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      一類李超代數(shù)的中心擴(kuò)張

      2018-09-21 09:04:40谷翠梅
      關(guān)鍵詞:中令李超易知

      谷翠梅,王 艷

      (天津大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,天津 300354)

      文獻(xiàn)[1]給出了Balinsky-Novikov超代數(shù)(簡稱為BN超代數(shù))的定義,其通過仿射化構(gòu)造可得到無限維李超代數(shù).本文中的李超代數(shù)就是由一類2|2維BN超代數(shù)仿射構(gòu)造得到的,它們的偶部都是中心為0的W(2,2)李代數(shù).通過對應(yīng)2|2維BN超代數(shù)上滿足一定條件的雙線性型,構(gòu)造得到了這些李超代數(shù)的2維上閉鏈,并驗證所得的這些2維上閉鏈都是線性無關(guān)的,且正好是對應(yīng)超代數(shù)2維上同調(diào)群的一組基.文中的數(shù)域都是復(fù)數(shù)域C.

      1 預(yù)備知識

      且具有以下運(yùn)算關(guān)系:

      [a[m],b[n]]=((m+1)ab-(n+1)ba)[m+n],

      [u[r],v[s]]=(u°v)[r+s].

      e1e1=e1,e1e2=e2,e2e1=e2,

      (1)

      表1 李超代數(shù)Wi(i=1,…,7)的運(yùn)算

      2 主要結(jié)果

      設(shè)g是域C上的李超代數(shù). 若線性函數(shù)φ:g?g→C滿足:

      φ(x,y)=-(-1)|x||y|φ(y,x),

      φ(x,[y,z])=φ([x,y],z)+(-1)|x||y|φ(y,[x,z]),?x,y,z∈g.

      則稱φ為g上的一個2維上閉鏈,記Z2(g,C)為g上所有2維上閉鏈的集合.若存在一個線性函數(shù)f:g→C使得

      φ(x,y)=f([x,y]),?x,y∈g,

      則稱φ為g上的一個2維上邊界,記B2(g,C)為g上所有2維上邊界的集合.商空間H2(g,C)=Z2(g,C)/B2(g,C)稱為g的2維上同調(diào)群.由文獻(xiàn)[3]可知要研究李超代數(shù)g經(jīng)由C的一維中心擴(kuò)張,只需計算H2(g,C).

      (1) (反)對稱性

      fi(a,b)=(-1)i+1fi(b,a),fi(u,v)=(-1)i+1fi(v,u),fi(a,u)=fi(u,a)=0;

      (2) 不變性1

      f1(ac,b)=f1(a,bc),f1(ua,v)=f1(u,va),

      f1(a,u°v)=f1(au,v)+f1(u,av)+f1(ua,v);

      (3) 不變性2

      f2(ac,b)=f2(a,bc)=f2(ca,b)+f2(a,cb),

      f2(a,u°v)=2f2(au,v)=-2f2(u,av),f2(ua,v)=f2(u,va);

      (4) 不變性3

      f3(ac,b)=f3(a,bc)=f3(ca,b),

      2f3(a,u°v)=2f3(au,v)=2f3(u,av)=f3(ua,v)=f3(u,va).

      設(shè)Lε(A)(ε=0或1)是由A通過Balinsky’s構(gòu)造得到的李超代數(shù),則可定義Lε(A)上的雙線性型αi:Lε(A)?Lε(A)→Lε(A)(i=1,2,3),

      αi(a[m],b[n])=fi(a,b)βi(m,n),

      αi(a[m],u[r])=0,

      αi(u[r],v[s])=fi(u,v)γi(r,s).

      引理2.1[4]如上定義的αi是Lε(A)(ε=0或1)的2維上閉鏈,當(dāng)且僅當(dāng)fi滿足相應(yīng)的(反)對稱性和不變性i(i=1,2,3).

      文獻(xiàn)[4]給出了引理2.1當(dāng)ε=1時的證明,可類似得到ε=0的情形.

      利用引理2.1,下面將通過Wi(i=1,…,7)對應(yīng)BN超代數(shù)上的不變雙線性型來確定Wi上的2維上閉鏈.

      (2)

      (3)

      (4)

      (5)

      設(shè)α:W1×W1→C是W1的一個2維上閉鏈;f:W1→C是W1的一個線性函數(shù),其作用定義如下:

      此外,定義αf=α+φf,其中φf∈B2(W1,C).

      首先計算ε=0時,αf的非零作用(?m,n,r,s∈Z).

      根據(jù)αf(L0,[Lm,Ln])=αf([L0,Lm],Ln)+αf(Lm,[L0,Ln]),可得

      (m-n)αf(L0,Lm+n)=-(m+n)αf(Lm,Ln).

      而由αf(L0,Ln)=α(L0,Ln)+f([L0,Ln])=0,易知αf(Lm,Ln)=0(m+n≠0). 設(shè)a(n)=αf(Ln,L-n),由αf(Lm+n,[L-m,L-n])=αf([Lm+n,L-m],L-n)+αf(L-m,[Lm+n,L-n]),可得

      (m-n)a(m+n)=(m+2n)a(m)-(2m+n)a(n).

      (6)

      在(6)式中令n=1,則

      (m-1)a(m+1)=(m+2)a(m)-(2m+1)a(1).

      (7)

      根據(jù)αf(L0,[Lm,In])=αf([L0,Lm],In)+αf(Lm,[L0,In])可得

      (m-n)αf(L0,Im+n)=-(m+n)αf(Lm,In).

      而由αf(L0,In)=α(L0,In)+f([L0,In])=0,易知αf(Lm,In)=0(m+n≠0). 設(shè)b(n)=αf(Ln,L-n),由

      αf([Lm,Ln],I-m-n)=αf(Ln,[I-m-n,Lm])-αf(Lm,[I-m-n,Ln]),

      可得

      (m-n)b(m+n)=(m+2n)b(m)-(2m+n)b(n).

      (8)

      在(8)式中令n=1,則

      (m-1)b(m+1)=(m+2)b(m)-(2m+1)b(1).

      (9)

      據(jù)αf(L0,[Gr,Gs])=αf([L0,Gr],Gs)+αf(Gr,[L0,Gs])可得αf(L0,Ir+s)=-(r+s)αf(Gr,Gs).而αf(L0,In)=α(L0,In)+f([L0,In])=0,易知αf(Gr,Gs)=0(r+s≠0).設(shè)p(r)=αf(Gr,G-r),顯然p(r)=p(-r),根據(jù)αf(Lr+s,[G-r,G-s])=αf([Lr+s,G-r],G-s)+αf(G-r,[Lr+s,G-s]),可得

      2b(r+s)=(3r+s)p(s)+(r+3s)p(r).

      (10)

      在(10)式中令s=1,則

      2b(r+1)=(3r+1)p(1)+(r+3)p(r).

      又由于

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