杜保營, 雷賢才

(宜賓學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院 四川 宜賓 644000)

1 引言及預(yù)備知識

關(guān)于不動點(diǎn)理論的研究最近幾年有一些新的突破。唐艷,聞道君[1]研究了Banach空間中非擴(kuò)張半群不動點(diǎn)粘性逼近方法;劉敏[2]研究了廣義平衡問題的強(qiáng)收斂定理;雷賢才[3-4]研究了雙曲空間中混合型迭代的Δ-收斂定理以及全漸近非擴(kuò)張映射在CAT(0)空間中的新迭代算法。Markin[5-6]用Hausdorff度量研究了多值收縮以及非擴(kuò)張映射。之后,又有一些學(xué)者[5-21]在Banach空間中,用不同的迭代過程逼近多值非擴(kuò)張映射的不動點(diǎn)并做了廣泛的推廣。這類映射的一些有趣而豐富的不動點(diǎn)理論發(fā)展起來,并在控制論,最優(yōu)化,微分方程以及經(jīng)濟(jì)學(xué)中[7]都有一定的應(yīng)用。本文將要討論的問題是:多值非擴(kuò)張映射的不動點(diǎn)理論。因此,擺在我們面前的是下面這個問題。

問題:在一般的雙曲空間中,對于多值非擴(kuò)張映射,是否可以找到一個迭代方案,使之能夠很好地逼近該映射的一個公共的不動點(diǎn)?

在自然科學(xué)領(lǐng)域中,大部分的變量關(guān)系是非線性關(guān)系。而不動點(diǎn)理論是建立在正則的線性空間或者Banach空間中,這些空間主要由它們的線性結(jié)構(gòu)所確定。非線性結(jié)構(gòu)的不動點(diǎn)理論是將一個度量空間嵌入到一個凸集中。雙曲空間是非線性的,從幾何結(jié)構(gòu)中建立不動點(diǎn)理論是一個很抽象的理論。幾何組中一個主要的研究對象就是雙曲組,這個問題是在雙曲空間的研究中占有統(tǒng)治地位。為了在一般的Banach空間中定義多值非擴(kuò)張映射,先介紹基本概念。

設(shè)E是實(shí)Banach空間,K是任意一子集,如果對于任意的x∈e,都存在ν∈K,使

d(x,y)=inf{‖x-ν‖|y∈K}=d(x,K)

成立,則稱K是漸近極限集。

由此可知:Banach空間的弱緊凸子集和一致凸Banach空間的閉凸子集都是漸近極限集。以P(K)表示K的非空有界的漸近極限集的子集族,以CB(K)表示K的所有非空有界的閉子集類。設(shè)H是由E的度量d誘導(dǎo)的一個Hausdorff度量,即對于任意A,B∈CB(E),都有

設(shè)T是一個多值映射T:K→P(K)如果滿足存在k∈[0,1)對于任意x,y∈K,都有

H(Tx,Ty)≤k‖x-Y‖

則T稱為壓縮的。

定義1.1[19]設(shè)T是一個多值映射T:K→P(K),如果滿足

H(Tx,Ty)≤k‖x-y‖,?x,y∈K。

(1)

則T稱為非擴(kuò)張的。

引理1.1[16] 設(shè)T是一個多值映射T：K→P(K)，Pr(x)={y∈Tx：‖x-y‖=d(x，Tx)},則下面三個命題是等價的：

(1)x∈F(T)

(2)Pr(x)=x

(3)x∈F(Pr)，而且F(T)=F(Pr)

Kohlenbach[22]介紹了雙曲空間,本文的工作在雙曲空間中開展,下面的定義在文獻(xiàn)[23]中有介紹,但在雙曲空間中有局限性,所以這些定義要比在雙曲空間中更具有一般性。

設(shè)雙曲空間X是一個度量空間(X，d)，W是一個映射W：X2×[0，1]→X且滿足?x，y，z，w∈X，α，β∈[0，1]

(1)d(u，W(x，y，α))≤αd(u，x)+(1-α)d(u，y)；

(2)d(W(x，y，α)，W(x，y，β))=|α-β|d(x，y)；

(3)W(x，y，α)=W(y，x，1-α)；

(4)d(W(x，z，α)，W(y，W，α))≤(1-α)d(x，y)+αd(z，w)。

設(shè)E是雙曲空間X的一個非空子集,如果對于?x,y∈E,α∈[0,1]都有W(x,y,α)∈E,則E是凸的。雙曲空間族包含賦范空間和它的一個凸子集。Hadamard[25]在Hilbert球中建立了雙曲度量,Gromov[26]在很多CAT(0)空間中也做了相應(yīng)的研究。

