趙平，黃洪鐘，李剛，張小強，李彥鋒

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太陽翼驅(qū)動機構(gòu)諧波齒輪減速器動態(tài)可靠性優(yōu)化設(shè)計

趙平1，黃洪鐘2*，李剛2，張小強2，李彥鋒2

（1.成都高新技術(shù)創(chuàng)業(yè)服務(wù)中心，四川 成都 610041；2.電子科技大學(xué) 機械與電氣工程學(xué)院，四川 成都 611731）

諧波齒輪減速器廣泛應(yīng)用于太陽翼驅(qū)動機構(gòu)，具有較強的承載能力，也易于實現(xiàn)輕量化設(shè)計，同時具有諸如回差低、減速比范圍大等優(yōu)點。受諸多不確定因素如磨損和載荷等的影響，諧波齒輪減速器的強度隨著服役過程的推進而逐步退化。將強度退化引入諧波齒輪減速器靜態(tài)可靠性優(yōu)化設(shè)計模型中，運用Gamma過程對柔輪疲勞強度退化進行表征，以此建立考慮強度退化的可靠性優(yōu)化設(shè)計模型，并應(yīng)用MATLAB對所建優(yōu)化模型進行求解。結(jié)果表明：考慮強度退化的優(yōu)化設(shè)計結(jié)果比靜態(tài)的優(yōu)化設(shè)計結(jié)果更加保守?？紤]強度退化時，諧波齒輪減速器在初始設(shè)計階段就必須使可靠度高于最低要求值，因此此種情況下得到的諧波齒輪減速器通常更加安全可靠。

太陽翼驅(qū)動機構(gòu)；諧波齒輪減速器；可靠性；強度退化；Gamma過程

為使諧波齒輪減速器在達到規(guī)定可靠度的同時滿足結(jié)構(gòu)尺寸最優(yōu)、質(zhì)量最輕、成本最低等要求，需對其進行可靠性優(yōu)化設(shè)計。Kayabasi和Erzincanli[1]對柔輪的破壞過程進行了有限元仿真分析，并據(jù)此對其齒形進行優(yōu)化。Maniwa和Obara[2]對諧波齒輪三大件，即波發(fā)生器本身、波發(fā)生器與柔輪及柔輪與鋼輪之間的潤滑情況進行試驗，結(jié)果表明固體潤滑脂在真空環(huán)境中的揮發(fā)速度比常規(guī)環(huán)境的快，因此在真空環(huán)境下三大件間的摩擦更為嚴(yán)重。Jeon和Oh[3]、Ostapski和Mukha[4]、Kikuchi等[5]分別對柔輪光滑殼體空載、受載時的應(yīng)力進行分析和計算，并推導(dǎo)了強度校核公式。趙磊[6]從結(jié)構(gòu)動力學(xué)方面對諧波齒輪進行了建模研究。萬慶祝等[7]、萬筱劍等[8]分別對諧波齒輪減速器的傳動誤差進行了分析。羅中華等[9]對二級斜齒輪減速器進行了優(yōu)化設(shè)計。劉江[10]對諧波齒輪減速器進行了可靠性優(yōu)化設(shè)計并研究了其傳動精度。楊健等[11]基于ABAQUS分析了諧波齒輪減速器裝配及運轉(zhuǎn)過程中柔輪的力學(xué)響應(yīng)。馬天政等[12]基于應(yīng)力－強度干涉模型，采用一次二階矩法對諧波齒輪減速器進行了可靠性優(yōu)化設(shè)計。杜麗等[13]考慮認知不確定性，對諧波齒輪減速器進行了可靠性分析。郭惠聽[14]考慮諧波齒輪可靠性優(yōu)化設(shè)計模型中的模糊變量，對蟻群算法進行了改進以計算所提出的模型。董惠敏和劉書海[15]對諧波齒輪傳動進行多目標(biāo)模糊優(yōu)化建模，基于模糊集合理論提出將其轉(zhuǎn)化為常規(guī)單目標(biāo)優(yōu)化。翁立軍等[16]建立了一套實驗裝置，以模擬諧波齒輪減速器的運行環(huán)境，并對不同固體潤滑薄膜下的工作表面磨損情況進行分析，從而選出更適用于諧波齒輪減速器潤滑的固體潤滑薄膜。

