陳鵬 李星野

摘要：本文針對黃金價格的長記憶性進行實證研究，利用Hurst指數(shù)來證實黃金價格中確實存在顯著的長記憶性。以此對黃金價格的收益率進行分數(shù)差分后，再建立ARFIMA-GARCH模型族，從而反映了黃金收益率序列的波動聚集性。通過對不同模型的誤差絕對值對比，選取出最能體現(xiàn)黃金價格序列動態(tài)特征的模型。實證結(jié)果表明，該類模型能夠很好的反映黃金價格的波動規(guī)律，能夠給投資者提供決策意見。

關(guān)鍵詞：長記憶性；Hurst指數(shù)；ARFIMA-GARCH模型族

引言

黃金越來越成為世界矚目的財富，它是一種良好的保值產(chǎn)品，所以全球各國的政府機構(gòu)都會爭相儲備黃金用來應(yīng)對國家衰落或者經(jīng)濟危機時拋售，以此來維持國家穩(wěn)定。因此，對于黃金價格的預(yù)測分析就有了很重要的實際意義。

Hurst[1]在對尼羅河水庫水流量和貯存能力關(guān)系進行研究時，發(fā)現(xiàn)水利時間序列具有長記憶性特點。Mandelbrot[2]在之后的資本市場研究所提出的了分形布朗運動為金融市場的研究奠定了長記憶性的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。Peters E[3]首次提出了分形市場假說，并提出了R/S分析法。隨后Hosking[4]提出的ARFIMA模型、Engel[5] 提出的ARCH模型和Bollerslev[6]提出的GARCH模型讓我們在市場研究中更能有效的捕捉到市場的長記憶性和異方差性。在對黃金時間序列預(yù)測的方向中，國內(nèi)更多人選擇了用統(tǒng)計分析方法來研究價格波動的內(nèi)在機制（如羅禎[7]、樓曉東[8]、潘貴豪[9]等），通過研究發(fā)現(xiàn)ARFIMA建立的模型比ARIMA建立的模型在預(yù)測黃金價格走勢方面效果更佳。

本文嘗試引入基于分形分析的長記憶性研究，分別黃金價格時間序列建立ARFIMA-GARCH模型族，實證結(jié)果證明其確實具有長記憶性和異方差性，預(yù)測誤差非常小，預(yù)測價格波動趨勢基本一致。

1、模型介紹

1.1 長記憶性檢驗

關(guān)于長期記憶性的檢驗，一些學(xué)者采用重標極差統(tǒng)計量進行分析（即R/S分析法），該分析方法主要利用時序的全距與標準差之間的關(guān)系建立統(tǒng)計量，通過假設(shè)檢驗的思想得到結(jié)果。對于時間序列{Xt}，t=1，2，…，T，取n個序列觀測值，則R/S統(tǒng)計量為：

1.2 ARFIMA模型

通過對d值的確定之后，開始建立以d=H-0.5階差分（d為分數(shù)）建立的ARMA模型即為ARFIMA模型：

Φ（B）表示p階平穩(wěn)的自回歸滯后算子，θ（B）表示q階可逆的移動平均滯后算子。該模型考慮了過程的長記憶性和短記憶性，其中p+q個參數(shù)描述過程的短記憶性，用參數(shù)d描述過程的長記憶性，因此ARFIMA模型優(yōu)于普通的ARMA模型族，又優(yōu)于單獨考慮長記憶性的分形差分模型。

1.3 GARCH模型族

1.3.1 GARCH模型公式

其中Ωt-1表示截止t-1時刻所有已知信息的集合，的大小反映了序列波動持續(xù)性的強弱。GARCH模型中只考慮了ut=ut|Ωt-1波動的大小而沒有考慮波動的方向，實際情況中壞消息的沖擊會大于好消息的影響。