在一個雙曲空間中,對于任意r>0,ε∈(0,2],存在δ∈(0,1],使對于所有的u,x,y∈X若d(x,u)≤r,d(y,u)≤r,d(x,y)≥εδ,都有

則該雙曲空間是一致凸的。

對于給定的r>0,ε∈(0,2],定義映射δ=η(r,ε);(0,+∞)×(0,2]→(0,1],可以看做X上的的一致凸性模。

最后,設(shè)(X,d)是一個度量空間,K是X的一個非空子集,我們以F(T)來T表示的不動點(diǎn)集,即F(T)={x∈K:Tx=x}。設(shè)T是映射T:K→K,如果滿足:對于?x,y∈K,

d(Tx,Ty)≤d(x,y)

則T稱為非擴(kuò)張的。

設(shè)T是映射T:K→K,如果存在序列{kn}?[0,+∞),且kn→0,都有

d(Tnx,Tny)≤(1+kn)d(x,y),?x,y∈K。

則T稱為漸近非擴(kuò)張的。

設(shè)T是映射T:K→K,如果存在一個常數(shù)L>0$L>0$,對于?x,y∈K。都有

d(Tnx,Tny)≤Ld(x,y)。

則T稱為一致L-Lipschitzian。

本文目的是在Banach空間中將一個多值非擴(kuò)張映射的迭代方案推廣到雙曲空間中,并證明一個強(qiáng)收斂定理:即用混合迭代過程逼近兩個多值非擴(kuò)張映射以及兩個漸近非擴(kuò)張映射的一個不動點(diǎn)。在雙曲空間中,還可以推廣并改變其他領(lǐng)域的一些成果文獻(xiàn)[10-13，15-17,19，20，25，28]。

為了在雙曲空間中定義Δ-收斂,首先介紹一些基本概念和引理。

引理1.2[30] 設(shè)(X,d,W)是完備一致凸的雙曲空間,且它的有單調(diào)的一致凸性模。則X中的每一個有界序列{xn},對于X的每一個非空閉凸子集K而言有唯一的一個漸近中心。

由分析知識可知:設(shè)x∈X,xn是X中的序列,如果對于{xn}中的任何子序列{un},都有x是{un}的唯一漸近中心,則稱{xn}收斂到x,記為Δ-limn→∞xn=x,并稱x是{xn}的Δ-極限。

一個映射T:K→K,對于任何一個有界序列{xn}?K,如果d(xn,Txn)→0,那么{xn}有一個收斂的子序列,則稱為半緊的。

引理1.3[31] 設(shè)是an,bn,δn非負(fù)是數(shù)列,并且滿足:

an+1≤(1+δ)an+bn,?n≥1

(2)

2 主要結(jié)果

(3)

其中μn∈SS1yn，νn∈SS2xn，d(νn，μn)≤H(SS2xn，SS1yn)+τn，{τn}，{αn}，{βn}滿足下列條件:

(3)‖xn-p‖=d(xn,p),‖yn-p‖=d(yn,p);

(4)d(x,Tiy)≤d(SSix,Tiy),?x,y∈K,i=1,2。

如果SS1,SS2,T1,T2中有一個是半緊的,則如上所定義的序列{xn}(在度量拓?fù)渲衖.e.)強(qiáng)收斂到一個不動點(diǎn)p∈B。

第一步:首先證明:對于?p∈B極限limn→∞d(xn,p)存在。

對于?p∈B,因?yàn)镾S1,SS2是一個多值非擴(kuò)張映射,T1,T2是一個漸近非擴(kuò)張映射,由條件(2),(3)可得

≤(1-αn)d(xn,p)+αn(1+kn)H(SS1yn,SS1p)+(1+kn)αnτn

≤(1-αn)d(xn，p)+αn(1+kn)‖yn-p‖+(1+kn)αnτn

≤(1-αn)d(xn,p)+αn(1+kn)d(yn,p)+(1+kn)αnτn

(4)

其中

≤(1-βn)d(xn,p)+βn(1+kn)H(SS2xn,SS2p)+(1+kn)βnτn

≤(1-βn)d(xn，p)+βn(1+kn)‖xn-p‖+(1+kn)βnτn

=(1-βn)d(xn,p)+βn(1+kn)d(xn,p)+(1+kn)βnτn

(5)

=(1+βnkn)d(xn，p)+(1+kn)βnτn

所以

d(xn+1，p) ≤[1+αn(1+βn+βnkn)kn]d(xn，p)

+[1+(1+kn)βn](1+kn)αnτn

(6)

第二步:證明對于?p∈B

(7)