雖已有眾多學(xué)者對諧波齒輪減速器做了大量研究，但對諧波齒輪減速器進行可靠性優(yōu)化設(shè)計時考慮強度退化的研究工作尚未見報道。

1 諧波齒輪減速器強度退化分析

受諸多不確定因素如磨損和載荷等的影響，諧波齒輪減速器的強度隨著服役過程的推進而逐步退化。傳統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計方法缺乏對強度退化的考慮，為使諧波齒輪減速器可靠性評估結(jié)果更為準(zhǔn)確，使其滿足設(shè)計壽命，有必要對諧波齒輪減速器進行考慮強度退化的動態(tài)可靠性優(yōu)化設(shè)計。

結(jié)構(gòu)強度隨時間退化具有以下特征：

（1）隨機性。強度退化是與時間相關(guān)的函數(shù)。對某一給定的結(jié)構(gòu)而言，在任一確定時刻，強度退化的數(shù)值存在分散性，即強度退化具有隨機性。這種特征表明，強度退化是隨時間變化的隨機過程。

（2）單調(diào)性。隨著時間的推移，結(jié)構(gòu)抵抗應(yīng)力作用的能力只可能逐漸降低，而不可能提高，即強度退化只能沿一個方向變化。因此，必須采用具有非負增量的隨機過程來描述強度退化過程。

由于強度退化具有以上兩個特征，常用隨機過程如布朗運動、維納過程等均不適用于描述諧波齒輪減速器的強度退化過程。

文獻[17]對大量結(jié)構(gòu)強度退化數(shù)據(jù)進行擬合分析，分析結(jié)果表明，對于強度退化緩慢的結(jié)構(gòu)可用Gamma過程進行描述。因此，本文采用Gamma過程來描述諧波齒輪減速器強度退化過程，并進行可靠性優(yōu)化設(shè)計。

一般而言，Gamma過程是一個獨立非負的增量過程，且增量服從尺度參數(shù)相同的Gamma分布。

假設(shè)為隨機變量，其概率密度函數(shù)為：

式中：為形狀參數(shù)，＞0；為尺度參數(shù)，＞0；()為Gamma函數(shù)；I()為示性函數(shù)（A為任意一個集合）；為自然底數(shù)。

則稱隨機變量服從形狀參數(shù)為、尺度參數(shù)為的Gamma分布。

Gamma過程具有以下基本性質(zhì)：

（1）(0)＝0；

（2）當(dāng)＞≥0時，()在非相交區(qū)間內(nèi)的增量（()－()）相互獨立；

（3）當(dāng)＞≥0時，增量（()－()）服從形狀參數(shù)為（()－()）、尺度參數(shù)為的Gamma分布(()－(),)。

2 考慮強度退化的諧波齒輪減速器可靠性優(yōu)化設(shè)計模型

衛(wèi)星從地面飛入太空的整個過程需耗費大量燃料，成本較高。因此，在保證諧波齒輪減速器滿足規(guī)定可靠度要求的同時減少衛(wèi)星的重量，對于控制衛(wèi)星發(fā)射成本有重要作用。本文首先根據(jù)實際情況，結(jié)合大量文獻調(diào)研，建立諧波齒輪減速器的靜態(tài)可靠性優(yōu)化設(shè)計模型，并在此基礎(chǔ)上建立考慮強度退化的動態(tài)可靠性優(yōu)化設(shè)計模型。在其它條件不變的情況下，衛(wèi)星的重量最小等價于諧波齒輪減速器的體積最小，因此本文將體積視為諧波齒輪減速器可靠性優(yōu)化設(shè)計模型的目標(biāo)函數(shù)。

