譚程 丁祝順 滑藝 賈楠

摘 要：文中基于電感和電容本質(zhì)上是分?jǐn)?shù)階的事實(shí)，采用分?jǐn)?shù)階微積分理論，建立了類型Ⅰ和類型Ⅱ斷續(xù)導(dǎo)電模式（DCM）-偽連續(xù)導(dǎo)電模式（PCCM）分?jǐn)?shù)階二次型Boost變換器的四階數(shù)學(xué)模型，并對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了理論分析，通過(guò)數(shù)值與電路仿真，驗(yàn)證了分?jǐn)?shù)階階數(shù)對(duì)DCM-PCCM二次型Boost變換器性能的影響，證實(shí)了理論分析的正確性。

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階；二次型；Boost；變換器；DCM-PCCM；電路仿真

中圖分類號(hào)：TP39；TM46 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：2095-1302（2018）07-00-04

0 引 言

二次型Boost變換器僅使用了一個(gè)功率開(kāi)關(guān)管就實(shí)現(xiàn)了傳統(tǒng)Boost變換器的級(jí)聯(lián)，在減少功率開(kāi)關(guān)管數(shù)量的同時(shí)，變換器輸入電壓的范圍得到了拓寬，升壓比得到了提升[1]。因而在新能源領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[2，3]。然而，當(dāng)二次型Boost變換器工作在CCM-CCM時(shí)，其控制輸出傳遞函數(shù)中存在的三個(gè)右半平面（RHP）零點(diǎn)和兩個(gè)諧振峰值點(diǎn)不僅加大了控制環(huán)路補(bǔ)償器的設(shè)計(jì)難度[4]，還嚴(yán)重影響了其對(duì)負(fù)載變化的瞬態(tài)性能[5]。PCCM二次型Boost變換器的提出，徹底改善了二次型Boost變換器的缺點(diǎn)[6-8]，但目前對(duì)PCCM二次型Boost變換器的研究?jī)H建立在整數(shù)階模型基礎(chǔ)上[5，8]，并未考慮電感和電容本質(zhì)是分?jǐn)?shù)階對(duì)系統(tǒng)帶來(lái)的影響[9-11]，因此建立一個(gè)精確的模型是對(duì)PCCM二次型Boost變換器分析與設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。目前，隨著分?jǐn)?shù)階微積分理論的不斷發(fā)展以及對(duì)真實(shí)系統(tǒng)物理現(xiàn)象認(rèn)知的不斷提高，分?jǐn)?shù)階微積分理論在自然科學(xué)和工程技術(shù)中各學(xué)科領(lǐng)域受到廣泛的研究與應(yīng)用[9，10]。相比于傳統(tǒng)的整數(shù)階數(shù)學(xué)模型，分?jǐn)?shù)階數(shù)學(xué)模型能夠更好地刻畫(huà)該物理系統(tǒng)的內(nèi)在本質(zhì)及其演變過(guò)程。

本文以PCCM二次型Boost變換器為研究對(duì)象，建立了類型Ⅰ和類型Ⅱ DCM-PCCM二次型Boost變換器的分?jǐn)?shù)階數(shù)學(xué)模型，通過(guò)數(shù)值與電路仿真驗(yàn)證了分?jǐn)?shù)階階數(shù)對(duì)DCM-PCCM二次型Boost變換器性能的影響，證實(shí)了理論的正確性。

1 DCM-PCCM二次型Boost變換器分?jǐn)?shù)階模型的建立

對(duì)于分?jǐn)?shù)階電感和電容有如下表達(dá)式：

一個(gè)開(kāi)關(guān)周期T內(nèi)，DCM-PCCM二次型變換器有四種工作模態(tài)，其電路原理如圖1所示，工作波形如圖2所示。

根據(jù)DCM-PCCM二次型Boost變換器的工作原理以及分?jǐn)?shù)階電感和分?jǐn)?shù)階電容電流和電壓之間的關(guān)系，可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為：

其中，IL1為流經(jīng)電感L1的電流，IL2為流經(jīng)電感L2的電流，VC1為電容C1兩端的電壓，VC2為電容C2兩端的電壓，D2和D3為占空比，R為負(fù)載電阻，k1和k2為給定常數(shù)，對(duì)于類型Ⅰ：k1=1，k2=0；對(duì)于類型Ⅱ：k1=0，k2=1。

2 理論分析

根據(jù)Caputo分?jǐn)?shù)階微積分的性質(zhì)，可知任意常數(shù)的Caputo分?jǐn)?shù)階微分等于零[10]，則式（2）等號(hào)左側(cè)等于零，可得分?jǐn)?shù)階DCM-PCCM二次型Boost變換器穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)的表達(dá)式為：

