鄧勝興, 霍燕坤

(1.廣東省湛江市第十中學(xué) 524001；2.廣東省湛江市嶺南師范學(xué)院基礎(chǔ)教育研究所 524048 )

一、數(shù)學(xué)抽象思維的內(nèi)涵

高中三年是數(shù)學(xué)思維發(fā)展的重要時(shí)期，沒(méi)有思維參與學(xué)習(xí)活動(dòng)的教學(xué)是無(wú)效或低效的.長(zhǎng)期由應(yīng)試教育影響，部分教師采取短、平，快的教學(xué)方式，教學(xué)過(guò)程采取告知和灌輸式，學(xué)生被動(dòng)接授，忽視數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，學(xué)生只能記題型，找套路，在繁瑣的解題訓(xùn)練之中，苦不堪言，對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了厭煩，阻礙了數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，弱化了數(shù)學(xué)教育應(yīng)有的價(jià)值，加重了學(xué)生的負(fù)擔(dān).

數(shù)學(xué)抽象思維是以空間圖形和數(shù)量關(guān)系的具體背景為基礎(chǔ)，舍去事物的一切物理屬性，抽象出內(nèi)在本質(zhì)的屬性和特征的思維活動(dòng)過(guò)程.核心素養(yǎng)的培養(yǎng)就是著眼學(xué)生的未來(lái)發(fā)展和推動(dòng)社會(huì)發(fā)展的能力培養(yǎng)，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和抽象概括能力等情況，有意識(shí)地進(jìn)行抽象思維培養(yǎng)的滲透，尋求抽象思維創(chuàng)新培養(yǎng)的有效策略與方法是每個(gè)數(shù)學(xué)工作者義不容辭的責(zé)任.

二、學(xué)科背景下抽象思維創(chuàng)新培養(yǎng)的認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)抽象創(chuàng)新能力為思維的發(fā)展不斷注入新的活力，加深對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解和個(gè)體數(shù)學(xué)知識(shí)信息的生成，在培養(yǎng)現(xiàn)代公民素養(yǎng)方面是不可或缺的.數(shù)學(xué)抽象思維的創(chuàng)新培養(yǎng)就是通過(guò)數(shù)學(xué)分析、抽象和概括思維活動(dòng)，獨(dú)立思考，嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致求證，理解數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵和本質(zhì)，構(gòu)建知識(shí)體系，并能巧用知識(shí)處理數(shù)學(xué)問(wèn)題，具備創(chuàng)新發(fā)展的能力和終生發(fā)展的思維品格，成為創(chuàng)新學(xué)習(xí)的主人.

1.抽象思維創(chuàng)新培養(yǎng)應(yīng)關(guān)注層次性

抽象思維創(chuàng)新培養(yǎng)遵循由易到難、層次遞進(jìn)，不斷完善的發(fā)展順序.因此，在教學(xué)過(guò)程中，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知情況，精心設(shè)計(jì)適合學(xué)生思維發(fā)展的教學(xué)內(nèi)容，為學(xué)生抽象思維發(fā)展搭建腳手架，一步一個(gè)臺(tái)階，適時(shí)點(diǎn)撥和指引，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與討論和進(jìn)行思維碰撞，才能保證思維不斷向縱深處發(fā)展.

2.抽象思維創(chuàng)新培養(yǎng)應(yīng)關(guān)注生成性

波利亞說(shuō)：“學(xué)習(xí)任何知識(shí)的最佳途徑都是由自己去發(fā)現(xiàn)，因?yàn)檫@種發(fā)現(xiàn)理解是最深刻，也最容易掌握其內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系.”遺憾的是，為了騰出時(shí)間進(jìn)行高考復(fù)習(xí)，兩年授完所有課程，剩下一年進(jìn)行總復(fù)習(xí)，教師為了趕進(jìn)度，講授得多，學(xué)生被動(dòng)接授，參與得少，對(duì)知識(shí)點(diǎn)理解不深、不透，一到考試則無(wú)從下手，畏懼?jǐn)?shù)學(xué).數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成長(zhǎng)的沃土，知識(shí)的生成需要時(shí)間思考和體會(huì)，因此，在抽象思維的培養(yǎng)過(guò)程中，教師要放慢腳步，讓學(xué)生有充足的時(shí)間對(duì)知識(shí)的理解和運(yùn)用，通過(guò)自主學(xué)習(xí)和豐富數(shù)學(xué)抽象活動(dòng)，積累相關(guān)抽象思維能力有關(guān)知識(shí)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象概括能力，使教與學(xué)能夠相互貫通.