本設(shè)計中涉及的設(shè)計變量有：柔輪模數(shù)；柔輪筒長，mm；齒圈壁厚，mm；齒寬，mm。即：

式中：為設(shè)計變量向量；1、2、3、4分別對應(yīng)柔輪模數(shù)、柔輪筒長、齒圈壁厚和齒寬。

根據(jù)文獻[18]可得柔輪的體積表達式為：

式中：d為柔輪內(nèi)徑；h為齒頂高系數(shù)；c為頂隙系數(shù)；1為光滑圓筒壁厚且1＝0.816；c為頂隙系數(shù)；d為柔輪未變形時的中性圓直徑，d＝mz1；m為當(dāng)量模數(shù)，m＝[1－(2h＋c)＋21－]；1為柔輪齒數(shù)；1為柔輪變位系數(shù)，1＝0.0221；為柔輪壁厚系數(shù)，＝/。

因此，諧波齒輪減速器的體積可表示為：

本文中，用和分別表示隨機變量向量和區(qū)間變量向量，且：

式中：C為正應(yīng)力系數(shù)；C為剪應(yīng)力有效應(yīng)力集中系數(shù)；-1和-1分別為柔輪材料的彎曲和剪切疲勞極限，MPa；σ為柔輪的許用彎曲強度，MPa；p為許用比壓，MPa；0為柔輪額定輸出力矩，N·m；K為考慮畸變的影響而進行的修正系數(shù)；r為軸向應(yīng)力對柔輪應(yīng)力造成的影響系數(shù)；Δ0為刀具分度圓齒厚改變系數(shù)，Δ0＝20tan0，0為刀具變位系數(shù)，0為齒形角；Δ1為柔輪分度圓改變系數(shù)，Δ1＝1tan20；Δ2為鋼輪分度圓改變系數(shù)，Δ2＝(2－0)(inv0－invα2)，2為鋼輪齒數(shù)，0為插齒刀齒數(shù)，α2為切齒嚙合角，°；K為動載系數(shù)；K為考慮剪應(yīng)力分布不均勻而進行修正的系數(shù)；K和K分別為柔輪受到的正應(yīng)力和剪應(yīng)力的應(yīng)力集中系數(shù)；1為柔輪實際受到的扭矩，N·m；為載荷系數(shù)；為嚙合齒數(shù)的百分比；K為工作齒數(shù)系數(shù)；K為工作輪齒間的載荷分布不均勻系數(shù)。

約束條件（也稱約束函數(shù)）是與設(shè)計變量相關(guān)的函數(shù)，是優(yōu)化設(shè)計過程中已知的各設(shè)計變量滿足的前提條件。對于諧波齒輪減速器，可靠性優(yōu)化設(shè)計的約束條件如表1所示。

表1 可靠性優(yōu)化設(shè)計的約束條件

式中：0為最大徑向變形量；為材料的彈性模量；r為柔輪中性圓半徑；z為當(dāng)量齒數(shù)，z＝1/4；為材料的泊松比；h為最大嚙入深度；d1和d2分別為柔輪漸開線起始圓和剛輪漸開線終止圓半徑；a為切齒中心距；r0和r0分別為刀具頂圓和基圓半徑；r2為剛輪基圓半徑；d1為柔輪齒頂圓直徑。

結(jié)合式（6）～式（18），可得到可靠性優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型如式（19）所示。

式（19）沒有考慮諧波齒輪減速器在服役過程中的強度退化，為靜態(tài)優(yōu)化模型。諧波齒輪減速器在服役過程中受磨損和載荷沖擊等的影響，強度會逐漸降低，為使可靠性優(yōu)化設(shè)計模型更符合實際，在式（19）中引入強度退化，則可得考慮強度退化的動態(tài)可靠性優(yōu)化設(shè)計模型，如式（20）所示。