由第一步可知:極限limn→∞d(xn，p)存在,不妨設(shè)limn→∞d(xn，p)=c≥0如果c=0,則結(jié)論顯然成立。下面考察c>0的情況。由(5)可知:

d(yn，p)≤(1+βnkn)d(xn，p)+(1+kn)βnτn

(8)

對上式兩邊同取極限可得：

(9)

另外因?yàn)?/p>

所以

(10)

(11)

(12)

由(10)-(12)及引理1.4可得

(13)

同樣的方法可得

(14)

根據(jù)條件(4),由(13),(14)可得

(15)

以及

(16)

由(3),(14)可得

(17)

以及

(18)

注意到

由(16),(17)可得

(19)

又由(15)可得

(20)

另一方面,由(13),(19)可得

(21)

因此,由(20),(21)可得

(22)

另外,因?yàn)?/p>

以及(15),(22)可得

(23)

綜上,可得對于i=1,2都有下式成立

由(16),(20),(23)可得

(24)

因?yàn)?/p>

由(14),(16),(20),(21)可得

(25)

事實(shí)上,因?yàn)閷τ?p∈F極限limn→∞d(xn，p)存在,所以序列l(wèi)imn→∞d(xn，p)是有界的。因此由引理1.2可知序列{xn}有唯一一個漸近中A({xn})=xn。設(shè){μn}是{xn}的任何一個子序列,記A({μn})={μ}由(7)可知下式成立

(26)

(27)

因?yàn)門i滿足一致L-Lipschitzian,由(27)可得

d(zj，μn)≤(1+kn)d(μ，μn)+jLd(Tiμn，μn)。

對上式兩邊同取上極限,并由(26)可得

因此

r(zj，{μn})≤r(y，{μn})，?y∈K?X。

所以

故

第四步。證明limn→∞d(xn,p)=0。

利用(24),(25)以及SS1,SS2,T1,T2中有一個是半緊的,可知{xn}存在的一個子序列{xni}?{xn}強(qiáng)收斂到p∈K。而且由SS1,SS2,T1,T2的連續(xù)性可知:對于任意i=1,2有下面兩式成立

即p∈B。又由第一步:極限limn→∞d(xn,p),p∈B存在。所以limn→∞d(xn,p)=0。定理證畢。

(28)

其中νn∈SS2xn,μn∈SS1yn,d(νn,μn)≤H(SS2xn,SS1yn)+τn,{τn},{αn},{βn}滿足下列條件:

(3)‖xn-p‖=d(xn,p),‖yn-p‖=d(yn,p);

(4)d(x,Tiy)≤d(SSix,Tiy),?x,y∈K,i=1,2。

如果SS1,SS2,T,T2中有一個是半緊的,則(28)所定義的序列{xn}(在度量拓?fù)渲衖.e.)強(qiáng)收斂到一個不動點(diǎn)p∈B。

證明:在(3)中令Ti=I,i=1,2。因?yàn)闈M足定理2.1中所有的條件,所以由定理2.1可得序列{xn}強(qiáng)收斂到B中的一個公共不動點(diǎn)。定理證畢。

(29)

其中νn∈SS2xn,μn∈SS1yn,d(νn,μn)≤H(SS1xn,SS2yn)+τn,{τn},{αn},{βn}滿足下列條件:

(3)‖xn-p‖=d(xn,p),‖yn-p‖=d(yn,p)。

如果SS1,SS2中有一個是半緊的,則(29)所定義的序列{xn}(在度量拓?fù)渲衖.e.)強(qiáng)收斂到一個不動點(diǎn)p∈B。

證明:在(28)中令Ti=I,i=1,2。因?yàn)闈M足定理2.1中所有的條件,所以由定理2.2可得序列{xn}強(qiáng)收斂到B中的一個公共不動點(diǎn)。定理證畢。

(30)

其中νn∈SS2xn,μn∈SS1yn,d(νn,μn)≤H(SS2xn,SS1yn)+τn,{τn},{αn},{βn}滿足下列條件:

(3)‖xn-p‖=d(xn,p),‖yn-p‖=d(yn,p);

(4)d(x,Tiy)≤d(SSix,Tiy),?x,y∈K,i=1,2。

如果SS1,SS2,T,T2中有一個是半緊的,則(30)所定義的序列{xn}(在度量拓?fù)渲衖.e.)強(qiáng)收斂到一個不動點(diǎn)p∈B。

證明:在(3)中令SSi=I,i=1,2。因?yàn)闈M足定理2.1中所有的條件,所以由定理2.1可得序列{xn}強(qiáng)收斂到B中的一個公共不動點(diǎn)。定理證畢。