盡管GARCH模型能夠很好的解釋金融資產(chǎn)收益率序列的波動聚集性特征，但是它不能解釋金融時間序列進場存在“杠桿效應(yīng)”，即資產(chǎn)價格的下跌（壞消息）比同樣程度的價格上漲（好消息）產(chǎn)生的波動更大。因此，本文建立ARFIMA-TGARCH與ARFIMA-EGARCH來解釋這種不對稱性。

1.3.2 TGARCH（1，1）模型公式

可以看出，好消息的沖擊影響為α1u2t-1，壞消息的沖擊影響為（α1+γ）u2t-1。若γ=0，則表示不存在非對稱效應(yīng)；若γ>0，則表示存在非對稱效應(yīng)。

1.3.3 EGARCH（1，1）模型公式

由于該公式是對In（σ2τ）建模，則不需要認為假定模型參數(shù)非負數(shù)約束限制。同時，若γ=0，則表示不存在非對稱效應(yīng)；若γ<0，則表示存在非對稱效應(yīng)。

2、實證研究

2.1 數(shù)據(jù)選取

本次研究使用上海黃金交易所AU9995 2004/09/01到2017/04/25的價格日線，共3038個樣本數(shù)據(jù)。在此基礎(chǔ)上，將數(shù)據(jù)分為兩部分：2004/09/01到2017/02/28為第一部分，記為{Xt}，用于構(gòu)造模型，確定參數(shù)；2017/03/01到2017/04/25為第二部分，用于對基于第一部分數(shù)據(jù)所構(gòu)造的模型進行預(yù)測檢驗。這樣就給數(shù)據(jù)劃分為3000+38兩部分。

2.2 長記憶性檢驗

首先對本次黃金價格序列{Xt}進行ADF檢驗，結(jié)果顯示為非平穩(wěn)，則對其對數(shù)一階差分序列，再進行ADF檢驗，結(jié)果如下圖：

可以看出對數(shù)差分后的序列為平穩(wěn)的。對此序列進行R/S分析法進行分析，得到結(jié)果如下圖：

其中曲線為logn-logRS，隨著n增大向右上方延伸；直線為logRS=c+H*logn，（斜率即Hurst指數(shù)）。從圖中來看，曲線約在logn≈5.0的時候出現(xiàn)了拐點，說明周期大約為exp（5.0）=148日。

而從logn-V圖來看，該圖呈上升趨勢，說明有明顯的長記憶性，當logn≈4.9的時候，圖中曲線逐漸平穩(wěn)，但波動增大，表明長記憶性逐漸消失。

2.3 建立ARFIMA模型

將已得到的Hurst指數(shù)作d=H-0.5計算后將對數(shù)差分序列進行d階差分，才可以建立ARFIMA模型進行預(yù)測。本文基于楊楠[10]設(shè)計的分數(shù)差分迭代算法，對本次序列進行分數(shù)差分。對分數(shù)差分后的數(shù)據(jù)建立ARMA模型，對序列的相關(guān)圖初步判斷模型階數(shù)后，再進一步利用AIC準則來確定最合適的模型。AIC值越小，說明模型越契合。所以我們選擇ARMA（3，3）來作為本次實驗?zāi)Ｐ汀?/p>

2.4 ARCH-LM檢驗

在我們使用ARCH模型之前，需要判斷殘差序列是否具有ARCH效應(yīng)。在1982年，Engel已經(jīng)提出了檢驗殘差序列是否存在ARCH效應(yīng)的ARCH-LM檢驗。檢驗的原假設(shè)為：殘差序列直到q階都不存在ARCH效應(yīng)。通過對回歸方程的殘差圖進行觀察發(fā)現(xiàn)，其表現(xiàn)出明顯的波動聚集性。如圖4，在2005年至2006年時間段，殘差的波動很大，然而在2006年至2007年時間段卻表現(xiàn)出較小的波動 。此模型的殘差存在顯著的條件異方差性，可能存在ARCH效應(yīng)。

