趙曉東，王 晶

(1.中國(guó)科學(xué)院 長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林 長(zhǎng)春 130033;2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué),北京 100049)

1 引 言

在常規(guī)武器靶場(chǎng)任務(wù)實(shí)驗(yàn)中，現(xiàn)代光電經(jīng)緯儀系統(tǒng)的主要作用是觀察目標(biāo)的全過(guò)程，為指揮中心提供高清晰、直觀的目標(biāo)實(shí)況圖像[1]。對(duì)特定觀測(cè)波長(zhǎng)而言，望遠(yuǎn)鏡口徑越大，理論分辨率越高，作用距離越遠(yuǎn)[2-3]。米級(jí)口徑經(jīng)緯儀主系統(tǒng)前加裝保護(hù)窗口的主要目的是防鹽霧侵蝕及防濕熱防潮、防霉。然而，另一方面，保護(hù)窗口鏡面變形會(huì)直接影響系統(tǒng)的成像質(zhì)量。以往600 mm口徑光電經(jīng)緯儀的窗口設(shè)計(jì)基本能夠保證成像質(zhì)量要求，但當(dāng)口徑達(dá)到米級(jí)水平時(shí)，情況發(fā)生很大改變，窗口的質(zhì)量、面積、厚度都有所增加，這就意味著窗口的變形更加難以預(yù)測(cè)。為了保證米級(jí)口徑經(jīng)緯儀最終的成像質(zhì)量，必須對(duì)保護(hù)窗口的鏡面變形進(jìn)行分析。

光學(xué)元件工程分析面臨的主要問(wèn)題是接觸所帶來(lái)的邊界條件的非線性問(wèn)題[4]。工程分析在很多情況下采用線性分析方法，對(duì)諸如螺釘聯(lián)結(jié)、零部件接觸等非線性環(huán)節(jié)通常進(jìn)行線性簡(jiǎn)化建模[5-6]，這會(huì)造成結(jié)構(gòu)內(nèi)部應(yīng)力得不到有效釋放，通常用于接觸條件要求不高的仿真中。對(duì)于經(jīng)緯儀這種鏡面微小變形就會(huì)引起成像質(zhì)量很大變化的精密儀器，簡(jiǎn)化模型存在的連接自由度或連接件剛度與實(shí)際情況不一致的問(wèn)題將會(huì)突顯，導(dǎo)致鏡面變形分析的精確性降低。

為了精確描述米級(jí)口徑經(jīng)緯儀保護(hù)窗口部件之間的接觸關(guān)系，本文采用接觸有限元理論，針對(duì)模型中螺栓聯(lián)結(jié)部位進(jìn)行了接觸非線性分析，提高了分析精度。在進(jìn)行面形擬合前，應(yīng)用齊次坐標(biāo)變換法去除結(jié)構(gòu)剛體位移，分離出鏡面畸變數(shù)據(jù)。將Zernike多項(xiàng)式作為本文的面形擬合和光機(jī)集成分析的接口工具，并結(jié)合ZEMAX光學(xué)設(shè)計(jì)軟件，從波前圖獲得鏡面波前像差RMS值，以波前像差RMS衡量鏡面變形對(duì)成像質(zhì)量的影響。最后，通過(guò)與線性剛性連接仿真方法和干涉儀檢測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，判斷保護(hù)窗口設(shè)計(jì)是否合理。

2 接觸有限元理論

本文使用懲罰法[7]求解有限元模型中的接觸非線性問(wèn)題。線彈性材料接觸問(wèn)題的求解可歸結(jié)為接觸體總能量最小的問(wèn)題，即

(1)

(2)

(3)

在實(shí)際計(jì)算中，保護(hù)窗口有限元模型計(jì)算時(shí)，需設(shè)置接觸表面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)、法向懲罰剛度系數(shù)和侵入量容差的大小。法向懲罰因子過(guò)大會(huì)造成收斂困難；法向懲罰因子過(guò)小會(huì)造成計(jì)算不精確。一般法向懲罰剛度系數(shù)取0.01～10，侵入量容差取0.1。

3 保護(hù)窗口的有限元分析

3.1 保護(hù)窗口的結(jié)構(gòu)

保護(hù)窗口主要是由平板玻璃、橡膠墊、壓環(huán)、框體組成。窗口平板玻璃直徑為1 035 mm，厚度為85 mm。平板玻璃置于框體中，壓環(huán)和框體通過(guò)16個(gè)螺栓聯(lián)結(jié)，使用薄橡膠墊將三者隔開(kāi)。保護(hù)窗口結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 保護(hù)窗口結(jié)構(gòu) Fig.1 Protective window structure

