在線段圖學習中促進數(shù)學語言轉(zhuǎn)換*
——以蘇教版三下《畫線段圖解決問題》的教學為例

蘇聯(lián)數(shù)學教育家斯托利亞爾認為，數(shù)學教學就是數(shù)學語言的教學。學生學習數(shù)學時，不論是閱讀、聽講、回答問題、小組討論、交流展示，還是獨立解決問題，都是以數(shù)學語言為中介。數(shù)學語言主要包括圖形語言、文字語言和符號語言。如果數(shù)學語言轉(zhuǎn)換能力差，就會造成閱讀、理解、思維和表達障礙，導致學習困難。解決實際問題是小學階段最重要的學習內(nèi)容之一，問題形式靈活多樣，有的結構特殊，學生很難發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)量關系，無法順暢地理解題意。線段圖是數(shù)學圖形語言中的一種，用數(shù)形結合的形式表示數(shù)量關系比較直觀，能讓人一目了然。學生在抽象、繪畫和分析中逐漸理解并掌握線段圖的過程，就是學生熟練轉(zhuǎn)換數(shù)學語言的過程。

一、經(jīng)歷線段圖抽象過程，將一種圖形語言轉(zhuǎn)換為另一種圖形語言

美國數(shù)學家斯蒂恩說過：“如果一個特定問題可以轉(zhuǎn)化一個圖形，那么思想就整體把握了問題，并能創(chuàng)造性思索問題的解法?！本€段圖能幫助學生分析題意、理解數(shù)量關系，是學生從形象思維向抽象思維過渡的載體，是學生有效解決問題的重要工具之一。學生認識線段圖是從直條圖開始的，經(jīng)歷直條圖“遮蓋”具體數(shù)量，過渡到用直條圖概括數(shù)量的多少，最后從直條圖的具象過程初步抽象為線段圖表示數(shù)量多少及數(shù)量關系。

教師出示2朵紅花和6朵藍花（如圖1左），學生用倍數(shù)關系描述：藍花朵數(shù)是紅花朵數(shù)的3倍；藍花朵數(shù)比紅花朵數(shù)多2倍。用比多比少關系描述：藍花朵數(shù)比紅花多4朵。教師用紅色和藍色長方形“遮蓋”在兩種花上（如圖1中），問學生：什么變了？什么沒變？學生發(fā)現(xiàn)表示數(shù)量的物體由原來的花變?yōu)殚L方形，圖形變了，但數(shù)量之間的倍數(shù)關系沒有改變——藍色長方形長度是紅色長方形長度的3倍；藍色長方形長度比紅色長方形長度多2倍。教師把長方形逐步變窄直到成為線段圖（如圖1右），學生發(fā)現(xiàn)圖形形狀發(fā)生了改變，線段圖表示的數(shù)量不僅僅是2朵花，還可以代表更多，而且圖形之間的數(shù)量關系——倍數(shù)關系不變。

圖1 圖形之間的數(shù)量關系

用線段圖表示數(shù)量和數(shù)量關系對低年級學生而言比較抽象：一方面，他們認識數(shù)量是從“數(shù)”（shǔ）物體個數(shù)開始的，從線段圖上數(shù)不出物體個數(shù)；另一方面，根據(jù)皮亞杰的認知發(fā)展理論，7～11歲兒童的思維以具體形象思維為主，無法想象同樣長度的線段可以表示不同的數(shù)量。教師先用直條圖作為實物圖與線段圖之間的橋梁，使學生在建立數(shù)量多少的基礎上理解用圖代數(shù)的方法（圖下有數(shù)）；把直條圖抽象為線段圖，建立數(shù)與圖之間的對應關系，讓學生經(jīng)歷“具體實物—直條圖—線段圖”的抽象過程，溝通新舊知識間的聯(lián)系，打通了從直觀到抽象的“通道”。學生對線段圖就有了本原性認識，實現(xiàn)了從一種圖形語言（實物）到另一種圖形語言（線段圖）的轉(zhuǎn)換。當然，認知經(jīng)驗和個性差異可能使學生的語言轉(zhuǎn)換程度因人而異，教師要幫助他們充分經(jīng)歷交流和表達過程，使他們在獨立思考和小組合作中逐步實現(xiàn)目標。