對均值方程的殘差進行條件異方差的ARCH-LM檢驗，滯后階數(shù)p=10，其檢驗結(jié)果如圖5所示。結(jié)果顯示，F(xiàn)統(tǒng)計量=21.15740，其概率值p非常小，從而表明檢驗輔助回歸方程中的所有滯后殘差平方項是聯(lián)合顯著的。Obs*R-squared=198.2568，相應(yīng)的概率值p非常小，因此拒絕原假設(shè)，說明殘差序列存在ARCH效應(yīng)。

2.5 ARFIMA-GARCH族模型預(yù)測

由于ARCH模型結(jié)束較高，因此本次實驗里面我們考慮結(jié)合GARCH（1，1）、TGARCH（1，1）、EGARCH（1，1）模型來進行分析。

均值方程：（1+0.7932L1+0.9834L2-0.7814L3）Xt=-8.98E-05+（1-0.1899L1-0.9771L2+0.2074L3）Et

分別對均值方程建立GARCH模型，分別得到ARFIMA-GARCH模型、ARFIMA-TGARCH模型、ARFIMA-EGARCH模型。從圖6三種GARCH模型的比較來看，三種模型的預(yù)測值幾乎重合，具有相同的波動趨勢。從圖7來看，基于三種方法相對誤差絕對值的比較，發(fā)現(xiàn)ARFIMA-TGARCH模型的相對誤差絕對值最接近0，說明ARFIMA-TGARCH模型的擬合效果最佳。

通過對表2結(jié)果的觀察，利用ARFIMA-TGARCH模型對2017/03/01到2017/04/25的黃金價格預(yù)測所得到的結(jié)果與實際價格的誤差非常小，這對決策者及投資者有很好的借鑒作用。

3、結(jié)語

本次研究中，我們采用了基于分形分析的R/S方法，證實了上海黃金交易所AU9995價格收益率序列存在明顯的長記憶性，隨后結(jié)合ARFIMA、ARFIMA-GARCH模型族定量的對黃金價格收益率序列進行分析，所得到的預(yù)測模型ARFIMA-TGARCH模型能夠很好的刻畫黃金價格內(nèi)在波動規(guī)律，并能對其進行良好的預(yù)測（最高誤差1.501%）。實驗表明，從長記憶性的角度來解釋黃金價格的內(nèi)在特征是可行的，同時對于投資者和生產(chǎn)者來說，利用此模型來預(yù)測黃金市場行情是非常切實有效的，對其決策意見會有很大的幫助。

參考文獻

[1] Hurst H E. Long — term storage capacity of reservoirs[J]. Transactions of the American Society of Civil Engineers，1951，116：700 -779.

[2] MandelbrotBB.et al. Fractional Brownian Motions， Fractional Noises and Applications[J]. SIAM Review，1968，10（4）：422-437.

[3] Edgar E. Peters. Fractal Market Analysis： Applying Chaos Theory to Investment and Economics[R]. Inc New York，1994.

[4] Hosking J R M. Fractional differencing[J]. Biometrika，1981，68：165-176.

[5] Engle R F. Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of the United Kingdom Inflation[J]. Econometrics，1982，50：987-1008.

[6] Bollerslev T. Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity[J]. Journal of Econometrics 1986， 31：307-327.

[7] 羅禎.基于ARIMA-GARCH模型的黃金價格走勢研究[J].財政金融，2013，6：31-32.

[8] 樓曉東，張良.基于分形理論的國際金價波動長記憶性識別及預(yù)測研究[J].金融市場，2013，6：80-84.

[9] 潘貴豪，胡乃聯(lián)等.基于ARMA-GARCH模型的黃金價格實證分析[J].黃金，2010，1：5-8.

[10] 楊楠，柳預(yù)才.基于分形分析的國際金價波動長記憶性識別與預(yù)測研究[J].數(shù)理統(tǒng)計與管理，2013，5：931-940.

作者單位：上海理工大學(xué)管理學(xué)院