3.2 螺栓預(yù)緊力

重力和螺栓預(yù)緊力是導(dǎo)致保護(hù)窗口鏡面變形的主要載荷。為了保證壓環(huán)和框體的可靠聯(lián)結(jié)，施加適當(dāng)?shù)穆菟A(yù)緊力是必要的。工程實(shí)際中，經(jīng)常使用力矩扳手來(lái)控制施加于螺栓的擰緊力矩的大小，從而控制螺栓預(yù)緊力的大小。擰緊力矩與螺栓預(yù)緊力的關(guān)系為[8]:

T=K·d·Ff,

(4)

式中，T為擰緊力矩，K為轉(zhuǎn)矩系數(shù)，d為螺栓名義直徑，F(xiàn)f為螺栓預(yù)緊力。根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)，無(wú)潤(rùn)滑條件下，K值可取0.2。保護(hù)窗口壓環(huán)與框體間的螺栓擰緊扭矩為3 N·m，螺栓名義直徑為8 mm，據(jù)式(4)可計(jì)算出螺栓預(yù)緊力為1 875 N。

3.3 保護(hù)窗口的有限元模型

圖2 保護(hù)窗口有限元模型 Fig.2 Finite element model of protective window

將在UG中建立的保護(hù)窗口模型導(dǎo)入ANSYS有限元分析軟件進(jìn)行網(wǎng)格劃分。其中，平板玻璃采用掃掠網(wǎng)格劃分方法，網(wǎng)格單元為六面體單元；壓環(huán)和框體采用自由網(wǎng)格劃分方法，網(wǎng)格單元為四面體單元，并對(duì)壓環(huán)和框體中的螺栓孔進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)化；螺釘同樣采用掃掠網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格單元為六面體單元。最終劃分單元總數(shù)為148 838。保護(hù)窗口有限元模型如圖2所示。

3.4 接觸和約束條件

為了更加真實(shí)地反映重力和螺栓預(yù)緊力對(duì)保護(hù)窗口鏡面變形的影響，采用接觸非線性有限元分析結(jié)構(gòu)變形，需要設(shè)置的接觸有：螺栓與壓環(huán)的接觸、壓環(huán)與框體的接觸，都設(shè)置為帶摩擦的接觸。為了降低分析復(fù)雜度，將不是研究重點(diǎn)的其余部分設(shè)置為綁定接觸。在ANSYS有限元仿真中，為了阻止接觸表面相互侵入，接觸表面間需要建立一個(gè)互不侵入的約束關(guān)系，即接觸協(xié)調(diào)條件，所有的ANSYS接觸單元都采用懲罰剛度系數(shù)來(lái)保證接觸協(xié)調(diào)性。保護(hù)窗口是固定于經(jīng)緯儀上的，故在框體底面施加限制框體自由度的固定約束。

3.5 材料屬性

保護(hù)窗口中，壓環(huán)材料為45鋼，框體材料為HT250，平板玻璃材料為熔石英，墊圈是橡膠。材料屬性參數(shù)如表1所示。

表1 材料屬性參數(shù)

4 保護(hù)窗口鏡面面形擬合

光學(xué)元件表面總是趨于光滑和連續(xù)的，所以鏡面的面形變化可以表示成一個(gè)完備的基底函數(shù)的線性組合或線性無(wú)關(guān)的基底函數(shù)系的組合[9]。Zernike多項(xiàng)式在單位圓內(nèi)正交且各項(xiàng)系數(shù)與賽德?tīng)栂癫钕鄬?duì)應(yīng),目前已廣泛應(yīng)用于面形表征、光學(xué)設(shè)計(jì)和檢測(cè)等領(lǐng)域[11]。由于篇幅原因，這里列出了Zernike前五項(xiàng)多項(xiàng)式及意義，如表2所示。

表2 Zernike前五項(xiàng)表達(dá)式及意義

4.1 保護(hù)窗口去除剛體位移算法

光學(xué)表面變形通常包含離焦、偏心、傾斜、畸變4種形式。其中，前3種變形是由支撐結(jié)構(gòu)的變形造成的，稱為剛體位移；表面畸變是由光學(xué)元件內(nèi)應(yīng)力造成的，用來(lái)擬合鏡面面形[13]。本文的分析對(duì)象為平板玻璃，球心位于無(wú)窮遠(yuǎn)處，故不存在偏心，只需對(duì)離焦、傾斜、畸變進(jìn)行分析。有限元軟件分析結(jié)果給出的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)位移數(shù)據(jù)既有剛體位移又有表面畸變，要進(jìn)行面形擬合就必須先去除節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)位移數(shù)據(jù)中的剛體位移。