由式（3）可知，分?jǐn)?shù)階DCM-PCCM二次型Boost變換器的升壓比為：

基于系統(tǒng)的工作原理，可得輸入電感L1和儲(chǔ)能電感L2電流紋波ΔiL1和ΔiL2的表達(dá)式分別為：

其中，Γ為伽馬函數(shù)[11]?？芍?，輸入電感L1的電流紋波ΔIL1不僅與電感值L1、輸入電壓的直流分量Vin、占空比的直流分量D1及開(kāi)關(guān)管的工作周期T有關(guān)，還與輸入電感L1分?jǐn)?shù)階階數(shù)α1有關(guān)；且當(dāng)輸入電感L1和儲(chǔ)能電感L2分?jǐn)?shù)階階數(shù)α1=α2=1時(shí)，式（5）與用其整數(shù)階模型描述所得結(jié)果相

一致。

對(duì)于分?jǐn)?shù)階DCM-PCCM二次型Boost變換器，因其輸入電感電流iL1的初始值為零，根據(jù)式（5），可得輸入電感電流IL1的表達(dá)式為：

基于式（3）和式（5），可得占空比D2和D3的表達(dá)式為：

其中，a=（L1α1Γ（α1）（D1+D2+k1D3））/（R（D2+k1D3）（D1T）α1）。對(duì)于類型I：占空比D2和D3均與輸入電感L1分?jǐn)?shù)階階數(shù)α1有關(guān)；對(duì)于類型II：占空比D2與輸入電感L1分?jǐn)?shù)階階數(shù)α1無(wú)關(guān)，而占空比D3與輸入電感L1分?jǐn)?shù)階階數(shù)α1有關(guān)。根據(jù)式（3），

（4），（6）和（7），可知升壓比M、輸入電感電流IL1和儲(chǔ)能電感電流IL2、電容電壓VC1和VC2與輸入電感L1分?jǐn)?shù)階階數(shù)α1有關(guān)，儲(chǔ)能電感電流紋波ΔIL2與輸入電感L1分?jǐn)?shù)階階數(shù)α1和儲(chǔ)能電感L2分?jǐn)?shù)階階數(shù)α2有關(guān)，且當(dāng)輸入電感L1和儲(chǔ)能電感L2分?jǐn)?shù)階階數(shù)α1=α2=1時(shí)，其相應(yīng)表達(dá)式與用其整數(shù)階模型描述所得結(jié)果相一致。

如圖2所示，對(duì)于分?jǐn)?shù)階DCM-PCCM二次型Boost變換器，需滿足：

根據(jù)圖2可知，分?jǐn)?shù)階類型Ⅰ和類型ⅡDCM-PCCM二次型Boost變換器的臨界狀態(tài)是D3=0且D4≠0，因此，基于式（7），可得其臨界狀態(tài)表達(dá)式為：

由式（9）和（10）可知，輸入電感L1的臨界值及類型Ⅰ和類型Ⅱ之間的臨界值L12均與輸入電感L1分?jǐn)?shù)階階數(shù)α1有關(guān)，儲(chǔ)能電感L2的臨界值與儲(chǔ)能電感L2分?jǐn)?shù)階階數(shù)α2有關(guān)，且當(dāng)輸入電感L1和儲(chǔ)能電感L2分?jǐn)?shù)階階數(shù)α1=α2=1時(shí)，其相應(yīng)表達(dá)式與用其整數(shù)階模型描述所得結(jié)果一致。

3 仿真研究

3.1 DCM-PCCM工作區(qū)域

選取電路的參數(shù)為vin=24 V，d1=0.2，d2=0.1，R=1 000 Ω，f=50 kHz，α1=α2=β1=β2=0.8，C1=C2=100 μF。根據(jù)式（9）和（10），可得分?jǐn)?shù)階DCM-PCCM二次型Boost變換器的工作區(qū)域如圖3所示。因此，為確保分?jǐn)?shù)階二次型Boost變換器工作在類型Ⅰ和類型ⅡDCM-PCCM，選取輸入電感值和儲(chǔ)能電感值分別為L(zhǎng)1Ⅰ=5 μH，L2Ⅰ=2 mH和L1Ⅱ=120 μH，L2Ⅱ=2 mH。