3.抽象思維創(chuàng)新培養(yǎng)應(yīng)關(guān)注系統(tǒng)性

數(shù)學(xué)抽象教學(xué)關(guān)注的是思維和知識(shí)的體系完整.學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展是逐步有層次上升的，但在這個(gè)期間是反復(fù)的、變化的.進(jìn)行抽象思維創(chuàng)新培養(yǎng)，講究的是動(dòng)靜結(jié)合，學(xué)生個(gè)體與班級(jí)交流互動(dòng)有機(jī)聯(lián)系.由于每個(gè)學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備和思維方式的差異，看待問(wèn)題也有不同的看法，甚至表現(xiàn)為思路紊亂，陳述前后矛盾，知識(shí)相互割裂、相互孤立，缺乏條理性和整體性等.教師若能從學(xué)科的整體性，系統(tǒng)性考慮，穿針引線，將零散、雜亂的知識(shí)形成一個(gè)有機(jī)整體，實(shí)現(xiàn)點(diǎn)、線、面的結(jié)合，就會(huì)提高學(xué)生的概括能力和駕馭知識(shí)的能力.

三、學(xué)科素養(yǎng)背景下抽象思維創(chuàng)新培養(yǎng)的策略

數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇冠，現(xiàn)代科技創(chuàng)新離不開(kāi)數(shù)學(xué).抽象思維在中學(xué)生的發(fā)展階段起主導(dǎo)地位，數(shù)學(xué)抽象思維的創(chuàng)新培養(yǎng)需要以生為本，循序漸進(jìn)，通過(guò)問(wèn)題的情境化，洞察錯(cuò)因，有的放矢，構(gòu)造模型，整體考慮，深化理解，提升素養(yǎng).

1.在函數(shù)的單調(diào)性概念中進(jìn)行抽象教學(xué)，層層深入，注重生成

數(shù)學(xué)概念反映的是數(shù)學(xué)本質(zhì)和特征.理解數(shù)學(xué)，就必須掌握數(shù)學(xué)概念.

在概念教學(xué)中，教師應(yīng)緊緊圍繞核心知識(shí)，借助舊知，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)已知的信息和研究對(duì)象進(jìn)行多方位、多維度的考慮，循序漸進(jìn)，層層深入地進(jìn)行探索和總結(jié)，歸納，得出正確的結(jié)論，形成概念.

例1 下圖是某城市2016年某天24小時(shí)內(nèi)的氣溫變化情況，從這張氣溫變化圖獲取相關(guān)數(shù)學(xué)信息.

師：請(qǐng)描述這一天氣溫隨時(shí)間增大的變化情況？

生：零時(shí)至4時(shí)，氣溫逐漸下降，4時(shí)至14時(shí)氣溫逐漸升高，18時(shí)后開(kāi)始逐漸下降.

師：畫(huà)出y=x2的圖象，結(jié)合圖象說(shuō)出函數(shù)y=x2在區(qū)間(0,+∞)上函數(shù)值y隨自變量x的逐漸增大怎樣變化？在區(qū)間(-∞,0)上，函數(shù)值y隨自變量x的逐漸增大又怎樣變化？

生：y=x2在(0,+∞)上隨自變量x的逐漸增大，函數(shù)值y也增大；在(-∞,0)上隨自變量x的逐漸增大，函數(shù)值y反而減小.

師：請(qǐng)結(jié)合y=x2的圖象給函數(shù)的增減性下定義.

生：由y=x2圖象可以得出：y=x2在(-∞,0)上函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小，故稱y=x2在(-∞,0)為減函數(shù)；類似地，y=x2在(0，+∞)上y隨x的增大而增大，故稱y=x2在(0,+∞)為增函數(shù).

師：請(qǐng)同學(xué)們完成下表并比較f(-1),f(2),f(3),f(4)的大小.

x-1234…f(x)=x2

生：f(-1)

師：由f(-1)

生：不能.