本文采用齊次坐標(biāo)變換法[14]去除剛體位移。假設(shè)用于計(jì)算剛體位移的參考坐標(biāo)系定義在光學(xué)元件鏡面頂點(diǎn)上，z軸與光軸重合。分別用dx、dy、dz表示剛體沿x軸、y軸、z軸的平移，分別用θx、θy、θz表示剛體繞x軸、y軸、z軸的旋轉(zhuǎn)角度，通過(guò)齊次坐標(biāo)變換可得剛體位移前后各相應(yīng)節(jié)點(diǎn)間的齊次轉(zhuǎn)換矩陣。一般情況下，齊次坐標(biāo)變換的順序不同，所用的齊次轉(zhuǎn)換矩陣也不同，而由于旋轉(zhuǎn)角度一般是微小變量，所以可以做cosθx≈1、cosθy≈1、cosθz≈1、sinθx≈θx、sinθy≈θy、sinθz≈θz近似處理，高階小量又可以忽略。通過(guò)近似處理后，剛體位移前后各相應(yīng)節(jié)點(diǎn)間的齊次轉(zhuǎn)換矩陣與齊次坐標(biāo)變換順序無(wú)關(guān)，其坐標(biāo)變換表達(dá)式可統(tǒng)一表示為：

(5)

式(5)可改寫為:

(6)

根據(jù)式(6)，對(duì)包含有m個(gè)節(jié)點(diǎn)的保護(hù)窗口鏡面有

Y-AX=Σ

(7)

式中，

對(duì)式(7)應(yīng)用最小二乘法求解剛體位移參數(shù)X，即

X=(ATA)-1ATY,

(8)

將剛體位移參數(shù)帶入式(7)，即可求得保護(hù)窗口的鏡面畸變?chǔ)?。在?jīng)緯儀俯仰角為零度時(shí)，求得保護(hù)窗口剛體位移為：繞x軸偏轉(zhuǎn)-0.413 μrad，繞y軸偏轉(zhuǎn)-0.052 8 μrad，繞z軸偏轉(zhuǎn)0.063 6 μrad，沿x軸平移-0.020 3 μm，沿y軸平移-0.793 μm，沿z軸平移-0.004 03 μm。

4.2 Zernike多項(xiàng)式鏡面擬合算法

在光機(jī)集成分析時(shí)，需要用結(jié)構(gòu)分析得到的鏡面節(jié)點(diǎn)的變形數(shù)據(jù)擬合光學(xué)元件面形，再用光學(xué)設(shè)計(jì)軟件對(duì)光學(xué)元件的成像質(zhì)量進(jìn)行分析。n項(xiàng)Zernike多項(xiàng)式可表示為:

W(x,y)=a1Z1(x,y)+a2Z2(x,y)+…+

anZn(x,y)=ZA,

(9)

式中，A=[a1a2…an]T為Zernike多項(xiàng)式系數(shù)，Z=[Z1(x,y)Z2(x,y) …Zn(x,y)]為n項(xiàng)Zernike多項(xiàng)式基底函數(shù)，現(xiàn)有m個(gè)節(jié)點(diǎn)，Wi(xi,yi)表示變形后鏡面第i個(gè)節(jié)點(diǎn)z方向上的畸變數(shù)值，令

qij=Zj(xi,yi),

(i=1,2…m,j=1,2…n,m>n)

代入式(9)，得到矛盾方程組:

(10)

對(duì)該矛盾方程組使用QR正交分解[15]求得n項(xiàng)Zernike多項(xiàng)式系數(shù)。本文使用36項(xiàng)Zernike多項(xiàng)式進(jìn)行保護(hù)窗口鏡面擬合。

5 結(jié)果分析

5.1 保護(hù)窗口有限元仿真方法對(duì)比

在保護(hù)窗口面形有限元仿真分析中，螺栓聯(lián)結(jié)的模擬是重點(diǎn)和難點(diǎn)。以往研究中采用直接剛性連接來(lái)模擬，但是這種簡(jiǎn)化模型會(huì)引入誤差。本文采用帶摩擦接觸的有限元模型。在螺栓和框體、框體和壓環(huán)之間設(shè)置帶摩擦的接觸，摩擦接觸對(duì)間的法向懲罰剛度系數(shù)取為0.6，使得有限元模型自由度、剛度接近保護(hù)窗口真實(shí)狀態(tài)。此外，還對(duì)比了剛性連接的仿真分析方法，使用ANSYS在24 ℃環(huán)境溫度下獲得兩種方法的面形及應(yīng)力分布云圖，圖3為剛性連接面形及應(yīng)力圖，圖4為