式中：()為諧波齒輪減速器的強度退化量；()為服役年后的可靠度。

3 諧波齒輪減速器可靠性優(yōu)化設(shè)計模型求解與對比分析

對諧波齒輪減速器進行考慮強度退化的可靠性優(yōu)化設(shè)計時，假設(shè)Gamma退化量為0.02×108MPa/年，且需滿足5年內(nèi)的可靠度（表2）不低于0.92，即可靠度(5)＝0.92。由表2擬合可得諧波齒輪減速器5年內(nèi)的可靠性曲線如圖1所示，可知諧波齒輪減速器的可靠度隨服役時間的推進而逐漸降低，在使用第5年其可靠度可降低到0.92，達到可靠度最低要求。

表2 諧波齒輪減速器各年度對應(yīng)的可靠度（動態(tài)模型）

利用MATLAB內(nèi)置函數(shù)fmincon求解所建立的諧波齒輪減速器可靠性優(yōu)化設(shè)計模型，即式（19）、式（20），并將結(jié)果列于表3中?？芍?，相較于靜態(tài)優(yōu)化設(shè)計，考慮強度退化的動態(tài)優(yōu)化設(shè)計結(jié)果更加保守，原因是要保證諧波齒輪減速器在服役第5年可靠度不低于0.92，就必須在初始設(shè)計階段增大相關(guān)設(shè)計變量的取值，以提高初始可靠度。在本例中，考慮強度退化時要保證5年內(nèi)其強度可靠度不小于0.92，初始可靠度至少應(yīng)為0.98；若采用不考慮強度退化的靜態(tài)設(shè)計，則初始可靠度為0.92。

圖1 可靠性曲線

表3 諧波齒輪減速器可靠性優(yōu)化設(shè)計結(jié)果

4 結(jié)論

本文將強度退化引入諧波齒輪減速器靜態(tài)可靠性優(yōu)化設(shè)計模型中，運用Gamma過程對柔輪疲勞強度退化進行表征，以此建立考慮強度退化的動態(tài)可靠性優(yōu)化設(shè)計模型，并對所建模型進行了求解。根據(jù)分析結(jié)果可知，相較于靜態(tài)優(yōu)化設(shè)計，考慮強度退化的動態(tài)優(yōu)化設(shè)計結(jié)果更加保守，這與實際情況相符，也表明考慮了強度退化而設(shè)計的諧波齒輪減速器更為安全。此外，還對諧波齒輪減速器5年內(nèi)各年度的可靠度進行了計算，獲得了可靠性曲線。

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Dynamic Reliability Optimal Design of Harmonic Gear Reducers in Solar Array Drive Assembly

ZHAO Ping1，HUANG Hongzhong2，LI Gang2，ZHANG Xiaoqiang2，LI Yanfeng2

(1.Chengdu Hi-Tech Entrepreneurship Service Center, Chengdu 610041, China;2.School of Mechanical and Electrical Engineering, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 611731, China)

Harmonic gear reducers are widely used in solar array drive assembly (SADA) for advantages of high bearing capacity, light weight, low backlash, and large reduction ratio. Due to the effects of wear, and impact load, strength degradation exists inevitably in the service of harmonic gear reducers. Gamma process was used to represent the fatigue strength degradation of the flexspline and a reliability optimal design model of harmonic gear reducers considering strength degradation was set up, and then the model was solved with MATLAB and corresponding results were gained as well. The optimal design results considering the strength degradation are more conservative than the static ones. When considering the strength degradation, the reliability of harmonic gear reducers must be greater than the minimum required value at the initial design stage. Therefore, the harmonic gear reducers designed considering the strength degradation are usually more safe and reliable.

solar array drive assembly；harmonic gear reducer；reliability；strength degradation；Gamma process

TH122

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2018.07.002

1006－0316 (2018) 07－0007－06

2018－03－12

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金（ZYGX2014Z010）；機械傳動國家重點實驗室開放基金（SKLMT-KFKT-201601）

趙平（1966－），男，四川閬中人，碩士，主要研究方向為機電一體化、自動化控制、系統(tǒng)集成、計算機軟件、可靠性設(shè)計。

黃洪鐘（1963－），男，重慶人，博士，教授，主要研究方向為可靠性、疲勞壽命預(yù)測、設(shè)計優(yōu)化等。