當(dāng)系統(tǒng)工作于DCM-PCCM時(shí)，如圖4（a）所示，其輸入電感L1的臨界值和L12的臨界值隨其階數(shù)α1的增加而變?。桓鶕?jù)圖4（b）可知，類型Ⅰ DCM-PCCM、類型ⅡDCM-PCCM和DCM-PCCM的工作區(qū)域隨階數(shù)α1的增加而變?。粌?chǔ)能電感L2的臨界值隨α2的增加而變小，如圖4（c）所示；類型ⅠDCM-PCCM、類型ⅡDCM-PCCM和DCM-PCCM的工作區(qū)域隨階數(shù)α2的增加而變大，如圖4（d）所示。

3.2 仿真驗(yàn)證

由于電感和電容本質(zhì)上是分?jǐn)?shù)階的，但目前無(wú)法準(zhǔn)確得到從市場(chǎng)上購(gòu)買實(shí)際電感和電容的階數(shù)，且在仿真軟件中也無(wú)法找到分?jǐn)?shù)階電感和電容的模型元件。因此根據(jù)分抗鏈結(jié)構(gòu)和改進(jìn)的Oustaloup近似算法，采用圖5和圖6所示分?jǐn)?shù)階電感和分?jǐn)?shù)階電容的等效近似電路模型[9-12]搭建二次型Boost變換器電路模型來(lái)驗(yàn)證上述理論分析的正確性。

以類型ⅡDCM-PCCM二次型Boost變換器為例進(jìn)行分析。當(dāng)其他參數(shù)固定時(shí)，隨著階數(shù)α1的增加，二次型Boost變換器工作區(qū)域從類型ⅠDCM-PCCM變到類型ⅡDCM-PCCM，如圖7所示。根據(jù)圖7（a）可知，處于類型ⅠDCM-PCCM時(shí)，占空比D2隨著階數(shù)α1的增加而增加，占空比D3隨著階數(shù)α1的增加而減少，而在類型ⅡDCM-PCCM時(shí)，占空比D2不隨階數(shù)α1的變化而變化，占空比D3隨著階數(shù)α1的增加而增加；根據(jù)圖7（b），（c）和（d）可知，類型Ⅰ和類型ⅡDCM-PCCM工作時(shí)，升壓比M、輸入電感電流IL1、儲(chǔ)能電感電流IL2及電容電壓VC1和VC2隨階數(shù)α1的增加而減少。

圖8（a）～（d）分別為分?jǐn)?shù)階和整數(shù)階電路模型輸出電壓VC1和VC2的開(kāi)環(huán)響應(yīng)曲線，易知DCM-PCCM Boost變換器分?jǐn)?shù)階模型的動(dòng)態(tài)特性明顯優(yōu)于其整數(shù)階模型，且與整數(shù)階模型相比，分?jǐn)?shù)階模型在相同占空比D1的條件下，具有更高的輸出電壓VC1和VC2。因此，以上分析對(duì)分?jǐn)?shù)階DCM-PCCM二次型Boost變換器在今后的實(shí)際應(yīng)用設(shè)計(jì)中具有較好的指導(dǎo)作用。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文基于分?jǐn)?shù)階微積分理論，建立了分?jǐn)?shù)階DCM-PCCM二次型Boost變換器的數(shù)學(xué)模型，并對(duì)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行了分析與仿真驗(yàn)證。DCM-PCCM工作區(qū)域與輸入電感L1階數(shù)α1和儲(chǔ)能電感階數(shù)α2有關(guān)，當(dāng)其他參數(shù)固定時(shí)，類型ⅠDCM-PCCM、類型ⅡDCM-PCCM及DCM-PCCM的工作區(qū)域隨階數(shù)α1的增加而變小，隨階數(shù)α2的增加而變大。在類型ⅠDCM-PCCM工作區(qū)域時(shí)，占空比D2隨階數(shù)α1的增加而增加，占空比D3隨階數(shù)α1的增加而減少；然而，在類型ⅡDCM-PCCM工作區(qū)域時(shí)，占空比D2不隨階數(shù)的變化而變化，占空比D3隨階數(shù)α1的增加而增加。在類型ⅠDCM-PCCM和類型ⅡDCM-PCCM工作區(qū)域時(shí)，升壓比M、輸入電感電流IL1、儲(chǔ)能電感電流IL2及電容電壓VC1和VC2隨階數(shù)α1的增加而降低，且DCM-PCCM二次型Boost變換器的分?jǐn)?shù)階電路模型的動(dòng)態(tài)特性明顯優(yōu)于其整數(shù)階模型。綜上可知，儲(chǔ)能元器件的階數(shù)對(duì)DCM-PCCM二次型Boost變換器有著極其重要的影響，所建立系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階模型能夠真實(shí)反映DCM-PCCM二次型Boost變換器的動(dòng)力學(xué)特性。

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