圖3 剛性連接面形及應(yīng)力圖 Fig.3 Contour and stress diagram of rigid joint surface

圖4 摩擦接觸面形及應(yīng)力圖 Fig.4 Contour and stress diagrams of frictional contact surface

摩擦接觸面形及應(yīng)力圖?？梢?jiàn)，剛性連接使得結(jié)構(gòu)應(yīng)力不能有效釋放，鏡面局部變形過(guò)大，不能反映鏡面變形的真實(shí)狀態(tài)，容易引入計(jì)算誤差；而摩擦接觸的有限元模型沒(méi)有明顯的應(yīng)力集中，面形更加均勻，接近于鏡面實(shí)際變形狀態(tài)，計(jì)算結(jié)果更精確。

5.2 干涉儀檢測(cè)保護(hù)窗口鏡面變形實(shí)驗(yàn)

為了檢驗(yàn)、對(duì)比線性剛性連接和考慮摩擦接觸仿真實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確性，本文采用ESDI-VB干涉儀在24 ℃環(huán)境溫度下檢測(cè)保護(hù)窗口俯仰角為零度時(shí)鏡面變形對(duì)透射波前像差的影響。在重力及螺栓預(yù)緊力作用下，鏡面透射波前像差RMS值為40.626 nm，PV值235.654 nm。干涉儀檢測(cè)保護(hù)窗口面形，如圖5所示。

圖5 保護(hù)窗口面形的干涉儀檢測(cè)結(jié)果 Fig.5 Interferometer test results of contour diagram of protective window surface

5.3 基于ZEMAX評(píng)價(jià)鏡面變形

保護(hù)窗口俯仰角為零度時(shí)，將面形擬合算出的36項(xiàng)Zernike系數(shù)導(dǎo)入ZEMAX軟件，得到波前像差RMS、PV值。圖6為剛性連接鏡面波前圖，其波前像差RMS為71.312 nm、PV為387.768 nm，波前像差RMS與干涉儀檢測(cè)結(jié)果偏差為75.53%，波前像差PV與干涉儀檢測(cè)結(jié)果偏差為64.55%。圖7為考慮摩擦接觸鏡面波前圖，其波前像差RMS為38.095 nm、PV為205.027 nm，波前像差RMS與干涉儀檢測(cè)結(jié)果偏差為6.23%，波前像差PV與干涉儀檢測(cè)結(jié)果偏差為13%。實(shí)驗(yàn)結(jié)果說(shuō)明，與線性剛性連接仿真結(jié)果相比，考慮摩擦接觸的仿真結(jié)果更加接近干涉儀檢測(cè)結(jié)果，準(zhǔn)確反映了保護(hù)窗口鏡面變形的真實(shí)狀態(tài)。

圖6 剛性連接鏡面波前圖 Fig.6 Wave front map of rigid joint mirror

圖7 摩擦接觸鏡面波前圖 Fig.7 Wavefront map of frictional contact mirror

為了滿足系統(tǒng)整體成像質(zhì)量要求，經(jīng)緯儀保護(hù)窗口波前像差RMS要小于λ/15(λ為632.8 nm)?？梢?jiàn)，干涉儀檢測(cè)和考慮摩擦接觸仿真方法得到的結(jié)果都能滿足系統(tǒng)成像質(zhì)量的要求，說(shuō)明該米級(jí)口徑保護(hù)窗口設(shè)計(jì)合理，該摩擦接觸仿真方法可用于米級(jí)口徑保護(hù)窗口鏡面變形分析。而剛性連接仿真方法得到的結(jié)果不能滿足系統(tǒng)成像質(zhì)量的要求，說(shuō)明該方法不適用于米級(jí)口徑保護(hù)窗口鏡面變形分析。

6 結(jié) 論

在重力和螺栓預(yù)緊力作用下，本文采用摩擦接觸的仿真方法分析米級(jí)口徑保護(hù)窗口鏡面變形。與線性剛性連接仿真分析相比，面形圖沒(méi)有顯著的局部凸起和凹陷，同時(shí)應(yīng)力圖分布較均勻。考慮摩擦接觸的仿真方法結(jié)果與干涉儀檢測(cè)結(jié)果的RMS值偏差為6.23%，剛性連接仿真方法結(jié)果與干涉儀檢測(cè)結(jié)果偏差為75.53%。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與線性分析相比，考慮摩擦接觸邊界條件的仿真方法能更準(zhǔn)確地反映米級(jí)口徑保護(hù)窗口鏡面變形，可用于米級(jí)口徑保護(hù)窗口鏡面變形分析。