師：為什么？

生：由y=x2圖象可知，y=x2在(-∞,0)遞減，y=x2在遞(0,+∞)增，因此在(-1，4)不是遞增函數(shù).

師：如果函數(shù)y=f(x)在(a,b)是減函數(shù)，在(b,c)是減函數(shù)，則在(a,c)上是減函數(shù)嗎？

生：是減函數(shù).

(有許多學(xué)生表情表現(xiàn)出困惑)

師：從上面的回答得到，說(shuō)明函數(shù)的增減性，可以由圖象直觀得到，數(shù)學(xué)講求的是嚴(yán)謹(jǐn)性，判斷函數(shù)的單調(diào)性需要從函數(shù)的單調(diào)性定義加以論證，下面我們?nèi)绾巫C明y=x2在(0,+∞)是遞增.

生：從上面可知，只要在區(qū)間(0,+∞)上，任取兩個(gè)自變量x1、x2，當(dāng)x1

師：如何證明f(x1)

因?yàn)?

掌握數(shù)學(xué)，從理解數(shù)學(xué)概念開(kāi)始.本節(jié)教學(xué)圍繞函數(shù)單調(diào)性定義這個(gè)中心目標(biāo)，設(shè)計(jì)步步深入，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用邏輯思維解決數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)描述社會(huì)生活，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識(shí).

2.在基本不等式中進(jìn)行抽象教學(xué)，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)

數(shù)學(xué)與生活相互交融、相互影響.為了培養(yǎng)學(xué)生的抽象性思維，教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和教學(xué)內(nèi)容為他們創(chuàng)造不同的問(wèn)題情境，讓他們積極融入有趣的數(shù)學(xué)課堂中.

例2 結(jié)合學(xué)生的生活實(shí)際，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，抽象出基本不等式的定理和推論.

問(wèn)題(2)某藥店有一個(gè)兩臂長(zhǎng)度各不相等的天平，藥店老板稱量物體時(shí)，將物品放在左、右兩個(gè)托盤(pán)中各稱一遍，隨后再把稱量結(jié)果相加后除以2就是物體的實(shí)際重量.同學(xué)們，你們認(rèn)為這種方法正確嗎？

師：?jiǎn)栴}(1)中兩種促銷活動(dòng)哪些會(huì)更實(shí)惠些？

師：若a=b，兩種關(guān)系如何？

生3 ∵(a-b)2≥2,∴a2+b2≥2ab,

∴a2+b2+2ab≥4ab,

數(shù)學(xué)本質(zhì)就是以簡(jiǎn)馭繁，用基本不等式的性質(zhì)和推理解釋打折問(wèn)題和物理中的力矩平衡問(wèn)題情境，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)，讓學(xué)生思維的火花燃燒于課堂，愉悅的精神與融洽的學(xué)習(xí)氛圍有利于學(xué)生啟動(dòng)思維積極探索，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力，增長(zhǎng)智慧.

3.在三視圖教學(xué)中進(jìn)行抽象教學(xué)，建構(gòu)圖形，整體把握

心理學(xué)認(rèn)為人類觀察事物的意識(shí)印象就是顯示出事物的整體性，整體把握就是在認(rèn)知的過(guò)程中把客觀對(duì)象當(dāng)成一個(gè)整體看待.在空間立體幾何中，三視圖是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的重要組成部分.高考對(duì)三視圖知識(shí)的考查很重視，而考查的幾何圖形位置比較復(fù)雜，不容易把握，得分率特低，學(xué)生有畏懼心理.我們知道，復(fù)雜的圖形來(lái)源于簡(jiǎn)單圖形的演變，在空間幾何中，長(zhǎng)方體(或圓柱)是我們最熟悉的圖形，三棱錐(或圓錐)、四棱錐、六棱錐等都可以由它切割生成.因此在高三數(shù)學(xué)教學(xué)中可以多方聯(lián)系和想象，拓展思維，構(gòu)建立體交叉圖形的知識(shí)體系.

例3 已知空間圖形的三視圖如圖2所示，求這個(gè)幾何體的全面積.

師：從圖形分析，可以判斷所求幾何體是什么圖形？

生：正視、側(cè)視和俯視圖都是三角形，可以判斷所求的幾何體是四面體.

