馮維婷, 梁 青, 谷 靜

(西安郵電大學 電子工程學院, 陜西 西安 710121)

跳頻信號是一種分段平穩(wěn)信號，廣泛應用于雷達和通信領(lǐng)域[1-2]。時頻分析可以得出跳頻信號的特性[3-4]，揭示信號頻率隨時間變化情況。時頻分析分兩類，一類是以短時傅里葉變換(short time Fourier transform, STFT)、平滑偽魏格納分布(smoothed pseudo wigner-ville distribution, SPWVD)為代表的非參數(shù)化時頻分析方法。其中，STFT是線性變換，不存在交叉干擾項，但受測不準原理的制約，時間和頻率分辨率不能同時兼顧[5-6]；SPWVD是非線性變換，時間和頻率分辨率高，但存在交叉干擾項，需要通過設(shè)計核函數(shù)抑制交叉干擾項[7-8]。另一類是以時變自回歸(time-varing auto regressive, TVAR)模型為代表的參數(shù)化時頻分析方法[9-10]，適合描述瞬時頻率連續(xù)變化信號，可獲得較高時間和頻率分辨率，而跳頻信號的瞬時頻率是有間斷點的分段連續(xù)，故其并不適合跳頻信號分析。

稀疏表示理論應用廣泛[11-12]，可以考慮采用稀疏表示算法對跳頻信號進行時頻分析。跳頻信號在頻域具有稀疏特性，可以在頻域構(gòu)造傅里葉基矩陣，通過迭代尋求稀疏向量對應的傅里葉基，從而根據(jù)稀疏向量獲得信號稀疏度，并估計跳頻信號的各頻率分量。但是，為了提高估計精度時，傅里葉基矩陣的長度會相應增大，算法的計算量會急劇增大。

本文將結(jié)合跳頻信號瞬時頻率分段連續(xù)的特點，將接收信號分成若干小段，對每段信號利用FFT獲得頻率預估計值和信號稀疏度，再利用預估計值構(gòu)造頻率細化的子傅里葉基矩陣，建立分段信號的稀疏表示模型，最后，基于正交匹配追蹤算法(orthogonal matching pursuit, OMP)[13-14]獲得高精度的時頻譜圖。

1 跳頻信號的稀疏表示模型

假設(shè)觀測信號模型為

(1)

其中t∈[0,T]，w(t)是觀測噪聲，si(t)是第i分量跳頻信號，且

fk為觀測時間段內(nèi)的第k個跳頻頻率；M為頻率跳變個數(shù)；rectTh(·)是持續(xù)時間為Th的窗函數(shù)。

對觀測信號采樣，把采樣數(shù)據(jù)等間隔劃分成D段，每一小段數(shù)據(jù)的持續(xù)時間要短于跳頻信號的持續(xù)周期，每段長度為P點，構(gòu)造觀測矩陣

Y=[y1,y2,…,yD]。

(2)

其中

yi=[y(i-1)P,y(i-1)P+1,…,yiP-1]T

為觀測矩陣的第i列向量(i=1,2,…,D)。

建立傅里葉基矩陣

W=[w0,w1,…,wP-1]。

(3)

其中

為第m個基向量(m=0,1,…,P-1)。

觀測信號可以表示為

Y=WX+V。

(4)

其中，Y∈P×D，W∈P×P，X是稀疏矩陣，V為噪聲矩陣，X,V∈P×D。X中只有有限個非零值，且對應于跳頻信號中有限個跳頻頻率對應的窄帶信號的幅度，故跳頻信號可在頻域進行稀疏表示。因X是稀疏的，故有稀疏表示模型

(5)

其中, ‖X‖0為L0范數(shù)。L0范數(shù)的極小化不能直接求解，需轉(zhuǎn)化為解相同的L1范數(shù)求解[15]，故將式(5)轉(zhuǎn)變?yōu)橥箖?yōu)化問題

(6)

其中,ε為允許誤差。

式(6)的求解基于OMP稀疏表示算法。X中非零值元素的個數(shù)就是信號的稀疏度，非零值元素的位置就對應各分段窄帶信號的頻率估計值。假設(shè)X的稀疏度為k，OMP算法在傅里葉基矩陣中通過迭代尋求與殘差信號相關(guān)性最大的傅里葉基向量來匹配出k個稀疏向量。OMP算法中需要預先給出稀疏度k值，但是在實際應用中，多數(shù)情況下k值是未知的，若k值設(shè)置不合適，算法性能下降甚至失效。另外，時頻分析精度取決于算法中傅里葉基矩陣的長度，分析精度越高，傅里葉基矩陣長度越大，則算法運算量也會急劇增大。

2 算法原理及步驟

OMP算法進行稀疏表示時存在兩個問題：一是稀疏度設(shè)置不合適導致算法性能下降甚至失效；二是傅里葉基矩陣長度太大導致運算量劇增。為了解決這些問題，還需結(jié)合頻率預估計進行求解。

將跳頻信號劃分成若干段，對每一小段跳頻信號yi進行傅里葉變換，設(shè)置能量門限，采用傳統(tǒng)譜分析算法估計出信號頻率fi(i=1,2,…,k)，同時得到稀疏度估計值k。然后根據(jù)頻率精度要求構(gòu)造子傅里葉基矩陣：以fi為頻率中心，把帶寬為Δf的頻率段等間隔劃分成Q點。