二、經(jīng)歷線段圖繪制過程，將文字語言轉(zhuǎn)換為圖形語言

幾何直觀是《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》的十大核心概念之一，培養(yǎng)學生的初步幾何直觀是小學數(shù)學教學重要任務之一，畫線段圖則有助于培養(yǎng)學生的幾何直觀能力。教師一方面要幫助學生逐步養(yǎng)成畫圖的習慣，另一方面要引導學生理解、掌握一些基本線段圖，并應用他們解決問題。在用線段圖解決問題前，教師要引導學生充分認識線段圖，學會畫線段圖并用線段圖描述問題、分析問題，促進學生對數(shù)學語言的理解和表達。

教學時，教師可以先創(chuàng)設情境：國慶節(jié)期間，小明的媽媽帶小明去商場買衣服。“一條褲子28元，一件上衣的價格是褲子的3倍”。根據(jù)這些信息，學生提出一些數(shù)學問題，有的學生問：“一件上衣多少元？”有的學生問：“一件上衣比一條褲子貴多少元？”有的學生問：“買一套衣服需要多少元？”解決“一件上衣多少元”時，學生嘗試在原有線段圖的基礎上補充表示上衣價錢的圖（如圖2）。

圖2 褲子和上衣之間的數(shù)量關系線段圖

根據(jù)題目中褲子和上衣之間數(shù)量關系——“上衣的價格是褲子的3倍”，學生把褲子價格用一定長度（如1厘米）的線段表示一份，上衣價格就用3個同樣長度（3厘米）的線段表示。教師問學生如何在線段圖上表示問題時，學生隨即在圖中表示出已知條件及要解決的問題；教師引導學生比較文字表達信息與線段圖表達信息的區(qū)別時，學生發(fā)現(xiàn)情境圖中的條件和問題都可以用線段圖表示出來，并且比情境圖更清晰、更直觀。

繪制線段圖既要掌握畫圖方法，又要理解圖形內(nèi)涵。學生獨立畫線段圖并說明畫圖理由的過程，就是把文字語言轉(zhuǎn)換為圖形語言的過程，轉(zhuǎn)換過程越完整、越規(guī)范，就說明學生對題目信息理解越充分，對數(shù)量關系理解越透徹，對圖形語言表征形式理解得越準確。學生之間相互交流和補充，有助于進一步完善線段圖的表達形式（寫名稱、寫數(shù)量、畫括線、畫問號），真正理解線段圖的內(nèi)涵，學會分析問題并掌握解題思路。

三、經(jīng)歷線段圖理解過程，將圖形語言轉(zhuǎn)換為符號語言

運用線段圖的關鍵，是理解線段圖和分析線段圖。只有讀懂線段圖，學生才能獨立、正確地畫出線段圖，才能正確地分析問題和解決問題。因此，學生畫線段圖之前要學會閱讀線段圖。“畫”和“讀”是兩個相輔相成的過程，缺一不可。讀線段圖可以先看出圖中各部分所表示的獨立信息，再綜合起來看線段圖整體意義，還可以把各個部分進行對比，聯(lián)想線段圖各部分之間隱藏的數(shù)量關系。

教師問學生在線段圖（如圖2）上能表示哪些問題時，學生用不同的方式解讀了線段圖的意義。解決購買一套衣服一共需要多少錢時，有的學生列式為 48×3+48=192（元），并比劃線段圖說明48×3是先求一件上衣的價格，再把兩部分合起來求一套衣服的價格；有的學生列式為（1+3）×48=192（元），在線段圖上說明把褲子的價格看作1份，上衣價格有這樣的3份，求一套衣服多少元，就是求4個48是多少，列式為（1+3）×48。最后，學生根據(jù)線段圖順利解決了一件上衣比一條褲子貴多少元的問題。

線段圖為學生順利解決問題提供了很大的幫助。教師提供不完整的線段圖，讓學生用自己的方式理解，是順應他們的認知方式。學生用自己的理解方式理解線段圖后，能從中體會不同問題在線段圖上的表征形式，根據(jù)線段圖聯(lián)想和倍問題、差倍問題的結構特征，充分體現(xiàn)線段圖表征信息和數(shù)量關系的功能，能使抽象的文字語言直觀化、復雜的問題簡單化、模糊的數(shù)量關系清晰化，從而幫助學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題。學生根據(jù)線段圖列出算式的過程，就是把圖形語言轉(zhuǎn)換為符號語言解決問題的過程；反過來，學生根據(jù)算式對應指圖的過程，就是把符號語言轉(zhuǎn)換為圖形語言分析問題的過程。學生在舉一反三、螺旋上升的過程中認識了線段圖與解決問題的關系，實現(xiàn)了圖形語言和符號語言的相互轉(zhuǎn)換，提升了問題解決能力。