)果。l1，l2和l3為流動(dòng)單元形態(tài)參數(shù)，m；m為排距，m；n為井距之半，m；lf-out為采油井裂縫半長，m；lf-in為注水井裂縫半長，m。

表4 東部某低滲透區(qū)塊基本參數(shù)Table 4 Parameters of a certain low-permeability block in the East China

圖4 東部某區(qū)塊油水相滲曲線與綜合啟動(dòng)壓力梯度曲線Fig.4 Relative permeability curves and composite threshold pressure gradient curve of a certain low-permeability block in the East Chinaa.油水兩相滲透率曲線；b.油水兩相流綜合啟動(dòng)壓力梯度曲線

圖5 平板模型及產(chǎn)油量對(duì)比曲線Fig.5 Correlation curve of plate model and oil production a.平板模型示意圖；b.產(chǎn)油量曲線對(duì)比(Δp=2 MPa)

為降低實(shí)驗(yàn)誤差的影響，開展了5塊物性相近的平板模型水驅(qū)油實(shí)驗(yàn)，對(duì)產(chǎn)油量曲線進(jìn)行歸一化平均處理；然后采用本模型計(jì)算了采出端的產(chǎn)油量曲線，與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了對(duì)比(圖5b)。通過對(duì)比可以看到，新模型的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本一致，總體誤差僅為4.35%，證明了模型的可靠性，可以滿足工程應(yīng)用。

3.2 計(jì)算與討論

1) 啟動(dòng)壓力梯度的影響

假設(shè)井距為600 m，排距為200 m，裂縫半長為100 m，注采壓差為15 MPa。計(jì)算了不同壓裂注采方式下的油井累產(chǎn)油曲線，并取λ(1)=0及λ(2)=0為計(jì)算特例，對(duì)比分析了不同壓裂注采方式下啟動(dòng)壓力梯度對(duì)油井生產(chǎn)的影響(圖6)。由圖6可以看出,在低滲透油藏中，啟動(dòng)壓力梯度增大了流體流動(dòng)阻力，與不考慮啟動(dòng)壓力梯度相比，流體流速慢，油井累產(chǎn)大幅降低，因此低滲透油藏中啟動(dòng)壓力梯度不可忽略。

2) 壓裂注采方式的影響

圖6 不同壓裂注采方式下啟動(dòng)壓力梯度對(duì)油井累產(chǎn)的影響Fig.6 Effect of threshold pressure gradient on accumulative production under different fracturing injection and production modes

仍然假設(shè)井距為600m，排距為200m，油水井裂縫半長均為200m，注采壓差為15MPa。根據(jù)前面介紹的方法，將不同壓裂注采方式的油水井間流動(dòng)區(qū)域劃分為不同的流動(dòng)單元，三種壓裂注采方式一共有9個(gè)獨(dú)立的流動(dòng)單元(圖7)。

圖7 不同壓裂注采方式下流動(dòng)單元匯總Fig.7 Summary of flow units under different fracturing injection and production modesa.點(diǎn)源點(diǎn)匯流動(dòng)單元；b.點(diǎn)源線匯流動(dòng)單元；c.點(diǎn)源點(diǎn)匯流動(dòng)單元；d.點(diǎn)源點(diǎn)匯流動(dòng)單元；e.線源點(diǎn)匯流動(dòng)單元；f.點(diǎn)源點(diǎn)匯流動(dòng)單元；g.線源點(diǎn)匯流動(dòng)單元；h.線源線匯流動(dòng)單元；i.點(diǎn)源線匯流動(dòng)單元

計(jì)算了各流動(dòng)單元的產(chǎn)油量，對(duì)比了不同流動(dòng)單元的油相滲流阻力、產(chǎn)油能力和見水時(shí)間(圖8)，進(jìn)一步分析了不同壓裂注采方式下流動(dòng)單元對(duì)油井開發(fā)效果的影響。

其中，根據(jù)參考文獻(xiàn)[26]，定義油相滲流阻力如下：

(8)

式中：Roil為滲流阻力，MPa·m-3·d；Δp為注采壓差，Pa；qoil(t)為產(chǎn)油量，m3/d。

為對(duì)比各個(gè)流動(dòng)單元的產(chǎn)油能力，定義流動(dòng)單元的產(chǎn)油能力指數(shù)如下：

(9)

式中：Ji為流動(dòng)單元i的產(chǎn)油能力指數(shù)，m3/m2；Qi為流動(dòng)單元i的累產(chǎn)；m3；Ai為流動(dòng)單元i的泄油面積，m2。產(chǎn)油能力指數(shù)本質(zhì)上指的是單位面積流動(dòng)單元的累產(chǎn)。

