導數(shù)在解題中的應用研究

陳曉穎

[摘 要]導數(shù)是研究函數(shù)及其性質的重要工具.導數(shù)可以解決函數(shù)中的最值問題、恒成立問題、不等式問題.研究導數(shù)在解題中的應用具有現(xiàn)實意義.

[關鍵詞]導數(shù)；高考；解題；策略

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-6058（2018）14-0004-02

近年有的省高考題中出現(xiàn)將導數(shù)和不等式、函數(shù)的單調性等有機設計的綜合題.本人結合平時教學實踐，就導數(shù)在解題中的應用作個淺析.

一、求函數(shù)的切線

【例1】 （1）曲線[y=x3-x+3]在點[（1，3）]處的切線方程為 .

分析：此題主要考查導數(shù)在某點處的切線方程及導數(shù)的幾何意義.

解：[y′|x=1=3×12-1=2]，[∴]切線方程為[y-3=2（x-1）]，即[2x-y+1=0].

（2）若曲線[y=ax2-lnx]在點[（1，a）]處的切線平行于[x]軸，則[a=] .

分析：此題主要考查由切線方程求參.

解： [y′=2ax-1x，y′|x=1=2a-1=0，∴a=12] .

<攻略一>函數(shù)[y=f（x）]在點[x0]處的導數(shù)的幾何意義就是[y=][f（x）]在點[P（x0，f（x0））]處的切線的斜率，即[k切線=f′（x0）].此類考題主要是利用導數(shù)的幾何意義解決.

二、求函數(shù)的單調性、極值和最值

【例2】 設函數(shù)[f（x）=x3-kx2+x] [k∈R].

（1） 當[k=1]時，求函數(shù)[f（x）]的單調區(qū)間；

（2） 當[k<0]時，求函數(shù)[f（x）]在[k，-k]上的最小值[m]和最大值[M].

分析：此題考查函數(shù)的單調性、極值以及最值.第（1）問利用導函數(shù)的正負求函數(shù)的單調區(qū)；第（2）問函數(shù)表達式、定義域中含有參數(shù)k，故需要分類討論，分類標準為考慮區(qū)間[k，-k]與對稱軸[x=k3] 的關系.

解：（1）當[k=1]時，[f ′x=3x2-2x+1，Δ=4-12=-8<0]， [∴f ′x>0]，[fx]在[R]上單調遞增.

（2）當[k<0]時，[f ′x=3x2-2kx+1]，其開口向上，對稱軸[x=k3] ，且過[0，1] ，如圖所示.

（i）當[Δ=4k2-12=4k+3k-3≤0]，即[-3≤k<0]時，[f ′x≥0]，[fx]在[k，-k]上單調遞增.[∴fxmin=][m=fk=k]，[fxmax=][M=f-k=-k3-k3-k=-2k3-k].

（ii）當[Δ=4k2-12=4k+3k-3>0]，即[k<-3]時，令[f ′x=3x2-2kx+1=0 ，]解得 [x1=k+k2-33，x2=k-k2-33]，

由[k

[∵fx1-fk=x31-kx21+x1-k]

[=x1-k·x21+1>0 ]，

[∴fxmin]=[m=fk=k]，

[∵fx2-f-k=x32-kx22+x2--k3-k?k2-k=x2+k[x2-k2+k2+1]<0，]

[∴fxmax]=[M=f-k=-2k3-k.]

綜上所述，當[k<0]時，[fxmax]= [m=fk=k]，[fxmax=][M=f-k=-2k3-k].

<攻略二>首先求出函數(shù)的定義域.利用導數(shù)求出單調區(qū)間進而求極值及最值.此題是求動區(qū)間上的最值問題，含有字母參數(shù)的應重點分析參數(shù)的取值范圍對結論的影響.本題第二問關鍵在求最大值，需要因式分解，才能找到極值點的位置，進而求最值.

三、解決零點存在的問題

【例3】 已知函數(shù)[f（x）=ex-ax2-bx-1]，其中[a，b∈R]，[e=2.71828…]為自然對數(shù)的底數(shù).

若[f（1）=0]，函數(shù)[f（x）]在區(qū)間[（0，1）]內有零點，求[a]的取值范圍.

分析：此題主要考查函數(shù)取最值的條件及函數(shù)的零點求參，屬于綜合問題由零點求[a]的取值范圍.轉化為函數(shù)的最值問題，利用導數(shù)求最值.

解：由[f（1）=0][?][e-a-b-1=0][?][b=e-a-1]，又[f（0）=0].

若函數(shù)[f（x）]在區(qū)間[（0，1）]內有零點，則函數(shù)[f（x）]在區(qū)間[（0，1）]內至少有三個單調區(qū)間.

當[a≤12]或[a≥e2]時，函數(shù)[g（x）]即[f ′（x）]在區(qū)間[[0，1]]上單調，不滿足“函數(shù)[f（x）]在區(qū)間[（0，1）]內至少有三個單調區(qū)間”.

若[12

令[h（x）=32x-xlnx-e-1]（[10?x

所以[h（x）]在區(qū)間[（1，e）]上單調遞增，在區(qū)間[（e，e）]上單調遞減.

[h（x）max=h（e）=32e-elne-e-1=e-e-1<0]，即[g（x）min<0]恒成立.

于是，函數(shù)[f（x）]在區(qū)間[（0，1）]內至少有三個單調區(qū)間[?][g（0）=2-e+a>0g（1）=-a+1>0][?a>e-2a<1].

又[12

<攻略三>函數(shù)零點或方程的實數(shù)根與函數(shù)的單調性關系是解決此類問題的關鍵.處理零點問題的基本方法是轉化為函數(shù)的單調性及極值、最值來處理函數(shù)的圖像與x軸交點問題.

四、解決恒成立問題

【例4】 已知函數(shù)[f（x）=ex-ax]，其中[a]>0，[x∈R，f（x）≥1]恒成立，求[a]的取值集合.

分析：利用導函數(shù)法求出[f（x）min=f（lna）=a-alna.]對一切[x∈R， f（x）≥1]恒成立，轉化為[f（x）min≥1]，從而得出求[a]的取值集合.

解： [f ′（x）=ex-a，]令[f ′（x）=0得x=lna].當[xlna]時，[f ′（x）>0， f（x）]單調遞增.故當[x=lna]時，[f（x）]取最小值[f（lna）=a-alna.]

于是對一切[x∈R，f（x）≥1]恒成立，當且僅當[a-alna≥1].①

令[g（t）=t-tlnt，]則[g′（t）=-lnt.]當[00，g（t）]單調遞增；當[t>1]時，[g′（t）<0，g（t）]單調遞減 . [∴]當[t=1]時，[g（t）]取最大值[g（1）=1].因此，當[a=1]時，①式成立.綜上，[a]的取值集合為[1].

<攻略四>解決恒成立問題通常轉化為構造函數(shù)求最值，即f （x） [≥]m恒成立可轉化為f（x）min [≥]m，從而得出m的取值范圍.

總之，通過對近幾年高考試題的分析，發(fā)現(xiàn)導數(shù)在解決數(shù)學函數(shù)問題時使用非常方便，尤其利用導數(shù)來解決函數(shù)的單調性、最值、不等式恒成立、零點問題.

（責任編輯 黃桂堅）