師：四面體一般放在什么圖形中思考？

從圖形的特征出發(fā)，將復(fù)雜的圖形鑲嵌在長(zhǎng)方體或圓柱中考慮，通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)并運(yùn)用計(jì)算機(jī)等媒體手段，尋找問(wèn)題的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，掌握?qǐng)D形變化的規(guī)律，化難為易 ，化繁為簡(jiǎn)，以不變應(yīng)萬(wàn)變，馳騁想象，發(fā)展智力.

4.在直線與圓的位置關(guān)系中進(jìn)行抽象教學(xué)，一題多變，觸類旁通

人的思維是依次發(fā)展，不斷完善的.善于學(xué)習(xí)的人，往往都是善于歸納的，思維也是很活躍的，善于從復(fù)雜的事物中找出具有規(guī)律性的東西.因此，教師要把主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生從問(wèn)題的多個(gè)方面進(jìn)行探究，在數(shù)學(xué)探究的同時(shí)學(xué)會(huì)知識(shí)，理解知識(shí)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)規(guī)律，并善于利用規(guī)律解決問(wèn)題，從而促進(jìn)抽象思維可持續(xù)性發(fā)展.

變式3：已知點(diǎn)P(x0,y0)是圓x2+y2=R2上一點(diǎn)，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的切線方程.

變式4：已知點(diǎn)P(x0,y0)是圓(x-a)2+(y-b)2=R2上一點(diǎn)，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的切線方程.

從一題出發(fā)，實(shí)施變式訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生多角度思考或?qū)ν粋€(gè)問(wèn)題的不同層面進(jìn)行探究，就能抓住問(wèn)題的本質(zhì)，提煉方法，觸類旁通，形成能力.

5.在數(shù)列教學(xué)中進(jìn)行抽象教學(xué)，釋疑糾錯(cuò)，內(nèi)化提升

“試錯(cuò)”是通往成功的墊腳石，錯(cuò)誤的本身更可以讓我們了解到自己存在的不足.每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)總是伴隨著從錯(cuò)誤中走來(lái)，在錯(cuò)誤中不斷完善和建構(gòu).在學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，教師應(yīng)耐心點(diǎn)撥學(xué)生自己尋找錯(cuò)誤的源頭，究竟問(wèn)題錯(cuò)在哪里？通過(guò)剖析和反思，發(fā)現(xiàn)自己對(duì)知識(shí)內(nèi)容理解不夠全面和透徹，找到自己薄弱環(huán)節(jié)，進(jìn)行加強(qiáng)鞏固，主動(dòng)建構(gòu)和完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

師：這兩種求解方法具有代表性，請(qǐng)同學(xué)們說(shuō)一說(shuō)，議一議，分析錯(cuò)誤的原因.

師：如何改正？

師：生3從等差數(shù)列前n和公式的本質(zhì)特征出發(fā)，找到問(wèn)題的所在，還有其他方法嗎？

生4：利用性質(zhì)：若m+n=p+q，則am+an=ap+aq來(lái)解決.

師：生4從等差數(shù)列的性質(zhì)出發(fā)，非常高效，還有其它種方法嗎？

師：生5的解法回到求和公式，思路自然，但需要很強(qiáng)的解題運(yùn)算能力和堅(jiān)韌的精神.

思維開(kāi)始于疑惑和矛盾.當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)知識(shí)性錯(cuò)誤時(shí)，教師要指出存在問(wèn)題的地方，引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考，積極討論和闡述自己做題的思路與想法，弄清知識(shí)背后隱藏的內(nèi)涵，尋求解決的方案.在教學(xué)中盡可能啟發(fā)學(xué)生尋找錯(cuò)誤的原因，幫助學(xué)生糾正錯(cuò)誤，并在糾錯(cuò)中得到體悟，在體悟中獲得生成，在生成中求得真知.

抽象思維的培養(yǎng)重要陣地就在課堂，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)不斷概括、重組，再造，促進(jìn)了抽象思維的深度發(fā)展.因此，數(shù)學(xué)抽象思維的創(chuàng)新培養(yǎng)應(yīng)從學(xué)科系統(tǒng)上整體設(shè)計(jì)，著眼于學(xué)生未來(lái)發(fā)展需要，從細(xì)節(jié)抓起，關(guān)注思維個(gè)體差異，一步一個(gè)腳印地進(jìn)行培育，為學(xué)生將來(lái)的全面發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的根基.