通過圖8可以看出：①不同流動(dòng)單元的油相滲流阻力及其變化不相同，開發(fā)早期，流動(dòng)單元8的油相滲流阻力最小，而流動(dòng)單元4的油相滲流阻力最大，但是到了開發(fā)中后期，不同流動(dòng)單元的采出油量不同，滲流阻力變化幅度不相同，此時(shí)流動(dòng)單元3的油相滲流阻力最小，而流動(dòng)單元9的滲流阻力最大；②不同流動(dòng)單元的產(chǎn)油能力不同，流動(dòng)單元8為線源線匯單元，原油流動(dòng)距離短，油井端滲流面積大，產(chǎn)油能力最強(qiáng)，而流動(dòng)單元4為點(diǎn)源點(diǎn)匯單元，原油流動(dòng)距離遠(yuǎn)，油井端滲流面積小，產(chǎn)油能力最弱；③不同流動(dòng)單元的見水時(shí)間不同，流動(dòng)單元3和流動(dòng)單元4面積大，流體流速慢，在計(jì)算期(180個(gè)月)都沒有見水，而流動(dòng)單元9見水最早，僅為24個(gè)月；④不同壓裂注采方式產(chǎn)生不同的流動(dòng)單元組合，而不同流動(dòng)單元的產(chǎn)油能力完全不同，受此影響，不同壓裂注采方式的增產(chǎn)效果也不一樣，增產(chǎn)效果最好的是同時(shí)壓裂注采方式，與完全不壓裂相比，能夠增產(chǎn)3.1倍；⑤不同壓裂注采方式下，油井見水時(shí)間由最早見水的流動(dòng)單元控制，因此油井壓裂、水井壓裂及同時(shí)壓裂的見水時(shí)間與流動(dòng)單元1、流動(dòng)單元6及流動(dòng)單元9相同，分別為42,43,24個(gè)月。

圖8 不同流動(dòng)單元油相滲流阻力、產(chǎn)油能力指數(shù)及見水時(shí)間對(duì)比Fig.8 Comparison of flow resistance of oil phase,oil productivity index and breakthrough time of different flow unitsa.不同流動(dòng)單元油相滲流阻力對(duì)比；b.不同流動(dòng)單元產(chǎn)油能力指數(shù)對(duì)比(180個(gè)月)；c.不同流動(dòng)單元見水時(shí)間對(duì)比

3) 裂縫長度的影響

仍然假設(shè)井距為600 m，排距為200 m，注采壓差為15 MPa，計(jì)算了不同油水井裂縫長度條件下油井的產(chǎn)油量曲線(圖9)，分析了裂縫長度對(duì)油井產(chǎn)量的影響。

圖9 不同裂縫長度下油井產(chǎn)量對(duì)比(不同壓裂注采方式)Fig.9 Comparison of well productivity with different fracture lengths(different fracturing injection and production modes)

由圖9可以看出：①隨著裂縫長度的增加，流場(chǎng)改善程度越高，點(diǎn)源點(diǎn)匯流動(dòng)單元越小，流動(dòng)阻力越低，油井產(chǎn)油量越高；②油井累產(chǎn)并未隨裂縫長度的增加而線性增長，存在最佳裂縫半長，當(dāng)壓裂縫長超過最佳裂縫長度，增油效果并不顯著，經(jīng)濟(jì)效益反而變差。

4 結(jié)論

1) 根據(jù)不同壓裂注采方式對(duì)流場(chǎng)的改造效果劃分等效流動(dòng)單元，建立了不同類型流動(dòng)單元特征參數(shù)及流動(dòng)區(qū)域計(jì)算方法，形成了不同壓裂注采方式的油井產(chǎn)量計(jì)算模型；通過與室內(nèi)平板模型實(shí)驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了模型的可靠性，能夠滿足工程應(yīng)用。

2) 啟動(dòng)壓力梯度增大了滲流阻力，流體流速慢，與不考慮啟動(dòng)壓力梯度相比，油井累產(chǎn)降低，因此，在低滲透油藏產(chǎn)量計(jì)算時(shí)應(yīng)該考慮啟動(dòng)壓力梯度的影響。

3) 不同壓裂注采方式下油井的生產(chǎn)動(dòng)態(tài)主要受流動(dòng)單元所控制，不同流動(dòng)單元內(nèi)油相流動(dòng)阻力、產(chǎn)油能力及見水時(shí)間差異大，導(dǎo)致不同壓裂注采方式的開發(fā)效果完全不同。

4) 無論采用哪種壓裂注采方式，隨著裂縫長度的增加，油井產(chǎn)油量越大；但壓裂存在最佳裂縫長度，當(dāng)壓裂縫長超過最佳裂縫長度，增油效果不明顯，經(jīng)濟(jì)效益反而變差。