構(gòu)造出的子傅里葉基矩陣為

將多個子傅里葉基矩陣聯(lián)成過完備傅里葉基矩陣

D=[D(f1),D(f2),…,D(fk)]。

其中,D的維數(shù)為N×kQ。

改進的跳頻信號時頻分析稀疏表示算法具體步驟如下。

步驟1對觀測矩陣Y應用傳統(tǒng)譜估計方法估得頻率值和稀疏度k，并根據(jù)估計出的頻率值構(gòu)建過完備傅里葉基矩陣D。

步驟2設(shè)置算法容許誤差ε>0,非零元素索引集I=?，殘差矩陣R=Y。其中，I是X中非零元素對應在傅里葉基矩陣中位置的集合。

步驟3當滿足條件

norm(R)>ε&&(n

時，計算殘差R與傅里葉基矩陣D中基向量的相關(guān)度，取相關(guān)度大的前k個；將這k個基向量與能量門限比較，超過能量門限的m(m

更新殘差

在相同頻率估計精度情況下，對比改進算法與OMP算法的計算量。若傅里葉基矩陣的長度為L，稀疏度是k，則OMP算法的計算量為O(k2L)?？梢妅一定時，計算量與L成正比。若測頻范圍為1 GHz，取頻率分辨率δf=1 MHz，k=3，直接稀疏表示算法計算量為O(9×103)；而采用頻率預估計構(gòu)建傅里葉基矩陣，取頻率范圍Δf=10 MHz，在達到相同的頻率精度情況下，傅里葉基矩陣長度僅為30，稀疏表示運算量為O(2.7×102)。由此可見，在相同頻率估計精度情況下，傅里葉基矩陣的長度減小，運算量隨之減小。改進算法減小了傅里葉基矩陣的長度而降低了稀疏表示的計算量。

所給算法具有兩個特點：預先估計頻率點，用其構(gòu)建頻率細化的過完備傅里葉基矩陣，以提高頻率估計精度；預先估計稀疏度，避免算法失效。

3 仿真實驗

設(shè)置信號采樣頻率fs=100 kHz；采樣點數(shù)N=1 024，跳頻周期為256個采樣點。信號等間隔劃分成16段，每段長度為64個采樣點。先對每段信號進行頻率預估計，再在每個頻率點附近選取Δf=10δf范圍內(nèi)等間隔劃分，取頻率分辨率δf=9 Hz，每個子傅里葉基矩陣的長度等于10。

仿真1選取一段跳頻信號，跳頻頻率依次為45 kHz，35 kHz,19 kHz,20 kHz,8 kHz。第一跳頻的持續(xù)時間為64個采樣點。跳頻信號時頻譜如圖1 所示。

(a) STFT方法時頻譜

(b) SPWVD方法時頻譜

(c) 預估計的OMP方法時頻譜

圖1顯示了STFT方法、SPWVD方法和基于頻率預估計的OMP方法得到的跳頻信號時頻譜圖比較結(jié)果。圖1(a)顯示，時頻譜圖不能有效區(qū)分第三、四跳的頻率，這是由于STFT算法所得頻率聚集性較差，頻率分辨率較低；圖1(b)采用平滑偽WVD方法，設(shè)計的核函數(shù)抑制了交叉項，但也降低了時頻分辨率。圖1(c)的譜線更細，具有更高頻率分辨率，可以區(qū)分第三、四跳的頻率，這是由于采用頻率預估計使得傅里葉基矩陣中頻率得以局部細化，頻率估計精度相當于在整個頻率范圍內(nèi)建立頻率間隔為0.009 kHz的過完備傅里葉基矩陣，因此其頻率分辨率更高。

分別選取t為0.001 s、0.003 s、0.005 s的時間點，用STFT方法、SPWVD方法和基于頻率預估計的OMP方法進行頻率估計，并與頻率真值對比，結(jié)果如表1所示。

表1 單分量信號頻率估計值對比表

表1數(shù)據(jù)表明基于頻率預估計的OMP方法所得頻率估計精度高于其它兩種方法。

仿真2考慮兩分量跳頻信號的情況。產(chǎn)生第二段跳頻信號：第一跳頻從0時刻開始起跳，跳頻頻率依次為10 kHz，30 kHz，16 kHz，40 kHz；產(chǎn)生復高斯白噪聲，信噪比為5 dB。兩段跳頻信號的時頻譜如圖2所示。

圖2(a)中時頻譜線受噪聲影響較大，圖2(b)中兩信號各自的跳變時刻頻譜線清晰度降低，而圖2(c)中跳變時刻頻譜線清晰可辨。由此可見，結(jié)合頻率預估計的OMP方法更適合于多分量跳頻信號的時頻分析。

綜上可知，在STFT方法、SPWVD方法和基于頻率預估計的OMP方法中，后者具有更高的時頻分辨率和更強的抑制噪聲能力。

(a) STFT方法時頻譜

(b) SPWVD方法時頻譜

(c) 預估計的OMP方法時頻譜

4 結(jié)語

通過頻率預估計給出了跳頻信號的稀疏度和各頻率估計值，構(gòu)造出對應的頻率細化的傅里葉基矩陣，得出一種跳頻信號時頻分析改進的OMP稀疏表示方法。仿真結(jié)果驗證了改進方法對跳頻信號時頻分析的有效性。